Distribución Binomial: Aplicaciones y Ejercicios Resueltos, Diapositivas de Probabilidad

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Discretas

Profr. José Luis González Marroquín

Poblaciones formadas por

dos tipos de elementos:

 Objetos Pares o Impares.

 Anversos o Reversos.

 Poseedores o No

Poseedores.

 Blancos o Negros

 Aguilas o Soles

 Etc.

 Experimentos Binomiales

 Se consideran de éste tipo si cumplen con el experimento de Bernoulli:

1. Se tienen 2 resultados posible: éxito ( e ) o fracaso ( f ).
2. La probabilidad de un éxito es cte. 𝑃 𝑒 = 𝒑 ∴ 𝑃 𝑓 = 1 − 𝑃 𝑒 = 1 − 𝑝 = 𝒒
3. El experimento consta de n intentos
4. Las repeticiones del ensayo son independientes

f(x)  Solución : n = 5, P(H) = P(e) = p = 10/100 => 𝑃(𝐻) = P(f) = q = 1 – P(e) = 1 – p = 0. => De cada 100, batea 10 H => De cada 10 batea 1H;  ¿Cuántos se espera que bateé en 5 entradas? ½ H => ¿Cómo lo interpretas? ¿Cuáles son los valores más probables? a) ¿Probabilidad de que bateé 0 Hits en 5 entradas? => x = 0 ; Se pide P(X=0) = f(0) Entra la primera vez y falla (f) => Entra la segunda vez y falla (f) … => Entra la quinta y falla (f) Es decir: f f f f f =>𝐻 𝐻 𝐻 𝐻 𝐻 En términos de probabilidad: => P(X=0) = f(0) = P(f) * P(f) * P(f) * P(f) * P(f) = 𝑃 𝐻 ∗ 𝑃 𝐻 ∗ 𝑃 𝐻 ∗ 𝑃 𝐻 ∗ 𝑃(𝐻)= q *q *q *q *q = q 5 = 0.9 * 0.9 * 0.9 * 0.9 * 0.9 = 0. 5 = 0.

f(x)  Solución : n = 5, P(H) = P(e) = p = 10/100 => : 𝑃(𝐻) = P(f) = 1 – P(e) = 1- 𝑃(𝐻) = 1 – p = q = 1 – 0.1 = 0.9 ; b) ¿Probabilidad de que bateé 1 Hit en 5 entradas? => x = 1 => Se pide P(X=1) = f(1) Las posibilidades de que bateé 1 Hit en 5 posibilidades són: e f f f f f e f f f f f e f f f f f e f f f f f e => 5 posibilidades H 𝐻 𝐻 𝐻 𝐻 𝐻 𝐻 𝐻 𝐻 𝐻 𝐻 𝐻 𝐻 𝐻 𝐻 𝐻 𝐻 𝐻 𝐻 𝐻 𝐻 𝐻 𝐻 𝐻 𝐻 => p q q q q q p q q q q q p q q q q q p q q q q q p => 5 * (p q 4 ) ¿De cuántas formas diferentes se puede batear un Hit en 5 posibilidades? ¿ Importa el orden de las fallas? NO importa, ya que si cambia una falla con cualquier otra, siguen siendo iguales, entonces: 𝐶𝑟 𝑛 = 𝑛! 𝑛−𝑟 !𝑟! = 5! 5 − 1! 1! = 5 , es decir, las formas en que pegue el H, está dado por el No de combinaciones. Por lo tanto: P(X=1) = f(1) = 𝐶 1 5 p q 4 = 5! 5 − 1! 1! (0.1) (0.9) 4 = (5) (0.1) (0.9) 4 = 0.

f(x)  Del ejemplo del No. de Hits que pega un bateador, se puede concluir que el valor de la probabilidad de que pegue {0, 1, …, 5}={x1,x2, …, x6}, o en general: x k (k = 1, 2, …, 6) Hits, se define por los valores de: n , x k y p , por lo que la Distribución de Probabilidad Binomial se puede escribir como: 𝑃 𝑋 = 𝑥𝑘 = 𝑓 𝑥𝑘 = 𝐶𝑥 𝑘 𝑛 𝑝 𝑥𝑘 𝑞 𝑛−𝑥𝑘 = (^) 𝑥 𝑘 𝑛 𝑝 𝑥𝑘 𝑞 𝑛−𝑥𝑘 = 𝑏(𝑥𝑘 ; 𝑛, 𝑝) Con: (^) 𝑥 𝑘 𝑛 como Generador de los Coeficientes del Binomio de Newton. Dadas las facilidades que presentan las TIC, existen en el Internet varias páginas web que permiten determinar la b(x;n,p). Ver: https://es.calcuworld.com/calculadoras-matematicas/calculadora-binomial/

a) Para el ejemplo del No. de Hits que pega un bateador, elaborar un Histograma de la Distribución de Probabilidades ( X vs f(x) ) considerando n = 5. (Se requiere evaluar P(X=xj) = f(xj) para cada valor de xj). b) Del Histograma, ¿Cuánto vale la suma de todas las probabilidades)? Es decir, ¿Cuánto vale (^) 𝑥=−∞ ∞ 𝑃 𝑋 = 𝑥 = (^) 𝑥=−∞ ∞ 𝑓(𝑥) = (^) 𝑥=−∞ ∞ 𝐶𝑟 𝑛 𝑝 𝑥 𝑞 𝑛−𝑥 ? Resp.: 1 c) ¿Cuánto vale P(5 < X < 10) Resp.: f(6)+f(7)+f(8)+f(9)= 20/ d) ¿Cuánto vale P(2 > X > 5)? Resp.: 1 – P(X <= 5) = 26/ e) ¿Cuánto vale P(0 <= X <= 5)? Resp: 1 TAREA E1:

2 P(X=x) = f(x) X(w) 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Función de Distribución F(x) de Probabilidad 6/ 5/ 4/ 3/ 2/ 1/ Regla: X(w) = Suma de las caras de los dados x 1 x 11 x 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 P(X<=x 3 ) = F(x 3 ) = 6/

 Por consiguiente, para la Binomial: 𝑷 𝑿 ≤ 𝒙 = 𝑭 𝒙 = 𝒌=𝟎 𝒙 𝑷 𝑿 = 𝒌 = 𝒌=𝟎 𝒙 𝒇 𝒌 = 𝒌=𝟎 𝒙 𝒃(𝒌; 𝒏, 𝒑) = = 𝒃 𝟎; 𝒏, 𝒑 + 𝒃 𝟏; 𝒏, 𝒑 + ⋯ 𝒃 𝒙; 𝒏, 𝒑 = 𝒇 𝟎 + 𝒇 𝟏 + ⋯ + 𝒇 𝒙 = 𝑩(𝒙; 𝒏, 𝒑)  Observación: P(X=x)=f(x)= b(x;n,p) da el valor de probabilidad en un punto, mientras que P(X<=x)=F(x)= B(x;n,p) da el valor de la probabilidad desde un valor inicial hasta x.  Con las facilidades que se tienen de las TIC, diferentes autores han realizado programas para obtener la tabla de la Función de Probabilidad Binomial. Ver:  http://www4.ujaen.es/~mpfrias/TablasDistribucionesI.pdf  http://verso.mat.uam.es/~pablo.fernandez/tablas_ProbI_2007-2008.pdf  https://seactuario.com/ContMatematicas/CalculadBinomial.htm

X=No. Personas q mueren= {0, 1, 2, …, 10} ={x 0 , x 1 ,…, x 10 }=> Variable Discreta Binomial n=10, p=0. d) Mueran más de 3. Se pide: P(X>3)=P(X>x3)=1-P(X<=x3)=1-0.9990= 0. e) Mueran de 2 a 5 personas. Se pide: P(2<=X<=5)=P(X<=5)-P(X<=1)=1-0.9139= 0. f) Sobrevivan a lo más 2. OJO: X=>Mueran entonces: 𝑋=>Sobrevivan => q=1-p=1-0.05=0. Se pide: P(𝑋<=2)=B(x;n,1-p)=B(x;n,q)=B(2;10,0.95) => No se encuentra en Tablas!! g) Compruebe sus resultados con la calculadora indicada en la diapositiva 11.

EJEMPLO:

Una concentración particular de una sustancia química encontrada en agua contaminada, resulta ser mortal

para el 20% de los peces expuestos a esa concentración durante 24 hrs. Se colocan 22 peces en un tanque con

• TAREA E
• a) Mueran 6 peces. Resp.: P(X=3)=f(3)=b(3;22,0.2)=0. agua con esa concentración del producto químico. Determinar la probabilidad de que:
• b) Mueran a lo más 3. Resp.: P(X<=3)=F(3)=B(3;22,0.2)=0.
• c) Mueran más de 5. Resp.: 1 - P(X<=5) =1-B(5;22,0.2)=0.
• d) Mueran de 3 a 5. Resp.: P(3<=X<=5)=B(5;22,0.2)-B(2;22,0.2)=0.7326-0.1545=0.
• e) Mueran entre 2 y 6. Resp.: P(2<X<6)=B(5;22,0.2)-B(2;22,0.2)=0.
• f) Sobrevivan 16. Resp.: P(X=16)=f(16)=b(16;22,0.8)=0.
• g) Por lo menos, 10 sobrevivan. Resp.: P(X>=10)=1-P(X<=9)=1-B(9;22,0.8)=1-0.00=1.
• h) A lo más, 16 sobrevivan. Resp.: P(X<=16)=F(16)=B(16;22,0.2)=1.
• i) Sobrevivan entre 10 y 15. Resp.: P(10<X<15)=B(14;22,0.8)-B(X<=10)=0.
• j) Cuántos de espera que mueran? Resp.: μ=np=(22)(0.2)=4.
• k) Cuántos se espera que sobrevivan? Resp.: μ=(22)(0.8)=17.

Del ejemplo del bateador: n = 5, p = 0. OJO: X=> Pegue Hit con p=0.1; entonces: 𝑋=> No pegue Hit => q=1-p=1-0.1=0. => La probabilidad de que pegue 1 Hit = La probabilidad de que falle 4 **0 P(X=x) = f(x) X(w) 1 2 3 4 5

x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 P(X=x 2 = 1) = f(x 2 )

0.0081 0.0005** (^) **0. 0 P(X=x) = f(x) X(w) 1 2 3 4 5

x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 P(X=x 4 = 1) = f(x 4 )

0.0005 0. 0.** n=5 , p=0.1 n=5 , q= 1-p =0. EXITOS FRACASOS

Por consiguiente: Si p > 0.5 : 𝒃 𝒙; 𝒏, 𝒑 = 𝑩 𝒏 − 𝒙; 𝒏, 𝟏 − 𝒑 − 𝑩(𝒏 − 𝒙 − 𝟏, 𝒏, 𝟏 − 𝒑) y : 𝑩 𝒙; 𝒏, 𝒑 = 𝟏 − 𝑩(𝒏 − 𝒙 − 𝟏, 𝒏, 𝟏 − 𝒑) Ejemplo : Considerando el caso del COVID-19, (n=10, probabilidad de que mueran p=0.05), ¿Cuál es la probabilidad de que sobrevivan : a) Exáctamente 8? n = 10, p=probabilidad mueran = 0.05, => q=1-p = 1-0.05 = 0.95 probabilidad sobrevivan Se pide: P(X=8) = b(8;10,0.95) No está en Tablas!! => Como p>0.5 => b(8;10,0.95) = B(10-8, 10, 1-0.95) - B(10- 8 - 1, 10, 1-0.95) = B(2; 10, 0.05) – B(1; 10, 0.05) => Ya se pueden calcular con las Tablas!!! = 0.988 – 0.914 = 0.

MEDIA: 𝝁 = E x = 𝑥= 0 𝑛 𝑥𝑓 𝑥 = 𝑥= 0 𝑛 𝑥 (^) 𝑥 𝑛 𝑝 𝑥 𝑞 𝑛−𝑥 ) = 𝒙=𝟎 𝒏 𝒙 𝒏! 𝒙! 𝒏 − 𝒙! 𝒑 𝒙 𝒒 𝒏−𝒙 = 𝒏𝒑 𝒙=𝟏 𝒏 𝒏 − 𝟏! 𝒙 − 𝟏! 𝒏 − 𝒙! 𝒑 𝒙−𝟏 𝟏 − 𝒑 𝒏−𝒙 = 𝒏𝒑 𝒑 + 𝒒 𝒏−𝟏 = 𝒏𝒑 Demostración de que: (^) 𝒙=𝟏 𝒏 𝒏−𝟏^! 𝒙−𝟏! 𝒏−𝒙! 𝒑 𝒙−𝟏 𝟏 − 𝒑 𝒏−𝒙 = 𝒑 + 𝒒 𝒏−𝟏 Desarrollando para n=3: (^) 𝒙=𝟏 𝟑 𝟑−𝟏^! 𝒙−𝟏! 𝟑−𝒙! 𝒑 𝒙−𝟏 (𝟏 −

Para el caso del bateador, donde tiene 10 Hits en 100 intentos, a) ¿Cuántos Hits se espera que pegue en los siguientes 100 intentos? Resp. : 1 b) ¿Cuál es la media en ésos 100 intentos? Resp.: c) ¿Cuántos Hits se espera que pegue en sus siguientes 5 entradas )? Resp.: 1 d) ¿Y en 20 entradas)? Resp.: 1/

TAREA B1 :

 Siguiendo la misma mecánica utilizada para determinar la media, demostrar que la

Varianza es: 𝝈

𝟐

 Determine las varianzas para los incisos del ejemplo anterior.

EJEMPLO: