Tema 8: distribución normal y binomial, Diapositivas de Matemáticas Orientadas a las Enseñanzas Académica

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Distribución Binomial Y

Distribución normal

VARIABLE ALEATORIA

Definición. Una variable aleatoria (v.a.) es una función que

asocia a cada resultado del espacio muestral un número real

Tipología: V.a. discreta y v.a. continua

Discreta: Toma valores en un conjunto numerable

Continua: Toma valores en un conjunto infinito no numerable

Ejemplos de distribución de probabilidad de una v.a.

Ejemplos:

• Si se investiga el nº de piezas defectuosas que existe en un lote de

6 , se está llevando a cabo una experiencia binomial de 6

experimentos ( cada experimento es la observación de una pieza),

cada uno de los cuales es independiente de los restantes, con dos

posibilidades ( éxito="ser defectuosa" fracaso="no ser def.") cuyas

probabilidades (que supondremos p=0,1 , q=0,9) son constantes en

todos los experimentos. La variable X="nº de piezas defectuosas"

tiene una distribución B(6, 0,1)

• Cuando se estudia el sexo de los descendientes en las familias con

diez hijos, se realiza un experiencia binomial de 10 experimentos. Si

X="nº de varones", la variable X sigue la B(10, 0,5)

• Al contestar al azar un exámen tipo test, formado por 8 preguntas

con 5 posibles repuestas cada una, si estudiamos el nº de aciertos

tendremos una experiencia binomial de 8 experimentos

independientes, con dos posibilidades (acierto o error) con

probabilidades respectivas 1/5 y 4/5, que son constantes en cada

experimento. Si X mide el nº de aciertos, seguirá la distribución B(8,

Uso de las TABLAS CALCULADORA Si el nº de experimentos es n, los posibles valores de X son siempre 0,1,2,....,n. y podemos calcular la probabilidad de que obtengamos un nº k de éxitos usando la tabla ....... Para ello, localizamos en la primera columna el valor de n, y dentro de este valor el de k. Sobre la horizontal localizamos el valor de p, y uniendo la vertical con la horizontal, obtenemos la probabilidad buscada. Como puedes ver, la tabla sólo admite valores entre 0 y 0,5 para p. Cuando la probabilidad de p supere este último valor, habremos de plantear el problema a la inversa, es decir, llamando éxito al suceso contrario.

Distribución normal

Sin duda la distribución continua de probabilidad más importante, por la frecuencia con que se encuentra y por sus aplicaciones teóricas, es la distribución normal, gaussiana o de Laplace- Gauss. Fue descubierta y publicada por primera vez en 1733 por De Moivre. A la misma llegaron, de forma independiente, Laplace (1812) y Gauss (1809), en relación con la teoría de los errores de observación astronómica y física

Está caracterizada por dos parámetros: la media, μ y la

desviación típica, σ.

Su función de densidad es:

2 2 2 σ ( μ)

− − x

N P x e

La curva normal adopta un número infinito de formas, determinadas por sus

parámetros μ y σ.

Distribución normal con (^)  =0 para varios valores (^)  0

• 2.50 - 1.50 - 0.50 0.50 1.50 2. x

p(x)

N(μ, σ): Interpretación geométrica  Podemos interpretar la media como un factor de traslación.  Y la desviación típica como un factor de escala, grado de dispersión,…