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Lista 2
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
Beatriz Alejandra Juúarez Vázquez
3.39 Se construye un complejo sistema electrónico con cierto número de piezas de respaldo en sus subsistemas. Un subsistema tiene cuatro componentes idénticos, cada uno con una probabilidad de .2 de fallar en menos de 1000 horas. El subsistema va a operar si dos de los cuatro componentes están operando. Suponga que los componentes operan de manera independiente. Encuentre la probabilidad de que a. exactamente dos de los cuatro componentes dure más de 1000 horas. b. el subsistema operé más de 1000 horas SOL. a)
b(2,4,0.2)=
(0,2)^2 (0,8)^2 = 6(0,04)(0,64) = 0, 1536
b) b(2,4,0.2)=
∑^2
y=
b(y, 4 , 0 ,2) =
(0,2)^0 (0,8)^4 +
(0,2)^1 (0,8)^3 + b(2, 4 , 0 ,2)
3.40 La probabilidad de que un paciente se recupere de una enfermedad estomacal es .8. Suponga que se sabe que 20 personas han contraído la enfermedad. ¾Cuál es la probabilidad de que a. exactamente 14 se recuperen?. b. al menos 10 se recuperen?. c. al menos 14 pero no más de 18 se recuperen?.
d. a lo sumo 16 se recuperen?. SOL. a). Sabemos que n=20, P=0.8 La probabilidad de que se recupere, entonces (1-P)=0.2 que es la probabilidad de que no lo haga.
=
(0,8)^4 (0,2)^6 =
(0,14)^1 4(0,2)^6 = 0, 109099
Lo cuál es la probabilidad de que 14 se recuperen. b.)( 20 10
(0,8)^10 (0,2)^10 +
(0,8)^11 (0,2)^9 +
(0,8)^12 (0,2)^8 +
(0,8)^13 (0,2)^7 +
(0,8)^14 (0,2)^6 +
(0,8)^15 (0,2)^5 +
(0,8)^16 (0,2)^4 +
(0,8)^17 (0,2)^3 +
(0,8)^18 (0,2)^2 +
(0,8)^19 (0,2) +
(0,8)^20 =0.
Que es la probabilidad de que al menos diez se recuperen. c.) Si tomamos el resultado del inciso b),apartir del 14 hasta el 18. Tenemos la probabilidad de 0.8441 de que se recuperen al menos 14 y a lo más 18. d.) Tomemos el complemento del resultado b), que 0.00063 que de al menos 9 personas se recuperen, sumando los valores de 10 hasta 16, tenemos 0.588547 que sería la probabilidad de que se recuperen. 3.41 Un examen de opción múltiple tiene 15 preguntas, cada una con cinco posibles respuestas, sólo una de las cuales es correcta. Su- ponga que uno de los estudiantes que hace el examen contesta cada una de las preguntas con una adivinación aleatoria independiente. ¾Cuál es la probabilidad de que conteste correctamente al menos diez preguntas? Sol Denotemos n=15 y P=0.2 es la probabilidad de que conteste bien, asi 1-P= 1-0.2=0.8 que es la probabilidad de que conteste mal. Entoces( 15 10
(0,2)^10 (0,8)^5 +
(0,2)^11 (0,8)^4 +
(0,2)^12 (0,8)^3 +
(0,2)^13 (0,8)^2 +
las exploraciones son independientes. Encuentre la media y la varianza del número de exploraciones exitosas. SOL. La probabilidad de éxito es P=. La probabilidad de fracaso es P=0. Por lo que μ = ηp=(10)(.1)= (σ)^2 ηpq=(10)(.1)(.9)=(.9) 3.57 Consulte el Ejercicio 3.56. Suponga que la empresa tiene un costo jo de $20,000 por preparar equipo antes de hacer su primera exploración. Si cada exploración exitosa cuesta $30,000 y cada una no exitosa cuesta $15,000, encuentre el costo esperado total para la empresa por sus diez exploraciones. SOL. Notemos que eN promedio 1 de cada 10 exploraciones es éxitosa, por lo que se estima que las otras 9 serán fallidas asi, Costo esperado total=Costo Fijo+costo de exploción E+costo de exploración F =$20,000+$30,000+9($15,000) =$185, 3.58 Una venta particular comprende cuatro artículos seleccio- nados al azar de un lote voluminoso que se sabe contiene 10 % de artículos defectuosos. Denote con Y el número de los defectuosos entre los cuatro vendidos. El comprador de los artículos devolverá los defectuosos para su reparación y el costo de ésta está dado por C = 3y^2 + y + 2. SOL. Ya que Y es el número de defectuosos, entonces P=.1 y q=. η = 4, por lo que E(Y)=(0.4)(.1)=. ν=(.4)(.1)(.9)=. Luego E = 3y^2 + y + 2 E = (3Y 2 ) + E(Y ) + E(2) E = 3E(Y 2 ) + E(Y ) + (2) E = 3(ν(Y )E(Y 2 )) + E(Y ) + (2) *Usando la sugerencia 3(,36 + (,4)^2 ) + (,4) + (,2) =3.
3.59 Diez motores se empacan para su venta en cierto almacén. Los motores se venden en $100 cada uno, pero una garantía de devolución del doble de su dinero es efectiva por cualquier unidad defectuosa que el comprador pueda recibir. Encuentre la ganancia neta esperada para el vendedor si la probabilidad de que cualquier motor sea defectuoso es .08. (Suponga que la calidad de cualquier motor es independiente de la de los otros). SOL. Y = Es el número de motores buenos, entonces q=0.08 y P= 1-0.08=. Procedamos a sacar el promedio a Y μ = ηp=(10)(.92)=9. Así 9.2 motores son efectivos de cada 10, así. La ganancia que estima es de (9.2)($100)=$ Ahora en .8 de cada 10 son defectuosos por lo que la perdida se estima (.8)($200)=$ Así Ganancia NETA= Ganacia- Pérdida = $920-$160=$
