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TEMA 12
DISTRIBUCIONES
BINOMIAL y NORMAL
Jakob Bernoulli (1654-1705),
matemático y científico suizo, que
fue el primero en investigar sobre la
distribución binomial
Carl Friedrich Gauss (1777-1855),
físico y matemático alemán, uno de
los pioneros en el estudio de las
propiedades y utilidad de la curva
normal.
MATEMÁTICAS II 2º Bachillerato
Alfonso González
IES Fernando de Mena
Dpto. de Matemáticas
IES FERNANDO DE MENA. DPTO. DE MATEMÁTICAS
Texto bajo licencia Creative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital siempre y cuando se respete la mención de su autoría, y sea sin ánimo de lucro. En otros casos se requiere el permiso
I) NÚMEROS COMBINATORIOS
« El factorial de un número n ∈ ℕ se designa como n! –se lee
1
“n factorial” –, y es el producto de todos los
enteros desde 1 hasta n ». Por ejemplo:
Por definición
2
, 0 !=1. He aquí una tabla de los primeros factoriales:
El alumno puede comprobarlos con la calculadora. Vemos que los números de la serie factorial se van
haciendo muy grandes. De hecho, las calculadoras convencionales dan error cuando se les pide, p. ej. 70 !.
Definición de número combinatorio:
( )
m m!
n n! m n!
donde m, n ∈ ℕ , m ≥ n (1)
Observaciones:
1º) Se trata de una definición. Este nuevo objeto matemático se define así porque, como veremos en el
próximo apartado, tiene gran utilidad. De hecho, los números combinatorios también se llaman
coeficientes binomiales.
m
n
se lee “m sobre n”. El resultado es siempre un número natural. Ver tabla anexa.
3º) ¡Cuidado! Puede comprobarse que ( m - n )! no es m! - n!
1
La notación actual n! fue usada por primera vez por el francés Christian Kramp en 1803.
2 He aquí una justificación:
" " " 0! 1 (C.Q.D.)
índice
orden
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Recordemos del tema anterior que la probabilidad de un determinado camino del árbol es el producto
de las probabilidades de sus ramas, y que, debido al Teorema de la Probabilidad Total, si varios recorridos
conducen al mismo suceso entonces hemos de sumar sus probabilidades:
3 éxitos: Sólo hay un camino, de probabilidad p
3
3
P(3 éxitos) p^3 1
2 éxitos: Hay 3 caminos –equiprobables–, cada uno de probabilidad p
2
q:
2
P(2 éxitos) 3p q 3
1 éxito: Hay 3 caminos –equiprobables–, cada uno de probabilidad pq
2
2
P(1éxito) 3pq^2 3 1 5
0 éxitos: Sólo hay un camino, de probabilidad q
3
3
P(0 éxitos) q^3 5
Nótese que, debido a la probabilidad total, la suma de las cuatro probabilidades anteriores
–correspondientes a los 8 recorridos del árbol– tiene que ser 1. Vamos a expresar las probabilidades
anteriores en función de los números combinatorios:
P(3 éxitos) p
P(2 éxitos) p q
P(1éxito) pq
P(0 éxitos) q
Ejercicio 1 : Ampliar el diagrama anterior al lanzamiento del dado 4 veces y comprobar que se obtiene:
P(4 éxitos) 4 p^4
P(3 éxitos) 4 p q^3
….^4
P(0 éxitos) q
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P(4 éxitos)=
P(3 éxitos)=
P(2 éxitos)=
P(1 éxito)=
P(0 éxitos)=
Ejercicio 2 : En el experimento aleatorio consistente en lanzar una moneda consideramos:
ÉXITO: sacar → probabilidad:
p
FRACASO: sacar → probabilidad:
q
Lanzamos la moneda 3 veces. Formar el árbol correspondiente y hallar la probabilidad (en forma decimal) de
obtener 3, 2, 1 y ninguna cara:
P(3 éxitos)= (Sol: 0,125)
P(2 éxitos)= (Sol: 0,375)
P(1 éxito)= (Sol: 0,375)
P(0 éxitos)= (Sol: 0,125)
Consecuencia:
P(r éxitos) n p qr^ n^ r
r
= ^ ^ −
, donde n es el número de ensayos (2)
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Ejemplo 3 : Supongamos que la probabilidad de hacer blanco un torpedo lanzado desde un submarino es 0,2.
Si se lanzan 5 torpedos, hallar:
a) Probabilidad de que el barco enemigo se salve.
b) Probabilidad de hundir el objetivo.
c) Probabilidad de que impacten 3 torpedos.
Solución: a) En primer lugar, vemos que se trata de una B(5; 0,2), es decir, el suceso ÉXITO es que el
torpedo impacte en el objetivo, con probabilidad p=0,2. Por lo tanto, el suceso FRACASO
tendrá q=0,8.
El barco se salvará si ningún torpedo lo alcanza, es decir:
P(0 éxitos) = q^5 = 0,8^5 ≅0,
Es decir, tiene un 33% de posibilidades de no ser hundido.
b) Hundir el barco es el suceso contrario al anterior. Por lo tanto:
P (el barco s e hunda) = 1 − P (el barco s e salve) = 1 − 0,3277 ≅0,
NOTA: Otra opción, mucho más complicada, hubiera sido tener en cuenta
que, para hundir el barco, basta con que impacte al menos 1 torpedo. Por lo
tanto, habría que sumar P(1 éxito)+P(2 éxitos)+ P(3 éxitos)+ P(4 éxitos)+
P(5 éxitos). El resultado sería, obviamente, el mismo que el obtenido arriba.
c)
Pueden comprobarse todas estas probabilidades en la tabla.
Ejercicios final tema: 5 a 20
Ejercicio EvAU: 5Ab) jun 2017
III) MEDIA y DESVIACIÓN TÍPICA de la DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
Supongamos un experimento binomial en el que sólo se hiciera una prueba en vez de n. Formamos la
tabla estadística de esta variable aleatoria:
Media, Esperanza matemática o Valor esperado:
n i i n i 1 i i i 1
_ f x
x h x
N
=
∑ ∑
n i i i 1
p x p
=
μ = (^) ∑ =
Distribución estadística Distribución de probabilidad
Nótese que la media de una distribución estadística se designa como
_
x , pero en el caso de una
distribución de probabilidad se llama esperanza matemática, y se nombra como μ.
p n r .01 .05 .10 .15.
xi pi xi pi xi
2
xi
2
pi
r=1 p p 1 p
r=0 q = 1 - p 0 0 0
Σ = p Σ = p
P(3 éxitos) 5 p q^3 2 5!^ 0,2 0,8^3 2 5 4 3!0,2 0,8^3 2 10 0,2^3 0,8^2
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Varianza y Desviación típica:
n 2 i i (^2) n 2 2 i 1 2 i i i 1
f x
s x h x x
N
=
∑ ∑ (^ )
n 2 2 2 2 i i i 1
p x p p p 1 p pq
=
σ = (^) ∑ − μ = − = − =
Distribución estadística Distribución de probabilidad
Nótese de nuevo que la desviación típica de una distribución estadística se designaba como s , mientras
que en el caso de una distribución de probabilidad se utiliza σ.
Supongamos ahora que tuviéramos n pruebas; únicamente tendremos que multiplicar por n los
resultados anteriores (en efecto, intuitivamente, p. ej. si se trata de lanzar una sóla vez una moneda la media o
esperanza de salir cara es 0,5 pero si lanzamos 10 veces será 10 · 0,5 = 5 caras):
μ = np σ = npq (3)
Esperanza matemática Desviación típica
Observaciones:
1. La esperanza matemática es un parámetro muy importante en las apuestas y juegos de azar.
2. Ambos parámetros tienen las mismas unidades que la variable de probabilidad X , es decir, el número
de éxitos r.
IV) REPASO de ESTADÍSTICA ELEMENTAL
El concepto de variable estadística es bastante intuitivo y fácil de comprender. Existen los siguientes
tipos de variables o caracteres:
1. Caracteres cualitativos: Se describen mediante palabras y no se pueden medir, es decir, no se les puede
asignar un número; más bien, presentan modalidades. Ejemplos : el estado civil,
la nacionalidad, el nivel de estudios, el color del pelo, etc.
2. Caracteres cuantitativos: Se describen mediante números, es decir, son medibles. A su vez, se dividen
en:
2.1 Caracteres cuantitativos discretos: Sólo toman valores puntuales aislados. Ejemplos : número de
hijos, número del calzado, nota de la evaluación de
Matemáticas, etc.
2.2 Caracteres cuantitativos continuos: Pueden tomar cualquier valor intermedio entre dos
cualesquiera. Ejemplos : estatura, peso, nota en un examen,
etc.
Nosotros vamos a ver en este tema la distribución normal, que es variable estadística continua.
Supongamos que, en vísperas de unas elecciones, queremos tener una idea sobre las intenciones de
voto del electorado. Evidentemente, no podemos preguntárselo al conjunto de todos los votantes (eso ocurrirá
más bien el día de las elecciones), por lo cual tendremos que limitarnos a hacer un sondeo a una parte,
naturalmente lo más representativa posible. Surgen así los siguientes conceptos:
Población: Conjunto de todos los individuos objeto del estudio.
Muestra: Subconjunto extraído de la población, cuyo estudio sirve para inferir características de toda la
población.
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bien se llama diagrama de barras, puesto que, en vez de rectángulos, se dibujan líneas
verticales).
Polígono de frecuencias: En el caso de un polígono de frecuencias absolutas se obtiene uniendo el punto
medio del lado superior de cada rectángulo. Si es un polígono de frecuencias
relativas, se unen los extremos derechos del lado superior, con el fin de poder
obtener la mediana gráficamente.
Lo más usual es dibujar ambos a la vez, superpuestos. Veamos cómo serían el histograma y el
polígono de frecuencias relativas de la distribución anterior:
Por último, para poder definir correctamente la distribución, también se acostumbra a definir una serie
de parámetros estadísticos; los más importantes son dos: la media aritmética y la desviación típica.
El concepto de media aritmética es bastante intuitivo: la media aritmética de una serie de valores se
obtiene sumándolos, y dividiendo la suma por el número de valores. Se designa
7 mediante o μμμμ. En el caso
de datos agrupados en intervalos, se escoge como valor de cada intervalo el punto medio o marca de clase.
En el ejemplo anterior, puede comprobarse que sale 1,765 m de estatura media.
El otro parámetro aludido es la desviación típica , que se designa
8 como s o σσσσ. Su significado lo
veremos más adelante (apdo. IX.4); baste decir, por el momento, que está relacionada con la forma de la
distribución: cuando mayor es σ en relación con μ, más dispersos son los datos, y viceversa.
V) IDEA INTUITIVA DE DISTRIBUCIÓN NORMAL
Continuando con el ejemplo de las estaturas de los 40 alumnos, podemos suponer que la distribución
de las tallas de los alumnos/as de 2º de Bachillerato de toda España, a medida que los intervalos de clase van
siendo pequeños, tiende al diagrama representado a la derecha:
7 En realidad, se designa como en el caso de variable estadística, y μ en el caso de variable aleatoria; en este último
caso, la media también se llama esperanza matemática o valor esperado.
8
En realidad, se designa como s en el caso de variable estadística, y σσσσ en el caso de variable aleatoria.
0
0,
0,
0,
0,
0,
0,
[1,60;1,65) [1,65;1,70) [1,70;1,75) [1,75;1,80) [1,80;1,85) [1,85;1,90) [1,90;1,95] estaturas
h i
1,60 1,65 1,70^ 1,75^ 1,80^ 1,85^ 1,90^ 1, estaturas
área encerrada = 1
0
0,
0,
0,
0,
0,
0,
[1,60;1,65) [1,65;1,70) [1,70;1,75) [1,75;1,80) [1,80;1,85) [1,85;1,90) [1,90;1,95] estaturas
hi
Intervalo de clase → 0
x
x
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Miles de € al mes
El diagrama de la derecha proporciona una idea intuitiva de la que se conoce como distribución normal.
Sabemos que la suma de todas las frecuencias relativas hi de una distribución de frecuencias es igual a
la unidad. Por lo tanto, el área encerrada debajo de la curva normal
9
es igual a 1.
La distribución normal se llama así porque durante mucho tiempo
se pensó que ese era el comportamiento de todos los fenómenos de la
vida real. Conviene tener en cuenta que existe un gran número de
fenómenos cuyos histogramas de frecuencias observadas pueden
considerarse como la imagen empírica de una distribución normal, es
decir, simétrica; por ejemplo, en la distribución del perímetro craneal de
una serie de individuos (ver figura), los que tienen poco y mucho
perímetro se encuentran igualmente separados por la media y se
presentan con frecuencias similares. Otros ejemplos de situaciones que
pueden responder, aproximadamente, a una curva normal, pueden ser: el
peso de los individuos de la población, el cociente intelectual, etc., es
decir, medidas psicométricas. Pero también se obtiene una distribución
que tiende a la normal en otro tipo de medidas: duración media de una
bombilla, esperanza de vida de una mascota, etc… Por supuesto, todo esto no se puede demostrar, pero es
algo que se comprueba estadísticamente…
¡Cuidado!: No todas las distribuciones se comportan según el
modelo normal. Consideremos el siguiente contraejemplo:
supongamos que clasificamos a los ciudadanos españoles según su
nivel de renta (ver figura). Evidentemente, son muy pocos los que
poseen niveles de rentas altas y en cambio son muchos los que
poseen niveles de rentas bajas. Por tanto, la distribución ya no es
simétrica y, en consecuencia, no se adapta al modelo normal.
VI) DEFINICIÓN DE DISTRIBUCIÓN NORMAL: CURVA DE GAUSS
Volviendo al ejemplo 5, si el número de alumnos crece indefinidamente y vamos haciendo cada vez
más pequeña la amplitud de los intervalos, el polígono de frecuencias tomará entonces la forma de la
distribución normal, es decir, de una campana de Gauss. La variable en este caso sería continua y su
recorrido sería, en principio, el intervalo [1,60;1,95], aunque teóricamente sería desde 0 hasta ∞.
Vamos a definir la distribución normal teórica:
Una variable aleatoria continua X sigue una distribución normal de media μμμμ y desviación típica σσσσ, y se
designa por N ( μ , σ), si cumple:
1º) La variable recorre toda la recta real, es decir ( - ∞ , ∞ )
2º) La distribución tiene la forma de la curva de Gauss, cuya ecuación
10
es:
9
La curva normal también se llama curva de Gauss o campana de Gauss, en honor al matemático alemán Carl Friedrich
Gauss (1777-1855), que fue el primero en ver sus propiedades y utilidad.
10 e ≅ 2,7182818… es un número irracional llamado constante de Euler, en honor al matemático suizo Leonhard Euler
x^2 2
1
e
f (x)
σ
− −μ
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Estos dos pasos se consiguen simultáneamente haciendo el cambio de variable
X
Z (4)
En resumen:
En el próximo apartado haremos uso de la expresión (4).
IX) MANEJO DE TABLAS (Cálculo de áreas bajo la curva de gauss)
Para hallar áreas (y por lo tanto probabilidades) bajo la curva normal mediante tabla a menudo
tendremos en cuenta que dicha curva es simétrica y por lo tanto deja un 50 % de observaciones a ambos
lados del origen. Además, no debe olvidarse que el área encerrada total es 1, es decir el 100 % de
observaciones, o lo que es lo mismo, la probabilidad del suceso seguro. Vayamos por pasos:
IX.1) Cálculo de probabilidades en una distribución N(0,1)
Vamos a ver todos los 4 casos que se pueden presentar, desde el más fácil hasta el último, el más
“complicado”. Sea Z una variable que sigue una distribución normal N ( 0 , 1 ). Veamos algunos ejemplos,
utilizando la tabla más usual, que es una tabla de frecuencias –es decir, de probabilidades– acumuladas
(precisamente la suministrada en la EvAU), como la que figura al margen. Esta tabla nos proporciona la
probabilidad de que la variable Z sea menor o igual que un determinado valor k. Este valor k se busca
en la tabla
12
de la siguiente forma: sus unidades y décimas en
la columna izquierda y las centésimas en la superior:
Ejemplo 6: Calcular P ( Z ≤ 1,45)
La probabilidad pedida es el área sombreada:
Por lo tanto, buscamos en la tabla k=1,4 en la columna
izquierda, y 0,05 en la fila superior; su intersección nos da:
P ( Z ≤ 1,45) = 0,
Es decir, el 92,65% de las observaciones se distribuyen entre
■ Existen 4 casos suponiendo que, a diferencia del ejemplo
anterior (que llamaremos CASO 0 ), no nos pidan directamente
una probabilidad de la tabla:
CASO I (Ejemplo 7): Calcular P ( Z ≤ - 1,45 )
12
En el apdo. X veremos que k recibe el nombre de valor crítico.
N ( μ, σ)
de variable X
CAMBIO
X
Z
N ( 0 , 1 )
de variable Z
k
Buscamos unidades y décimas de k en la columna izquierda, y centésimas en la fila superior
P(Z≤k)
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La probabilidad pedida es el área sombreada:
La tabla solo proporciona probabilidades para valores de k positivos. Ahora bien, teniendo en cuenta la
simetría de la curva de Gauss, y que el área total encerrada por esta es 1:
P ( Z ≤ - 1,45) = P ( Z > 1,45) = 1 - P ( Z ≤ 1,45) = 1 - 0,9265 = 0,
NOTA: En una distribución de variable continua (caso de Z) las probabilidades puntuales son nulas; por lo
tanto, P ( Z ≤ k ) = P ( Z < k )
CASO II (Ejemplo 8): Calcular P ( 1,25 < Z ≤ 2,57 )
La probabilidad pedida es el área sombreada; por lo tanto, restaremos al área
mayor la menor:
P ( 1,25 < Z ≤ 2,57 ) = P ( Z ≤ 2,57) - P ( Z ≤ 1,25) = 0,9949 - 0,8944 = 0,
CASO III (Ejemplo 9): Calcular P ( - 2,57 < Z ≤ - 1,25 )
La probabilidad pedida es el área sombreada; por lo tanto, por simetría de la curva
normal:
P ( - 2,57 < Z ≤ - 1,25 ) = P ( 1,25 < Z ≤ 2,57) = 0,
CASO IV (Ejemplo 10): Calcular P ( - 0,53 < Z ≤ 2,46 )
La probabilidad pedida es el área sombreada. Este es el caso más general, y se
resuelve teniendo en cuenta todo lo anterior:
P ( - 0,53 < Z ≤ 2,46) = P ( Z ≤ 2,46) - P ( Z ≤ - 0,53 ) = P ( Z ≤ 2,46) - P ( Z ≥ 0,53)
= P ( Z ≤ 2,46) - [ 1 - P ( Z < 0,53 ) ] = 0,9931 - ( 1 - 0,7019 ) = 0,
Ejercicios final tema: 21 a 23
■ Por otra parte, tenemos el problema inverso (muy importante de cara a lo que se puede pedir en la EvAU):
hallar el valor k de la variable asociado a una determinada probabilidad. También hay 4 casos posibles:
CASO I (Ejemplo 11): Calcular el valor de k (= valor crítico) (exacto o aproximado) tal que P ( Z ≤ k ) = 0,
como en el ejemplo 8
como en el ejemplo 7
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Por tanto, P(X<70)=P(Z<0,5)=0,
Gráficamente:
b) X=
Por tanto, P ( X > 80 ) = P ( Z > 1,75 ) = 1-P ( Z < 1,75 ) = 1-0,9599 = 0,
Gráficamente:
c) P ( 70 < X < 80 ) = P ( 0,5 < Z < 1,75 ) = P ( Z < 1,75 ) - P ( Z < 0,5 ) = 0,9599 - 0,6915 = 0,
Gráficamente:
Ejercicios final tema: 25 a 28
IX.3) Problemas de aplicación
Ejemplo 16: Los pesos de los individuos de una población se distribuyen normalmente con media 70 kg y
desviación típica 6 kg. De una población de 2000 personas, calcular cuántas personas tendrán
un peso entre 64 y 76 kg.
X=64 →
X=76 →
N(μ,σ)
de variable X σ
X
N( 0 , 1 )denuevavariableZ
σ =
μ=
6 kg
70 kg
X 64 70
Z =−
X 76 70
Z 1
X 80 66
Z =
N ( 66 , 8 )
X
N ( 0, 1 )
Z
Tipificamos la variable X
Tipificamos la variable X
N ( 66 , 8 )
X
Tipificamos la variable X
N ( 0, 1 )
Z
N ( 66 , 8 )
X
Tipificamos la variable X
N ( 0, 1 )
0,5 1,^
Z
Tipificamos la variable X
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Por tanto:
P ( 64 < X < 76 ) = P ( - 1< Z < 1 ) = P ( Z < 1 ) - P ( Z < - 1 ) = P ( Z < 1 ) - [ 1 - P ( Z < 1 ) ] = 0,8413 - ( 1-0,8413 ) = 0,
Es decir, el 68,26% de la población tendrán un peso entre 64 y 76 kg. Por consiguiente:
Solución: 2000 · 0,6826=1365 personas
Ejemplo 17: Se ha aplicado a 300 alumnos un test y se ha observado que se distribuyen normalmente con
media 30 y desviación típica 12
a) ¿Cuántos alumnos tendrán una puntuación superior a 42?
b) ¿Qué proporción de alumnos tendrá una puntuación entre 20 y 25?
a)
[Soluc: ≅ 47 alumnos]
b)
[Soluc: ≅ 41 alumnos]
Ejercicios final tema: 29 y ss.
Ejercicio EvAU: 5b b) jun 2017
IX.4) Casos particulares de áreas bajo la curva. Significado de σσσσ
A veces tiene interés saber qué proporción de individuos de la población se distribuye en intervalos de la
forma ( μ-σ, μ + σ) , ( μ- 2 σ, μ + 2 σ) , etc.
Supongamos que tenemos una variable aleatoria X que sigue una distribución N ( μ, σ). Veamos, en primer lugar, qué proporción de individuos se encontrará en el intervalo ( μ-σ, μ+ σ ) ; para ello, tipificaremos
la variable, como hemos hecho en ejemplos anteriores:
X=μ-σ
CAMBIO
X
Z
Z =−
X=μ+σ 1
Z =
⇒ hay que hallar P ( 1 < Z ≤ 1 )
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COEFICIENTES BINOMIALES
(^
)
n
n!
k
k!
n
k!
^
^
^
^
^
donde n, k
ℕ
, n
k
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TABLA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
P(r éxitos) n p q^ r^ n^ r r
= ^ ^ −
NOTA: Para n>10 hay que hacer el cálculo directamente, o aproximar mediante una distribución normal.
p n r .01 .05 .10 .15 .20 .25 .30 1 / 3 .35 .40 .45 .49.
B ( 8 ; 0, 5 )
Todas estas
probabilidades
suman 1
