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ejercicios de libro zurita 4.3, 4.4 y 4.5 literal d) y e) 4.12, 4.14, 4.31 4.17, 4.48, 4.51 4.52, 4.11, 4.20
Tipo: Ejercicios
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Nombre: Ana Paula Parra Loza
Paralelo: 6
Materia: Estadística I
4.3 Determine k para que las siguientes funciones definan una Densidad de Probabilidades para las Variables Aleatorias Continuas, cuyos Soportes se especifican en cada casa;
a) 𝑓(𝑥) = 𝑘𝑥; 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝑅 | 1 ≤ 𝑥 ≤ 5 }
∞
−∞
5
1
∞
−∞
𝑘 [
b) 𝑓(𝑥)^ = 𝑘𝑥; 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝑅 | 0 < 𝑥 < 4 }
∞
−∞
4
0
∞
−∞
𝑘 [
c) 𝑓(𝑥)^ = 𝑘𝑥^2 ; 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝑅 |^ − 4 < 𝑥 < 4 }
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑘𝑥^2
∞
−∞
4
−
∞
−∞
𝑘 [
4.4 Para cada uno de los literales del Ejercicio 4.3, determine y grafique con precisión la Distribución Acumulada F de las probabilidades, esto es 𝐹(𝑥) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥), 𝑥 ∈ 𝑅
a) 𝑓(𝑥) = 12 𝑥 ; 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝑅 | 1 ≤ 𝑥 ≤ 5 }
𝑥
1
b) 𝑓(𝑥) = 𝑥 8 ; 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝑅 | 0 < 𝑥 < 4 }
𝑥
0
c) 𝑓(𝑥)^ = 1283 𝑥^2 ; 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝑅 |^ − 4 < 𝑥 < 4 }
𝑥
−
d) 𝑓(𝑥) = 𝑒−𝑥; 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝑅 |𝑥 > 0 }
𝑥
0
e) 𝑓(𝑥)^ = 15 ; 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝑅 |^ − 1 < 𝑥 < 4 }
𝐹(𝑥) = ∫
1 5 𝑑𝑡 =
𝑥
−
4.5 Para cada uno de los literales del Ejercicio 4.3, determine, de existir, la Media y la varianza
a) 𝑓(𝑥) = 12 𝑥 ; 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝑅 |1 ≤ 𝑥 ≤ 5} media:
∞
−∞
5
1
∞
−∞
𝜇 =
varianza:
∞
−∞
∞
−∞
2
4
−
4
−
d) 𝑓(𝑥)^ = 𝑒−𝑥; 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝑅 |𝑥 > 0 } media:
∞
−∞
∞
0
∞
−∞ 𝜇 = 1 varianza:
∞
−∞
∞
0
e) 𝑓(𝑥)^ = 15 ; 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝑅 |^ − 1 < 𝑥 < 4 } media:
∞
−∞
4
−
∞
−∞
𝜇 =
varianza:
∞
−∞
4
−
4.12 El consumo diario de agua en un campus universitario puede ser modelado como una Variable Aleatoria X que es G(4, 3), en miles de litros por día. La capacidad máxima de almacenamiento de los reservorios del campus es 32.000 litros. ¿Cuál es la probabilidad que un día cualquiera se consuma menos de 31.000 litros? ¿Cuál es la probabilidad que un día se demande más agua de la que se tiene almacenada? ¿A qué capacidad deben llegar los reservorios para que de los 365 días del año, no más de dos veces se tenga que recurrir a medidas emergentes para cubrir la demanda de agua?
X: consumo diario de agua en miles de litros por día
𝐺(4,3); 𝛼 = 4 ; 𝛽 = 3 𝜇 = 𝛼𝛽 𝜎^2 = 𝛼𝛽^2
f(x) =
(α)𝛽𝛼^ 𝑥
3 486 𝑒
−𝑥/
¿Cuál es la probabilidad que un día cualquiera se consuma menos de 31. litros?
0
𝑥 (^3) (𝑥^3 + 9𝑥^2 + 54𝑥 + 162) 162 |
¿Cuál es la probabilidad que un día se demande más agua de la que se tiene almacenada? 𝑃(𝑥 > 32 𝑚𝑖𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜𝑠) = 1 − 𝑃(𝑥 < 32 𝑚𝑖𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜𝑠)
0
𝑥 (^3) (𝑥^3 + 9𝑥^2 + 54𝑥 + 162) 162 ||
¿A qué capacidad deben llegar los reservorios para que de los 365 días del año, no más de dos veces se tenga que recurrir a medidas emergentes para cubrir la demanda de agua?
¿Entre 178 y 179.5 gramos? 𝑃(178 < 𝑥 < 179.5) = 𝑃(179.5) − 𝑃(178) = 𝑃(𝑧 1 < 𝑧 < 𝑧 2 )
𝑧 1 =
¿En cuánto debe reducirse la varianza o del peso X, si conservando se necesita que 181 sea el percentil 95 de la distribución de X? 𝑃(𝑥 < 181) = 0.
𝑃 (
La varianza debe reducirse:
181 − 180 𝜎 = 1. 1 = 1.64𝜎
𝜎 =
La varianza debe reducirse en 20.
La media debe reducirse:
181 − 𝜇 4.6 = 1. 𝜇 = 181 − 7.544 = 173. 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎: 180 − 173.456 = 6.
La media debe reducirse en 6.
4.31 Un ingeniero industrial observó el tiempo T en minutos que les toma a los empaquetadores de flores envolver para exportación un lote de rosas, concluyendo que tal tiempo es U(4,7). Encuentre μ y 𝜎^2 para el tiempo, grafique la Distribución Acumulada F(t) y determine P(T>5) y P(μ - 𝜎 ≤ T ≤ μ + 𝜎).
𝛼 = 4 ; 𝛽 = 7
𝜇 =
d) Mayores que-1.90, pero menores que -0.20;
𝑃(−1.90 < 𝑧 < −0.20) = 𝑃(𝑧 < −0.20) − 𝑃(𝑧 < −1.90) = 1 − 𝑃(𝑧 < 0.20) − [1 − 𝑃(𝑧 < 1.90)] = −𝑃(𝑧 < 0.20) + 𝑃(𝑧 < 1.90) = −0.5793 + 0. 𝑃(−1.90 < 𝑧 < −0.20) = 0.
e) Entre 1.30 y 2.30;
𝑃(1.30 < 𝑧 < 2.30) = 𝑃(𝑧 < 2.30) − 𝑃(𝑧 < 1.30) = 0.9893 − 0. 𝑃(1.30 < 𝑧 < 2.30) = 0.
f) Mayores que cero pero menores que 1.96;
𝑃(0 < 𝑧 < 1.96) = 𝑃(𝑧 < 1.96) − 𝑃(𝑧 < 0) = 0.9750 − 0. 𝑃(0 < 𝑧 < 1.96) = 0.
g) Entre -1.25 y 0. 𝑃(−1.25 < 𝑧 < 0.25) = 𝑃(𝑧 < 0.25) − 𝑃(𝑧 < −1.25) = 𝑃(𝑧 < 0.25) − [1 − 𝑃(𝑧 < 1.25)] = 0.5987 − 1 + 0. 𝑃(−1.25 < 𝑧 < 0.25) = 0.
4.48 Sea X una variable aleatoria continua de la que se sabe está distribuida normalmente y de la que se conoce además que P(X > 50) = 0.05 y P(X<38)=0.025. Determinar los parámetros 𝜇 y 𝜎^2 de X.
𝑃(𝑋 > 50) = 0.05 = 1 − 𝑃(𝑋 < 50)
𝑃(𝑋 < 50) = 0.95 = 𝑃 (
4.52 Si se conoce en el problema previo que de 10 componentes a disposición, cuatro tienen vida útil menor a 1100 horas y se escogen de entre todas una muestra de tamaño n=6, ¿cuál es la probabilidad que 3 de las escogidas trabajen menos de 1100 horas?
Aplicando distribución binomial:
𝑋~𝐵𝑖𝑛(𝑛, 𝑝)
𝑝 = 𝑃(𝑥 < 1100) = 1− 𝑒−(
1100 900 )
= 0. 𝑛 = 6 ; 𝑥 = 3
𝑃(𝑋 = 𝑥) = (𝑛𝑥) (𝑝)𝑥(1 − 𝑝)𝑛−𝑥
𝑃(𝑋 = 3) = (^63 ) (0.673)^3 (1 − 0.673)6−
𝑃(𝑋 = 3) = 0.
4.11 Sea X una variable Aleatoria Continua tal que:
𝑥 (^3) , 𝑥 > 0
Determine la Densidad, la media, la varianza y la función generadora de momentos de x. Grafique F con precisión y señale qué segmento de la recta representa P(X>4): P(X≤4) y P(2<X ≤4)
𝑓(𝑥) = 𝐹′(𝑥)
Cuando x≤0, f(x)=
Cuando x>0,
𝑥 (^3) ) 𝑑𝑥 = 𝑒
−𝑥 3 3
𝑥 3 3 ,^ 𝑥 > 0 media:
𝑥 3 3 )
∞
−∞
0
−∞
𝑥 3 3 )
∞
0
∞
−∞
= ∫
𝑥 3 3
∞
0
𝑥 (^3) |
varianza:
∞
−∞
𝑥 3 3 )
∞
0
𝑥 (^3) (𝑥^2 + 6𝑥 + 18) |
función generadora de momentos:
𝑥 3 3 )
∞
−∞
0
−∞
𝑥 3 3 )
∞
0
∞
−∞ gráfica de F:
varianza
𝜎^2 =
f(x)
𝑓(𝑥) = ∫ 𝑥𝛼−1(1 − 𝑥)𝛽−1𝑑𝑥
1
0
4
F(x)
5 25
𝑥 0
P(x>0.05)
𝑃(𝑥 > 0.05) = 1 − 𝑃(𝑥 < 0.05) = 1 − 𝐹(0.05) = 1 −
