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APRENDO MATEMÁTICA

Organizador didáctico

Gerente general Claudio De Simony

Directora editorial Alina Baruj

Coordinadora autoral Liliana Kurzrok

Autora Liliana Kurzrok

Jefa de arte Eugenia Escamez Coordinación de arte y diseño gráfico Yésica Vázquez Diagramación Yésica Vázquez

Jefa de preprensa y fotografía Andrea Balbi Selección de imágenes Leandro Ramírez

Ilustradores Andrea Cingolani

Asistente editorial Carolina Pizze

Producción editorial Ricardo de las Barreras

Marketing editorial Mariela Inés Gomez © Tinta fresca ediciones S.A. Corrientes 526 (C1043AAS) Ciudad de Buenos Aires

Planificación anual sugerida .................... 3

Tabla de contenidos .................................. 7

1. Los números naturales .......................... 9

2. Divisibilidad ......................................... 13

3. Triángulos y ángulos ........................... 17

4. Los números naturales y

sus regularidades .................................... 26

5. Los cuadriláteros ................................. 29

6. Los números racionales....................... 42

7. Los polígonos ....................................... 47

8. Operaciones con números racionales ...

9. Iniciación al estudio de funciones ...... 56

10. Las relaciones de proporcionalidad ....

11. Los cuerpos geométricos ................. 65

12. Perímetros y áreas de figuras ........... 68

13. Volúmenes de cuerpos ...................... 71

14. Estadística y probabilidad ................ 72

ÍNDICE

Planificación anual sugerida

Periodo

Objetivos y propósitos Contenidos curriculares Secuencia didácticasugerida Situaciones didácticas en el libro

Mayo

Reconocer regularidades en distintos contextos definiendo variables dependientes e independientes. Analizar la información que porta una expresión aritmética para decidir si un número es múltiplo o divisor de otro, sin necesidad de hacer cálculos.

Reconocer figuras geométricas y producir construcciones explicitando las propiedades involucradas, en situaciones problemáticas que requieran:

• analizar cuadriláteros para caracterizarlos y clasificarlos;
• explorar y argumentar acerca del conjunto de condiciones (sobre lados, ángulos, diagonales) que permitan construir cuadriláteros.

Abordar el concepto de variable en matemática. Realizar un trabajo exploratorio de variables que se relacionan entre sí, identificando el modo en el que una varía en función de la otra y viceversa realizando un estudio de la dependencia o independencia de una variable con respecto a otras.

Analizar los criterios de unicidad en la construcción de cuadriláteros con distintos datos. Analizar las propiedades de las diagonales y los ángulos interiores.

Búsqueda de regularidades. Análisis de expresiones numéricas. Expresiones algebraicas. Variación de los productos al variar un factor. Generalización de expresiones algebraicas. Introducción a las fórmulas en la planilla de cálculo.

Reconocimiento de figuras. Construcción de paralelogramos. Propiedades de los trapecios. Ángulos interiores de triángulos y cuadriláteros. Diagonales de los cuadriláteros. Diagonales de cuadriláteros. Figuras inscriptas en circunferencias.

Capítulo 4: Los números naturales y sus regularidades Las decoraciones con guardas (Pág. 43) Averiguar mirando (Pág. 44 y 45) Seguir patrones (Pág. 46 y 47) Cambiar los números (Pág. 48 y 49) Las generalizaciones (Pág. 50) La panilla de cálculo (Pág. 51)

Capítulo 5: Los cuadriláteros Los mandalas (Pág. 53) Construir paralelogramos (Pág. 54 y 55) Construir trapecios (Pág. 56 y 57) Calcular ángulos sin medir (Pág. 58 y 59) Las diagonales (Pág. 60) Investigar propiedades con GeoGebra (Pág. 61)

Junio

Reconocer y usar los números naturales y las expresiones fraccionarias y decimales, y explicitar la organización del sistema decimal de numeración en situaciones problemáticas que requieran:

• interpretar, registrar, comunicar, comparar y encuadrar cantidades y números eligiendo la representación más adecuada según el problema;
• argumenta sobre la equivalencia de las representaciones de un número usando expresiones fraccionarias y decimales finitas, descomposiciones polinómicas y/o puntos de la recta numérica.

Resolución de situaciones que impliquen considerar la densidad en el conjunto de números fraccionarios. Estudio de fracciones con expresión decimal finita y números periódicos. Resolución de problemas que exijan ordenar expresiones decimales y fraccionarias

Fracciones y expresiones decimales. Repartos equitativos. Repartos equivalentes Situaciones problemáticas con números fraccionarios. Números fraccionarios para medir. Segmentos conmensurables. Fracciones y expresiones decimales. Ubicación en la recta numérica. Orden y densidad.

Capítulo 6: Los números racionales Fracciones y expresiones decimales (Pág. 63) A repartir (Pág. 64 y 65) La ferretería (Pág. 66 y 67) Usar números fraccionarios para medir (Pág. 68 y 69) Los números con coma (Pág. 70 y 71) La recta numérica (Pág. 72 y 73) ¿Qué es más? (Pág. 74 y 75)

Julio

Reconocer figuras geométricas y producir construcciones explicitando las propiedades involucradas, en situaciones problemáticas que requieran:

• analizar polígonos para caracterizarlos y clasificarlos;
• explorar y argumentar acerca del conjunto de condiciones (sobre lados, ángulos, diagonales) que permitan construir polígonos.

Investigar y determinar de los polígonos regulares que permiten cubrir el plano. Analizar propiedades de diagonales y ángulos interiores y exteriores de polígonos.

Polígonos cóncavos y convexos. Construcción de polígonos regulares e irregulares. Ángulos interiores de polígonos. Ángulos con figuras combinadas. Ángulos exteriores de polígonos. Cubrimiento del plano.

Capítulo 7. Los polígonos Visita al museo Pág. 77) Construir polígonos (Pág. 78 y 79) Calcular ángulos (Pág. 80 y 81) Calcular ángulos sin medir (Pág. 82 y 83) Ángulos exteriores (Pág. 84) Cubrir la pantalla (Pág. 85)

Planificación anual sugerida

Periodo

Objetivos y propósitos Contenidos curriculares Secuencia didácticasugerida Situaciones didácticas en el libro

Agosto

Reconocer y usar operaciones entre números naturales, fraccionarios y expresiones decimales y la explicitación de sus propiedades en situaciones problemáticas que requieran:

• operar con cantidades y números seleccionando el tipo de cálculo (mental y escrito, exacto y aproximado, con y sin uso de la calculadora) y la forma de expresar los números involucrados que resulte más conveniente en función del caso y evaluando la razonabilidad del resultado obtenido;
• argumentar sobre la validez de un procedimiento o el resultado de un cálculo mediante las propiedades de la suma, la resta, la multiplicación y la división.

Promover estrategias de cálculo pensado para estimar resultados en el conjunto de los números racionales, analizando y fundamentando diferentes formas de resolver. Problematizar acerca de la construcción de distintas estrategias de cálculo.

Situaciones problemáticas con sumas y restas. Estrategias de sumas y restas. Multiplicación de números fraccionarios. Multiplicación entre números decimales. División entre números fraccionarios. División entre números expresados en forma decimal. Estrategias de cálculo mental. Potenciación y radicación. Estrategias de cálculo mental.

Capítulo 8: Operaciones con números racionales La dietética (Pág. 87) Resolver más fácil (Pág. 88 y 89) Sembrar cereales (Pág. 90 y 91) El supermercado mayorista (Pág. 92 y 93) Los artículos de limpieza (Pág. 94 y 95) Dividir números decimales (Pág. 96 y 97) Facilitar las cuentas (Pág. 98 y 99) La potenciación y la radicación (Pág. 100) Uso de la calculadora (Pág. 101)

Septiembre

Analizar variaciones en situaciones problemáticas que requieran interpretar y producir tablas e interpretar gráficos cartesianos para relaciones entre magnitudes discretas y/o continuas.

Analizar distintos tipos de funciones a través de la lectura de su gráfico cartesiano. Construir tablas y gráficos cartesianos correspondientes a modelos lineales. Comparar entre dos situaciones lineales a partir de organizar los datos en tablas o en gráficos cartesianos.

Ubicación en mapas y planos. Recorridos horizontales y verticales. Puntos en el plano. Ubicación de puntos en el plano. Lectura de gráficos. El concepto de función. Fórmulas, tablas y gráficos. Análisis de facturas. Puntos en el plano.

Capítulo 9: Iniciación al estudio de funciones Las cataratas del Iguazú (Pág. 103) La boletería del teatro (Pág. 104) Ubicar puntos en el plano (Pág. 105) Buscar puntos en el plano (Pág. 106 y 107) Leer la información (Pág. 108 y 109) Las relaciones entre variables (Pág. 110 y 111) Pagar los consumos (Pág. 112) Armar figuras (Pág. 113)

Octubre

Comparar situaciones de proporcionalidad directa a partir de comparar las constantes respectivas. Identificación de algunas constantes particulares: porcentaje, escala, velocidad.

Reconocer figuras y cuerpos geométricos y producir y analizar construcciones explicitando las propiedades involucradas en situaciones problemáticas que requieran:

• analizar figuras y cuerpos (prismas, pirámides, cilindros, conos y esferas) geométricos para caracterizarlos y clasificarlos;
• analizar afirmaciones y producir argumentos que permitan validar las características de los cuerpos geométricos.

Resolver problemas de proporcionalidad directa en los que la constante de proporcionalidad es una fracción. Resolver problemas que ponen en juego relaciones de proporcionalidad inversa.

Analizar las propiedades de prismas, pirámides, cilindros y conos. Analizar la relación entre vértices, aristas y caras.

Relaciones proporcionales y no proporcionales. Problemas de proporcionalidad directa. Cálculo de porcentajes. Escalas. Relaciones de proporcionalidad inversa. Posiciones relativas a planos y rectas en el espacio. Clasificación de cuerpos geométricos. Cuerpos platónicos. Relación entre caras, aristas y vértices. Desarrollos planos de cuerpos geométricos.

Capítulo 10: Las relaciones de proporcionalidad El siku (Pág. 115) La pinturería (Pág. 116 y 117) Aumentos y descuentos (Pág. 118 y 119) Armado de planos (Pág. 120) Los mapas (Pág. 121) Relaciones entre variables (Pág. 122) Capítulo 11: Los cuerpos geométricos Las megaconstrucciones (Pág. 125) Ordenar la caja de los cuerpos geométricos (Pág. 126 y 127) La relación de Euler (Pág. 128 y 129) Cuerpos para armar (Pág. 130 y 131)

Tabla de contenidos

Capítulo Contenidos

1. Los números naturales

Lectura y escritura de números grandes Situaciones problemáticas con las cuatro operaciones Problemas de combinatoria Problemas de división Estrategias de multiplicación y división Propiedades de las operaciones Valor posicional de las cifras Potenciación y radicación Cálculo aproximado Propiedades de las operaciones

2. Divisibilidad

Divisor común mayor. Múltiplo común menor Análisis de los restos de la división Múltiplos y divisores Múltiplo común menor. Divisor común mayor Criterios de divisibilidad

3. Triángulos y ángulos

Circunferencia y círculo como lugar geométrico Unidades de medida de ángulos Ángulos adyacentes y opuestos por el vértice Congruencia de triángulos Lugar geométrico: mediatriz y bisectriz Copiado y dictado de figuras Mediatriz y bisectriz

4. Los números naturales y sus regularidades

Búsqueda de regularidades Análisis de expresiones numéricas Expresiones algebraicas Variación de los productos al variar un factor Generalización de expresiones algebraicas Introducción a las fórmulas en la planilla de cálculo

5. Los cuadriláteros

Reconocimiento de figuras Construcción de paralelogramos Propiedades de los trapecios Ángulos interiores de triángulos y cuadriláteros Diagonales de los cuadriláteros Diagonales de cuadriláteros. Figuras inscriptas en circunferencias

6. Los números racionales

Fracciones y expresiones decimales Repartos equitativos. Repartos equivalentes Situaciones problemáticas con números fraccionarios Números fraccionarios para medir. Segmentos conmensurables Fracciones y expresiones decimales Ubicación en la recta numérica Orden y densidad

7. Los polígonos

Polígonos cóncavos y convexos Construcción de polígonos regulares e irregulares Ángulos interiores de polígonos Ángulos con figuras combinadas Ángulos exteriores de polígonos Cubrimiento del plano

Capítulo Contenidos

8. Operaciones con números racionales

Situaciones problemáticas con sumas y restas Estrategias de sumas y restas Multiplicación de números fraccionarios Multiplicación entre números decimales División entre números fraccionarios División entre números expresados en forma decimal Estrategias de cálculo mental Potenciación y radicación Estrategias de cálculo mental

9. Iniciación al estudio de funciones

Ubicación en mapas y planos Recorridos horizontales y verticales Puntos en el plano Ubicación de puntos en el plano Lectura de gráficos El concepto de función. Fórmulas, tablas y gráficos Análisis de facturas Puntos en el plano

10. Las relaciones de proporcionalidad

Relaciones proporcionales y no proporcionales Problemas de proporcionalidad directa Cálculo de porcentajes Escalas Relaciones de proporcionalidad inversa

11. Los cuerpos geométricos

Posiciones relativas a planos y rectas en el espacio Clasificación de cuerpos geométricos. Cuerpos platónicos Relación entre caras, aristas y vértices Desarrollos planos de cuerpos geométricos

12. Perímetros y áreas de figuras

Los conceptos de perímetro y área Perímetro de figuras / Área de figuras Equivalencias de unidades de medidas de área Relación entre áreas y perímetros Perímetro y área de circunferencias y círculos Variación de perímetros y áreas Perímetros y áreas de figuras combinadas Relaciones entre áreas y perímetros

13. Volúmenes de cuerpos

Volumen de cuerpos Volúmenes de prismas Superficie de prismas Variación del volumen y la superficie al variar las medidas

14. Estadística y probabilidad

Estadística descriptiva. Censo Organización de datos Medidas de tendencia central Experimentos aleatorios. Cálculo de probabilidad

Tabla de contenidos

p. 10 y 11

Problemas de división.

p. 12 y 13

Estrategias de multiplicación y división.

p. 14 y 15

Propiedades de las operaciones.

Repartir golosinas

1. Si porque 232 × 10 = 2.320 y eso es menos que 2.875.
2. a. 122 chupetines. b. 3 chupetines. c. 1.473 = 122 × 12 + 9, entonces 1.477 = 1.473 + 4 = 122 × 12 + 9 + 4 = 122 × 12 + 13 = 122 × 12 + 12 + 1 = 123 × 12 + 1. En cada caja pone 123 caramelos y sobra 1.
3. a. Como 128 × 10 = 1.280 y 128 × 100 = 12.800 entonces el cociente es mayor que 10 y menor que 100; tiene 2 cifras. b. El doble de mentitas. c. Cada uno recibe lo mismo que al principio.
4. a. Si las cajas son de 58 paquetes compran 38 cajas, si son de 40 cajas son de 54 cajas. b. Le conviene comprar las cajas de 58 cajas. c. Si le conviene el mismo tipo de cajas.
5. a. 17 viajes. b. Paga $3.060. c. 420 cajas. d. Si traslada la tercera parte de cajas en camiones que tienen la tercera parte de capacidad, necesita la misma cantidad de viajes.

Resolver las cuentas

Pensemos entre todos

 Porque quería multiplicar por 800 pero multiplica por 8 y luego por 100. También quería multiplicar por 90 y entonces multiplica por 9 y luego por 10.  Julieta descompone 895 como 800 + 90 + 5.  Santiago descompone 895 como 900 – 5 y 148 como 150 – 2.  Falta restar 900 × 2.  Porque al descomponer con números mayores está multiplicando por números más grandes.  Lina descompone 148 como 140 + 48.  Lina resta porque primero resuelve la cuenta 900 × 148 y quería resolver 895 × 148.

2. a. 238 × 150 + 238 × 2 b. 230 × 152 + 238 × 152 c. 230 × 150 + 8 × 150 + 238 × 2 d. 240 × 150 – 2 × 150 + 238 × 2

3. a. Producción personal. b. Falta multiplicar el resultado por 2. c. Descompone el 12 como 6 × 2.

Pensemos entre todos

 Santiago escribe 10 + 10 en lugar de 20.  Las cuentas son similares, solo que Julieta hace menos pasos.

5. 100 × 20 + 80 × 20 + 8 × 20 – 100 × 2 – 80 × 2 – 8 × 2
6. a. Porque es la parte entera de veces que entra 28 en 1.234. b. Calcula la cantidad de caramelos que usa si le da 44 a cada chico. c. Resta los caramelos que tenía menos los que usó.

Números y cálculos

1. a. Puede duplicar la suma. b. Calculando la mitad de la suma.
2. a. 23 × 15 + 23 × 2 = 346 + 46 = 391 b. 23 × 15 – 15 = 345 – 15 = 330
3. a. 32 × 20 + 40 × 20 + 32 × 15 + 40 × 15

p. 14 y 15

Propiedades de las operaciones.

p. 16 y 17

Valor posi- cional de las cifras.

4. a. 20 × 40 + 8 × 20 + 5 × 40 + 8 × 5 b. 30 × 50 + 7 × 50 + 30 × 2 + 7 × 2

5. Por ejemplo: a. (120 + 4) × (30 + 5) = 120 × 30 + 120 × 5 + 4 × 30 + 4 × 5 b. (200 + 30 + 7) × (40 + 2) = 200 × 40 + 200 × 2 + 30 × 40 + 30 × 2 + 7 × 40 + 7 × 2 c. (100 + 20 + 8) × (10 + 5) = 100 × 10 + 100 × 5 + 20 × 10 + 20 × 5 + 8 × 10 + 8 × 5

Pensemos entre todos

 Si es correcto porque si tiene que dividir por 2 × 2 × 2 × 3 puede ir haciéndolo de a uno.  No es correcto porque la calculadora no entiende que tiene que dividir por todos esos números.  4.536 : (2 × 2 × 2 × 3)

7. No se puede hacer lo que dice Lucía en estos casos.
8. a. Producción personal. b. i. 3.852 = 3.200 + 320 + 320 + 12

Cociente: 120 ; Resto: 12

ii. 14.112 = 8.800 + 4.400 + 880 + 22 + 10

Cociente: 641 ; Resto: 11

iii. 35.111 = 13.000 + 13.000 + 2.600 + 2.600 + 2.600 + 1.300 + 11

Cociente: 2.700 ; Resto: 11

Tiro al blanco

1. 1.000.000 100.000 10. 1.000 100 10
2. a. 50.320 puntos. b. Por ejemplo en el sector gris o en el rosado. c. Como tira 10 pelotitas, a lo sumo lo puede empatar embocando todas las pelotitas en el sector gris. d. Si se embocan por ejemplo 5 pelotitas en el sector amarillo, los puntos son cincuenta mil.
3. a. 3 en el amarillo, 2 en el rojo, 4 en el azul. b. 1 en el sector gris, 2 en el sector amarillo y 3 en el sector rojo. c. Por ejemplo 3 en el sector gris y 12 en el rojo.

Dividido 12

Dividido 22

Dividido 13

p. 22 Integrar lo aprendido

1. 15 tartas.
2. a. Falso porque hay que multiplicar 7 veces por 10 a 459.356. Tiene 13 cifras. b. Verdadero porque hay que multiplicar 14 veces por 10. c. Verdadero porque 100.000.000 × 5 = 500.000.000 y 6 × 100.000.000 = 600.000.000. d. Verdadero porque es el número formado por las dos últimas cifras.
3. a. No se obtiene el resultado. Para ello hay que agregar 120 × 8 + 4 × 90. b. Si se obtiene el resultado porque se suman 100 veces 124 y luego se restan 2 veces 124. c. Si se obtiene el resultado porque primero suman 90 vece y 8 veces 120. Luego hace lo mismo con 4. d. No se obtiene el resultado porque suma 100 veces el 125.
4. a. Falso b. Verdadero. c. Falso d. Falso.
5. a. (14 – 5) × 10 + 1 = 91 b. 125 : (5 × 5) + 40 – (8 – 7) = 44 c. 222 : (8 – 3) – (50 – 10) = 34

2 Divisibilidad

El cotillón

Pensemos entre todos

 Si se puede porque todos los números son pares. Se armarán 27 bolsitas de vinchas, 33 de silbatos y 24 de cornetas.  No puede armar bolsitas con 5 artículos porque sobrarían artículos.  Tiene que armar bolsitas de 6 artículos cada una.

Cocientes y restos

1. a. Es verdadera porque 9.600 es el doble de 4.800, entonces: 9.600 : 60 = (2 × 4.800) : 60 = 2 × (4.800 : 60) = 2 × 80 = 160 b. Es falso porque si se divide por la mitad, se obtiene el doble.
2. a. Cociente: 15. Resto: 7. b. Cociente: 6. Resto: 7 porque 187 = 12 × 15 + 7 = 6 × 2 × 15 + 7 = 6 × 30 + 7.
3. 4.735 = 233 × 20 + 75 a. 4.740 = 4.735 + 5 = 233 × 20 + 75 + 5 = 233 × 20 + 80. Cociente: 20. Resto: 80. b. 4.700 = 4.735 – 35 = 233 × 20 + 75 – 35 = 233 × 20 + 40. Cociente: 20. Resto: 40.
4. a. Hay una sola manera de completar la cuenta.

p. 23

Máximo común divisor. Mínimo común múltiplo.

p. 24 y 25

Análisis de los restos de la división.

b. Hay 27 maneras de completar la cuenta. Dividendo = 27 × 17 + resto. El resto tiene que ser un número entre 0 y 26. Por ejemplo:

c. Hay muchas maneras de completar la cuenta. Todas deben cumplir que Divisor × cociente = 160. Por ejemplo:

d. Hay infinitas maneras de completar la cuenta. Todos los que verifican: Dividendo = divisor × 24 + 7 con el divisor cualquier número mayor que 7.

5. El número es 25 × cociente + 14 para que sea múltiplo de 5 hay que sumar, cómo mínimo 11.
6. a. Hay una única opción.

b. Hay 24 cuentas posibles. Todas son de la forma dada con r un número entero ente 0 y 23.

c. Hay infinitas cuentas posibles. Todas son de la forma:

42 × cociente + 7 42

7 cociente

24 × 33 + r 24

r 33

c. Los escribe con su descomposición en factores primos. d. Porque usa la menor cantidad de números primos que puede, para que los dos números sean divisores del dado. e. 448 f. Hay infinitas posibilidades. Todas se forman multiplicando 448 por un número natural. Por ejemplo: 896, 4.480, etc.

3. Debe poner 6 latas en cada estante y armará 8 estantes con latas de choclo y 9 estantes con latas de arvejas. 17 estantes en total.
4. a. Producción personal. b. Hace una lista de todos los divisores de cada número y se fija entre los comunes a ambos cuál es el más grande. c. Porque si el número es divisor de ambos tiene que tener todos los números primos que son divisores comunes a ambos. d. 4
5. Múltiplo común menor = 2^6 × 3^2 × 5^3 × 7^3 Divisor común mayor: 2^5 × 5^2 × 7
6. a. i. 2² × 3² × 5² ii. 2 × 5 × 13² b. MCM = 2² × 3² × 5² × 13² dcm = 2 × 5

¿Es múltiplo?

1. Todos los números naturales se pueden escribir de la forma 10 × n + la unidad. Como 10 es múltiplo de 2 entonces 10 × n es siempre múltiplo de 2. Para que el número sea múltiplo de 2, la unidad debe serlo. Por lo tanto los números que son múltiplos de 2 son los que tienen por unidad a 0, 2, 4, 6 u 8.

Pensemos entre todos

 Porque 100 = 4 × 25 y 1.000 = 4 × 250.  No, 67 no es múltiplo de 4.  4.567 no es múltiplo de 4 porque en la descomposición de Lucía podemos ver que 4 × 1.000 y 5 × 100 son múltiplos de 4 pero 67 no lo es.  Todos los números naturales se pueden escribir de la forma 100 × n + un número menor a 100. Como 100 es múltiplo de 4 entonces 100 × n es siempre múltiplo de 4. Para que el número sea múltiplo de 4, el número menor a 100 debe serlo. Por lo tanto los números que son múltiplos de 4 son los que terminan en un número de dos cifras que es múltiplo de 4.

3. a. Si porque 1.000 = 8 × 125. b. 45.180 = 45 × 1.000 + 180. Como 1.000 es múltiplo de 8, entonces 1.000 × 45 es múltiplo de 8. Para que la suma sea múltiplo de 8 también debe serlo 180. Por lo tanto tengo que mirar el número de 3 cifras con que termina el primer número.
4. a. Porque quiere analizar si el número es múltiplo de 3 y como 999 es múltiplo de 3 se está asegurando que 2 × 999 es múltiplo de 3. b. Reemplaza 3 × 100 por 3 × 99 + 3 y 4 × 10 como 4 × 9 + 4. c. 2 × 999, 3 × 99 y 4 × 9. d. Faltaría saber si 2 + 3 + 4 + 7 da múltiplo de 3. (en este caso el término 3 se podría sacar porque ya sabemos que es múltiplo de 3 pero lo dejamos ahí para poder generalizar).
5. Como lo que hace Brenda se puede hacer con cualquier número, un número es divisible por 3 cuando la suma de sus cifras forma un número que es múltiplo de 3.
6. Si observamos la descomposición de Brenda, 999, 99 y 9 son múltiplos de 9, por lo tanto esa

p. 30 y 31

Criterios de divisibilidad.

descomposición sirve para decir que el número será múltiplo de 9 si la suma de las cifras es múltiplo de 9.

7. 3.124 porque 24 es múltiplo de 4. 3.148 porque 48 es múltiplo de 4. 7.936 porque 36 es múltiplo de 4.
8. 3.816 porque 3 + 8 + 1 + 6 = 18 que es múltiplo de 3. 1.122 porque 1 + 1 + 2 + 2 = 6 que es múltiplo de 3. 2.406 porque 2 + 4 + 0 + 6 = 12 que es múltiplo de 3.

Taller de Problemas

 Conviene escribirlo como una multiplicación de 100 × un número natural más otro número natural de 2 cifras o menos.  Porque 100 es múltiplo de 4 entonces el término que tiene 100 × n es también múltiplo de 4 y solo hay que analizar si el número de dos cifras es múltiplo de 4.  Para analizar si un número es múltiplo de 5 o de 2 conviene escribirlo como 10 × n más un número de una cifra.  Como 1.000 es múltiplo de 8, si se escribe al número como 1.000 × n más un número de 3 cifras o menos, el número será múltiplo de 8 si el número de 3 cifras que se suma lo es.  Primero se escribe el número en su descomposición por potencias de 10. Luego se sigue descomponiendo de modo que queden términos que tengan un producto de una cifra por un número cuyas cifras son todas 9. Esto es lo que hizo Brenda en el problema 4.  Esto sirve porque así muchos términos son seguro múltiplo de 3.  Siguiendo la descomposición del problema 4 un número es múltiplo de 3 si la suma de sus cifras es múltiplo de 3.

Integrar lo aprendido

1. a. Si porque si un número es par si es múltiplo de 2 y entonces es la suma de varias veces el 2. Si sumamos dos números que son sumas de 2, lo que nos queda es una suma de números 2 que es múltiplo de 2. b. Es falso porque cada número impar es un número par más 1. Al sumar los dos unos se convierten en otro par que es 2. Luego la suma es par. c. Es falso, por ejemplo 24 + 32 = 56 que no es múltiplo de 8. d. Verdadero porque un múltiplo de 3 es una suma de muchas veces el 3. Si un número no es múltiplo de 3 al dividirlo por 3, el resto será 1 o 2. Entonces al sumar los dos números quedará una suma de muchas veces el 3, más 1 o más 2. Esta cuenta no puede dar múltiplo de 3.
2. a. Puede ser 3, 6, 9 o 0. b. 7 c. Puede ser 0, 4 u 8. d. 6
3. Puede tener 25 u 85 latas.
4. Dentro de 60 días.

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3 Triángulos y ángulos

La clase de Educación Física

Pensemos entre todos

 En el sector celeste.  En el sector anaranjado.  Tiene que caminar a 5 m de A.  Tiene que estar en los sectores celeste o verde.

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Circunferencia y círculo como lugar geomé- trico.

2. a.

b. Uno solo.

3. a.

b. Uno solo.

4. a.

4 cm

5 cm

35°

4 cm

5 cm

4 cm

4 cm

35° 60°

b. Hay dos triángulos distintos que se pueden construir.

5. a. Se pueden construir infinitos triángulos con estos datos.

b. Se pueden construir infinitos triángulos con estos datos.

3 cm

4 cm

5 cm

5 cm 5 cm

4 cm

45°

4 cm