Distribución de Poisson.pdf, Ejercicios de Estadística

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Probabilidad - Estadística

Andrea Beltrán

Distribución de

Poisson

La probabilidad de que un individuo vacunado contra una determinada enfermedad se contagie es 𝑝 = 0 , 2. Un grupo de 8 individuos, es vacunado. Calcular las siguientes probabilidades:

• a) Que contraiga la enfermedad un solo individuo.
• b) Al menos dos contraigan la enfermedad.
• c) Como máximo 2 contraen la enfermedad. Solución
  • 𝑥: 1 ,
  • 𝑛: 8
  • 𝑝: 0 , 2
    • 𝑞: 1 − 𝑝 = 0 , 8
• a) 𝑝 1 = 8 𝐶 1 ( 0 , 2 ) 1 ( 0 , 8 ) 7 = 0 , 3355
• b) 𝑝 𝑥 ≥ 2 = 1 − 𝑝 𝑥 ≤ 1 𝑝 0 = 8 𝐶 0 ( 0 , 2 ) 0 ( 0 , 8 ) 8 = 0 , 1677 𝑝 𝑥 ≥ 2 = 1 − 0 , 1677 + 0 , 3355 = 0 , 4968
• c) 𝑝 𝑥 ≤ 2 = 𝑝 0 + 𝑝 1 + 𝑝( 2 ) 𝑝 2 = 8 𝐶 2 ( 0 , 2 ) 2 ( 0 , 8 ) 6 = 0 , 2936 𝑝 𝑥 ≤ 2 = 0 , 1677 + 0 , 3355 + 0 , 2936 = 0 , 7968

Solución de ejercicios (Binomial)

𝑥 ≥ 2 𝑥 ≤ 2

• La llegada de un cliente al negocio durante una hora.
• Las llamadas telefónicas que se reciben en un día.
• Los defectos en manufactura de papel por cada metro producido.
• Los envases llenados fuera de los límites por cada 100 galones de

producto terminado.

• Número de fallas en la superficie de una cerámica rectangular.
• Número de bacterias en un volumen de un 𝑚 3

de agua.

• Número de accidentes de trabajo que ocurren en una fábrica durante

una semana.

Ejemplos

𝑃 𝑋 = 𝑥 : es la probabilidad de ocurrencia cuando la variable discreta X

toma un valor finito 𝑥.

𝜆:Promedio de ocurrencias en un intervalo (tiempo, volumen, área, etc.)

𝑥: Es el número de ocurrencias

La expresión anterior permite calcular la probabilidad de que ocurran

exactamente 𝑥 sucesos en función de 𝜆, e, es un número, es la base de los

logaritmos naturales y es igual a 2 , 71828 …

𝑥

−𝜆

Ley de distribución de Poisson

• En un hospital el número medio de pancreatitis agudas atendidas por día es 0 , 9. Calcular la probabilidad de que un día determinado sean atendidas 3 pancreatitis agudas en dicho hospital.
• Solución 𝑃 𝑋 = 𝑥 =

𝑥 𝑥!

−𝜆

• 𝜆 = 0 , 9
• 𝑥 = 3
  • Tiempo: 1 día
  • 𝑃 3 = ( 0 , 9 ) 3 3!

− 0 , 9

• = 0 , 04940

Ejemplo 1

8 Si un banco recibe en promedio 6 cheques sin fondo por día, ¿cuáles son las probabilidades de que reciba: a) cuatro cheques sin fondo en un día dado b) 10 cheques sin fondos en cualquiera de dos días consecutivos. Solución 𝑃 𝑋 = 𝑥 =

𝑥 𝑥!

−𝜆 𝜆 = 6 𝑥 = 4 Tiempo: 1 día 𝑃 4 =

4 4!

− 6 = 0 , 1339

Ejemplo 2

La probabilidad de que haya una complicación grave en una apendicectomía es 0 , 002. Si en un país se realizan 1. 200 intervenciones de este tipo al año. Calcular en un año: a) La probabilidad de que haya complicaciones graves en 2 o menos intervenciones. b) La probabilidad de que haya exactamente 7 complicaciones graves. c) La probabilidad de que haya exactamente 7 complicaciones graves en 6 meses; en año y medio.

Ejemplo 3

Solución

𝑥

−𝜆

• 𝑝 = 0 , 002
• 𝑛 = 1200
• 𝑥 ≤ 2
• Tiempo: un año
• 𝜆 = 𝑛𝑝 = 2 , 4
• 𝑝 𝑥 ≤ 2 = 𝑃 0 + 𝑝 1 + 𝑝 2
• 𝑝( 0 ) = ( 2 , 4 ) 0 0!

− 2 , 4

• 𝑝( 1 ) = ( 2 , 4 ) 1 1!

− 2 , 4

• 𝑝 2 = 2 , 4 2 2!

− 2 , 4

• 𝑝 𝑥 ≤ 2 = 0 , 5697
• b) La probabilidad de que haya

exactamente 7 complicaciones

graves.

• 𝑝 7 = 2 , 4 7 7!

− 2 , 4

• c) La probabilidad de que haya

exactamente 7 complicaciones

graves en 6 meses, en un año y

medio.

7

− 1 , 2

7

− 3 , 6

2,4 12 meses ? 6 meses 2,4 12 meses 1,2 6 meses 2,4 12 meses ? 18 meses 2,4 12 meses 3,6 18 meses