dimensionado a flexion, Apuntes de Teoria de Estructuras

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DIMENSIONADO

A

FLEXION SIMPLE

DIMENSIONADO DE ELEMENTOS SOLICITADOS A FLEXIÓN PLANA

Cuando un elemento estructural está solicitado solo a flexión, es decir, cuando la resultante de todas las fuerzas (acciones y reacciones) ubicadas a un lado de la sección considerada se reduce a un par, que actúa en un plano normal a la misma es un caso de FLEXIÓN SIMPLE. La intersección entre el plano de la sección y el normal al mismo es una recta que llamamos “línea de fuerza”. Si la línea de fuerzas coincide con uno de los ejes de simetría de la sección es un caso de FLEXIÓN SIMPLE NORMAL Si esto no es así, la línea de fuerzas no es coincidente con los ejes de simetría el esfuerzo se llama FLEXIÓN SIMPLE OBLÍCUA , que analizaremos en capítulos posteriores. Como ya hemos visto, el Momento flector es un esfuerzo que actúa en el plano perpendicular a la sección generando Tensiones Normales f ¶ D z Z El diagrama de tensiones, a diferencia de lo que hemos visto en solicitación axil, será variable, pasando de tensiones de compresión ( - ) a tensiones de tracción (+ ), por un punto de la sección en las cuales la tensión es nula. La unión de estos puntos en las sucesivas secciones determina el eje neutro que en el caso de flexión simple será coincidente con el eje baricéntrico de la pieza. Estas tensiones serán máximas en las fibras más alejadas de dicho eje neutro, y la ley de variación es lineal, cumpliendo la ya enunciada Ley de Navier “las secciones planas antes de la deformación continúan siendo planas después de la misma” Todos los puntos ubicados a igual distancia y del eje neutro, tienen la misma tensión. z

Línea de fuerza eje neutro

FLEXION EN PIEZAS DE ACERO – Secciones

FLEXION EN PIEZAS DE MADERA – Secciones

Perfiles de acero PAR INTERNO C x z = T x z La flexión pura se refiere a la flexión de un elemento bajo la acción de un momento flector constante, y los esfuerzos cortantes sobre él son cero. Un ejemplo de un elemento sometido a flexión pura lo constituye la parte de la viga entre las dos cargas puntuales P que se ilustra a la izquierda. M

DISEÑO POR FACTORES DE CARGA Y RESISTENCIA

DIMENSIONADO Y VERIFICACIÓN

Se realiza el dimensionamiento por factores de carga y resistencia, donde Mu: momento flector a partir de las cargas mayoradas Mn : momento nominal o de diseño, (depende de la resistencia del material, y de la forma y dimensiones de la sección Mn = F Sx (siendo F la tensión máxima y Sx el módulo resistente en el periodo elástico)

DIMENSIONADO EN ACERO

Considerando que el momento actuante en la sección sea tal que el esfuerzo que se produce en la fibra más alejada del eje neutro corresponde a la tensión de fluencia Fy, hasta ese momento el comportamiento de la pieza se regirá por un régimen elástico, es decir el diagrama de tensiones tendrá forma triangular desde el eje neutro hacia un lado de tracción y hacia el otro de compresión Resistencia real (Resistencia de diseño) ≥ Resistencia requerida φ. Mn ≥ Mu fmáx = Mn. Sx

Tensión ( MPa)

Deformación ( % )

PERIODO ELÁSTICO PERIODO PLÁSTICO

Fy =235 MPa = 23.5 Kn/cm Tensión fluencia Fp =370 Mpa = 37 Kn/cm Tensión rotura Fp =21 a 22 Kn/cm Tensión proporcionalidas

Con esta expresión se halla el valor de Zx con el cual se entra a la tabla de perfiles correspondiente y se obtienen los datos geométricos de la sección (El valor de Zx que se busca en tabla corresponderá a uno igual o mayor) Para verificar la sección y determinar su aprovechamiento Para determinar el momento último Mu que puede resistir la sección DIMENSIONADO EN MADERA Al igual que en el acero se realiza el dimensionamiento por factores de carga y resistencia Debido a que en la madera no hay fluenci a las fibras no se plastifican por lo que se trabaja con el módulo resistente elástico Sx y no con el módulo plástico Zx Se considera un valor de Resistencia ajustada Fb , que depende del tipo de solicitación y de la calidad de la madera. Se ajustan por factores que dependen del material y de las condiciones de proyecto. Valores estimativos para flexión entre 1.26 y 2 KN / cm^2 (TABLAS) Tal como se explico en el Dimensionamiento en acero, el Modulo resístete elástico Es la relación existente entre el Momento de inercia de la sección (Ix) y la distancia entre el baricentro de la pieza y la fibra más alejada de la sección Para secciones rectangulares Como Ix = b x h^3 y ymax = h/ 12 Se fija una sección: d = 1,5 a 3 b La expresión de dimensionado para madera es entonces

Sx = Ix

ymáx

Mu. ≤ 1

φ. Fy. Zx Mu ≤ φ. Fy. Zx b h/ h/ h Sx = b x h^2 6 Sx = Mu. φ. Fb Fb : tensión ajustada a flexion

φ para madera 0, 85

Con esta expresión se halla el valor de Sx con el cual se entra en tabla de secciones de madera y se obtienen los datos geométricos de la sección (El valor de Sx que se busca en tabla corresponderá a uno igual o mayor) Para verificar la sección y determinar su aprovechamiento Para determinar el momento último Mu que puede resistir la sección que es su capacidad resistente a flexión

FLEXION PLANA

Si encontramos esfuerzo de Corte además del Momento Flector, lo llamamos FLEXIÓN PLANA, es el caso que se presenta con mayor frecuencia en elementos simples. En Flexión plana el esfuerzo predominante es la flexión, salvo en vigas muy cortas (1,5m a 2m ) con grandes cargas, donde predomina el corte La expresión general para VERIFICAR EL CORTE es Donde Vn = Corte nominal Vu = esfuerzo de corte mayorado El mismo se verifica con la Fórmula de COLLIGNÓN – JOURAVSKY Siendo: fv = Tensión tangencial de corte ( KN / cm^2 ) V = esfuerzo de corte en la sección considerada ( t ; kg ) Qx = Momento estático de la sección respecto al eje x ( cm^3 ) Ix = Momento de inercia de la sección respecto al eje x ( cm^4 ) b = Ancho de la sección en la fibra considerada ( cm ) VERIFICACION AL CORTE EN SECCIONES DE ACERO F’v = 0,6 Fy ( KN / cm^2 ) Tensión de corte

Mu. ≤ 1

φ. Fb. Sx Mu ≤ φ. Fb. Sx

Vu. ≤ 1

φ. F’v. Aw φ. Vn ≥ Vu

fv = V. Qx

Ix. b

Qx 1 = bf. tf ( d - tf ) = bf. tf ( d - tf ) 2 2 2 Fv 1 = V. Qx 1 Ix. b (ala del perfil) fv 2 = V. Qx 1 Ix. tw (alma del perfil)

Fb max

_

Fv max

Fb max Diagrama de tensiones para sección rectangular Diagrama de tensiones para perfil normal IPN

Fb max

Fb max

Fv max

Fv 1 Fv 2

_

fv max = V. Qx Ix. tw (alma del perfil) t d/ 2 d – tf 2 tw

EJEMPLO N° 1

Dimensionar la viga según el siguiente esquema, con un perfil de acero IPN 5 m Ra Rb

4. DIMENSIONAMIENTO DE LA SECCIÓN Zx = Mu. = 5250 KNcm. = 248.27 cm^3

ф. Fy 0,9. 23,5 KN/cm^2

V 1 2

1. DETERMINACION DE LA CARGA ULTIMA 1,4 D 1,2 D + 1,6 L 1,4 .10 KN/m (incluye peso propio)= 14 KN/m 1,2 .10 KN/m + 1,6. 3 KN/m = 16,8 KN/m = qu

2. REACCIONES DE VÍNCULO Ra = Rb = q. l = 16,8 KN/m. 5 m = 42 KN 2 2 M Datos D = 10 KN/m L = 3 KN/m Fy= 235 MPa = 23,5 KN / cm^2 φ = 0, Fv = 0.60 Fy = 14.1 KN/cm^2
3. ESFUERZOS CARACTERISTICOS Determinamos los esfuerzos a la izquierda de cada sección Esfuerzos de corte V 1 = Ra = 42 KN (+) V 2 = - 42 KN ( - ) Momentos flectores M 1 = 0 M 2 = 0 Momento Máximo último Mu = qu. l^2 = 16,8 KN/m. (5 m)^2 = 52,5 KNm 8 8

_ con este valor entramos a tabla y adoptamos un perfil cuyo módulo resistente plastico, sea mayor que el necesario 52,5 KNm

8. DIAGRAMAS DE TENSIONES

fvmax = 42 KN. 162 cm^3 = 2,74 KN/cm^2 debe ser ≤ Fv 3060 cm^4. 0,81 cm 2,74 KN/cm^2 ≤ Fv = 14.1 KN/cm^2 VERIFICA Qx 1 = bf. tf ( d - tf ) = bf. tf ( d - tf ) 2 2 2 = 9,8 cm. 1,22 cm ( 22 cm – 1.22 cm) 2 = 11,96 cm^2. 10,39 cm = 124.26 cm^3 Fv 1 = V. Qx 1 Ix. tf (ala del perfil) Fv 2 = V. Qx 1 Ix. tw (alma del perfil) Fv 1 _ +

fv max = V. Qx

Ix. tw (alma del perfil) Fv max Fv 2 Fy 1 Fy 1 = 42 KN. 124,26 cm^3 = 1.4 KN / cm^2 3060 cm^4. 1,22 cm = 42 KN. 124,26 cm^3 = 2,11 KN / cm^2 3060 cm^4. 0,81 cm

EJEMPLO N° 2

Dimensionar la viga según el siguiente esquema, con un perfil de acero IPN p 1 p 2 2 m 4 m 1m Ra Rb 1. DETERMINACION DE LA CARGA ULTIMA Qu 1 = 1,4. D = 1,4. 40 KN = 56 KN Qu 2 = 1,4. 20 KN = 28 KN

4. DIMENSIONAMIENTO DE LA SECCIÓN Zx = Mu. = 8800 KNcm. = 416.08 cm^3 ф. Fy 0,9. 23,5 KN/cm^2 V 1 2 3 4 5 6 3. ESFUERZOS CARACTERISTICOS Determinamos los esfuerzos a la izquierda de cada sección Esfuerzos de corte V 1 = Ra = 44 KN (+) = Q 2 V 3 = 44 KN - 56 KN = 12 KN (-) = V 4 V 5 = - 12 KN – 28 KN = - 40 KN ( - ) V 6 = - 40 KN ( - ) Momentos flectores M 1 = 0 M 2 = Ra. 2m = 44 KN. 2m = 88 KNm = M 3 M 4 = Ra. 6m - P 1. 4m = 44KN. 6m – 56 KN. 4m = 40 KNm = M 5 M 6 = 0

_

M Datos D = Cargas concentradas P 1 = 4 0 KN P 2 = 20 KN L = no se consideran sobrecargas Fy= 235 MPa = 23,5 KN / cm^2

Fv = 0.60 Fy = 14.1 KN/cm^2 Esfuerzos dimensionantes Mmáx = 8800 KNcm Vmáx = 44 KN con este valor entramos a tabla y adoptamos un perfil cuyo módulo resistente plastico, sea mayor que el necesario

2. REACCIONES DE VÍNCULO

Ra = 44 KN Rb = 40 KN

Qx 1 = bf. tf ( d - tf ) = bf. tf ( d - tf ) 2 2 2 = 11,3 cm. 1,41 cm ( 26 cm – 1.41 cm) 2 = 15,93 cm^2. 12,29 cm = 195.78 cm^3 Fv 1 = V. Qx 1 Ix. tf (ala del perfil) Fv 2 = V. Qx 1 Ix. tw (alma del perfil) EJEMPLO N° 3 Dimensionar la viga según el siguiente esquema, en madera La carga ya se considera mayorada Fv 1 **_

= 4** 4 KN. 195,78 cm^3 = 1.06 KN / cm^2 5740 cm^4. 1,41 cm = 44 KN. 195,78 cm^3 = 1,6 KN / cm^2 5740 cm^4. 0,94 cm Fv max Fv 2 Fy 1 Fy 1 Datos D = Carga concentrada P 1 = 5 KN Carga distribuida q = 1,5 KN/m Q 1 = q. l = 1,5 KN/m. 5m = 7,5 KN L = no se consideran sobrecargas Datos del material Tensión ajustada de la madera, pino Parana, clase 2, a flexion F’b = 2,15 KN / cm^2 Coeficiente de minoración de compresión para madera φcr = 0, Coeficiente de minoración de corte para madera φ = 0, 75 Módulo de elasticidad de la madera E = 1.140 KN/cm^2

P 1 Q 1 q 2 m 5 m Ra Vb

4. DIMENSIONAMIENTO DE LA SECCIÓN Sx = Mu. = 1000 KNcm. = 547.2 cm^3 ф. F’b 0,85. 2,15 KN/cm^2 Adoptamos una sección de 4’ x 8’ Reacciones de vínculo Ra = 10,75 KN Hb = 0 Vb = 1,75 KN Determinamos los esfuerzos a la izquierda de cada sección Esfuerzos de corte V 1 = P 1 = - 5 KN ( - ) = V 2 V 3 = - 5 KN + 10,75 KN = 5,75 KN ( + ) V 4 = 5,75 KN – 7,5 KN = - 1,75 KN ( - ) Momentos flectores M 1 = 0 M 2 = - p 1. 2m = - 5 KN. 2m = - 10 KNm = M 3 M 4 = 0 Xo (m) = V 3 (KN) = 5,75 KN = 3,83 m q (KN/m) 1,5 KN/m Mmax = - 5 KN. 5,83m + 10,75 KN. 3.83 m – (1,5 KN/m. 3,83 m). 3,83/ = - 29,15 KNm + 41.17 KNm – 5,74 KN. 1.91m = - 29,15 KNm + 41.17 KNm – 11.02 KNm = 1 KNm X o 2 3 V 1 4 -

- _ -- l/ 2

M

+ Esfuerzos dimensionantes Mmáx = 1000 KNcm Vmáx = 5,75 KN con este valor entramos a tabla y adoptamos una seccion cuyo módulo resistente elastico, sea mayor que el necesario ESCUADRÍA NOMINAL MEDIDAS REALES ÁREA Sx Ix (^) rx Sy Iy ry pulgadas cm cm^2 cm^3 cm^4 cm cm^3 cm^4 cm 4 6 10 15 150 375 2812.5 4.33 250 1250 2. 4 7 10 17.5 175 510.42 4466.15 5.05 291.67 1458.33 2. 4 8 10 20 200 666.67 6666.67 5.77 333.33 1666.67 2. 4 10 10 25 250 1041.67 13020.83 7.22 416.67 2083.33 2.

EJEMPLO N° 4

Dimensionar el dintel del pórtico según el siguiente esquema, con un perfil de acero IPN P 1 P 2 VA HA Q 1 q 1m 1,5m 1 m 1 3 4 2 (^5 ) 3 m 9 2 m 6 P 3 Q 2

• 10 Reacciones de vínculo Ha = 50 KN Va = - 1,7 KN Rb = 61,7 KN Momentos flectores M 1 = 0 = M 10 M 2 = Ha. 2 m - Q 1. 1m = 5 0 KN. 2 m – 20 KN. 1m = 8 0 kNm = M 3 M 4 = Ha. 3m - Q 1. 2 m – P 1. 1m - Q 2. 0,5m = 50KN. 3m – 20 KN. 2m - 20KN. 1m – 10kN. 0,5m = 150 KNm – 40 KNm - 20 KNm - 5 KNm = 85 KNm = M 5 M 6 = Ha. 3m - Q 1. 2 m – P 1. 1m - Q 2 .0,5m – Va.1,5m = 50KN.3m – 20 KN.2m - 20KN.1m – 10kN.0,5m- 1,7kN.1,5m = 150 KNm – 40 KNm - 20 KNm - 5 KNm – 2,55kNm = 82,45 kNm = M 7 M 8 = Ha .3m - Q 1 .2m – P 1 .1m - Q 2 .0,5m – Va.1,5m – 20KN.1m = 50KN.3m – 20 KN.2m - 20KN.1m – 10kN. 0,5m – 1,7kN.2m - 20kN.1m = 150 KNm – 40 KNm- 20 KNm- 5 KNm – 3 , 4 kNm- 20KNm = 61,7 kNm = M 9 Determinamos los esfuerzos a la izquierda de cada sección Esfuerzos de corte V 1 = Ha = 5 0 KN (+ ) V 2 = Ha – V 1 = 5 0 KN – 20 KN = 30 KN (+) V 3 = V 2 - P 1 = 30 KN - 20 KN = 10 KN (+) V 4 = V 3 – Q 2 = 10 KN – 1 0 KN = 0 V 5 = - Va = - 1 , 7 KN = V 6 ( - ) V 7 = V 6 - P 2 = - 1 , 7 KN + 4 0 = - 41 , 7 KN= V 8 ( - ) V 9 = V 8 - P 3 = - 41 , 7 KN + 20 KN = - 61,7 KN ( - ) V 10 = V 9 = Datos D = Cargas concentradas P 1 = 20 KN P 2 = 40 KN P 3 = 20 KN Carga distribuida q = 10 KN/m Q 1 = q. l = 10 KN/m. 2 m = 20 KN Q 2 = q. l = 10 KN/m. 1 m = 10 KN L = no se consideran sobrecargas Datos del material Fy= 235 MPa = 23,5 KN / cm^2 φ = 0, Fv = 0.60 Fy = 14.1 KN/cm^2

4. DIMENSIONAMIENTO DE LA SECCIÓN

Zx = Mu. = 8500 KNcm. = 401 , 9 cm^3 ф. Fy 0,9. 23,5 KN/cm^2 M O + 1m V 1 + Esfuerzos dimensionantes en la barra horizontal Mmáx = 8500 KNcm Vmáx = 6 1 , 7 KN con este valor entramos a tabla y adoptamos un perfil cuyo módulo resistente plastico, sea mayor que el necesario Se ha graficado el Momento en la barra horizontal, positivo hacia arriba, por razones de claridad del diagrama