¡Descarga Documento informática y más Apuntes en PDF de Informática solo en Docsity!
ÁREA DE POLÍGONOS
Daniel Tzoali Arroyo Valdivia Daniela Maribel Trancoso Cervantes
1. Rectángulos
A lo largo de este material y en otros textos podrás encontrarte que el área de una figura se representa dentro de paréntesis.
(𝐴𝐵𝐶) = á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑡𝑟𝑖á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑐𝑜𝑛 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒𝑠 𝐴𝐵𝐶.
Es bien sabido que el área de una figura plana es el tamaño de la superficie que esta ocupa, y el perímetro es la longitud total que rodea a la figura.
Ya que el perímetro es la distancia alrededor de una figura, podemos encontrar el perímetro de un rectángulo o un cuadrado sumando las longitudes de sus cuatro lados. Un rectángulo es una figura geométrica con cuatro lados de dos longitudes distintas, los lados opuestos y paralelos tienen la misma longitud, es por ello que el perímetro de esta figura puede obtenerse de la siguiente manera:
𝑃𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 = 𝑏 + ℎ + 𝑏 + ℎ = 2 𝑏 + 2ℎ
Supongamos que tenemos una superficie cuadriculada donde cada pequeño cuadro representa una unidad cuadrada, si trazamos un rectángulo sobre esta superficie y deseamos conocer su área, es decir, queremos saber el espacio que cubre la figura. Para saberlo tenemos varias opciones, podemos contar cada uno de los cuadritos dentro de la figura, o bien, podemos dirigirnos al lado superior del rectángulo y contar cuántos cuadritos hay en esa primera fila, después nos dirigimos hacia el lado contiguo (el lado que se encuentra enseguida, el cual será de longitud distinta) y contamos el número de veces que se repite la fila. Obtenemos que cada fila tiene b cuadritos y se repite h veces. Por ello el área del rectángulo o el espacio que cubre es 𝑏 ∗ ℎ unidades cuadradas.
El área de un rectángulo es igual al producto de dos de sus lados contiguos:
Á𝑟𝑒𝑎 = 𝑏 ∗ ℎ
2. Triángulos
El perímetro de un triángulo se puede calcular simplemente sumando cada uno de sus lados.
En la escuela siempre nos han dicho que el área de un triángulo es (𝑏𝑎𝑠𝑒 ∗ 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎)/2. Esto se puede ver fácilmente si consideramos un rectángulo de altura 𝑐 y base 𝑎 partido a la mitad, de tal forma que se crean dos triángulos rectángulos.
Como el área del rectángulo es (𝑎 ∗ 𝑐), cada triángulo tendrá un área de (𝑎 ∗ 𝑐)/2, que es lo mismo que (𝑏𝑎𝑠𝑒 ∗ 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎)/2.
Pero lo anterior sólo se aplica para los triángulos rectángulos, entonces ¿por qué se usa para los otros triángulos? Para ver esto consideremos al siguiente triángulo que tiene una altura ℎ y una base 𝑎 = 𝑎 1 + 𝑎 2
Pero ¿qué pasaría si solo tuviéramos la medida de los lados y no la de la altura?
La altura de cualquier triangulo se puede encontrar usando el teorema de Pitágoras
En otro material se explicará este teorema con más detalle.
3. Datos de vital importancia
Todavía no llegamos a lo mero bueno, así que ahora que puedes, toma un respiro con estos datos.
- En el S. VI, Boecio estableció el quadrivium, las cuatro ciencias matemáticas por excelencia que permitirían al hombre la sabiduría: aritmética, geometría, música y astronomía. https://www.palermo.edu/ingenieria/downloads/CyT6/6CyT%2003.pdf
- La primera aproximación a nuestra escala musical fue obra de Pitágoras, quien dividió el espectro musical en octavas y cada octava en siete notas diferentes, cuya frecuencia asignada es mayor a la nota predecesora, de acuerdo con una progresión geométrica. https://algarabia.com/ciencia/sonidos-geometricos/
- Ocelote viene del náhuatl ocelotl, que significa jaguar. Jaguar viene del guaraní yaguareté. https://www.biodiversidad.gob.mx/Biodiversitas/Articulos/biodiv118art1.pdf
4. Cuadriláteros
Paralelogramos
Un caso especial de los cuadriláteros es el de los paralelogramos. Estos son figuras de 4 lados (obviamente) en donde cada pareja de lados es paralela.
Para saber cómo calcular el área de ellos hay que trazar las alturas desde C y D.
De aquí se puede ver que los dos triángulos que se forman △DFA y △CEB son congruentes (iguales), pero el triángulo △DFA no forma parte del paralelogramo original. Usando lo anterior podemos suponer que le quitamos al paralelogramo el triángulo △CEB y se lo ponemos del otro lado de la figura, donde esta △DFA. Entonces la figura nos quedaría:
Se puede ver claramente que la figura es un rectángulo con altura ℎ y de base tiene la misma medida que el paralelogramo original, esto se puede apreciar en el segmento CD el cual nunca se partió y su medida es igual al segmento AB, así como del segmento EF.
Entonces la fórmula para el área de un paralelogramo es (𝑏𝑎𝑠𝑒 ∗ 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎). Puedes intentar voltear el paralelogramo original para comprobar que no importa que base se tome.
Para calcular el perímetro de un paralelogramo, igual que siempre, sólo debes de sumar cada uno de sus lados. Pero al tener dos pares de lados iguales puedes hacer la suma más rápido.
Trapecio
Los trapecios son cuadriláteros con UN par de lados paralelos.
Para ver cómo calcular su área vamos a pegar un trapecio igual en alguno de sus lados no paralelos. Noté que AD=CE, BC=DF y AB=EF.
Cómo se puede ver en la figura los triángulos rectángulos △ABG y el △EFH son iguales, entonces podemos mover el triángulo △EFH del otro lado para completar un rectángulo.
Entonces para calcular el área de los dos trapecios juntos sería (𝑏𝑎𝑠𝑒 ∗ 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎) del rectángulo de la figura anterior. Ahora, está claro que la altura sería la altura del trapecio original, lo interesante es: ¿cuánto vale la base del rectángulo? Si te fijas en el segmento BE, este nunca cambió cuando se movió al triángulo, así que la base del rectángulo es igual a la suma de las bases del trapecio. Entonces el área del rectángulo es (𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 + 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟) ∗ 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎, pero el rectángulo es dos veces el área del trapecio, entonces acabando para calcular el área de un trapecio la fórmula es (𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟+𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟)∗𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 2 , en términos de las figuras sería^
(𝐵𝐶+𝐴𝐷)ℎ
Para el perímetro de un trapecio no hay de otra, tendrás que sumar todos los lados.
5. Polígonos
Regulares
Para calcular el área de polígonos regulares puedes usar lo que te enseñaban en la
escuela, á𝑟𝑒𝑎 = 𝑝𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜∗𝑎𝑝𝑜𝑡𝑒𝑚𝑎 2. Pero hay que ver de dónde sale esto.
Primero, supongamos que tenemos un pentágono.
La apotema de un polígono regular es la medida desde un lado hasta el centro del polígono. Así que para probar la formula “dibujaremos” el centro del pentágono, las apotemas y de pasó las rectas que van de cada vértice hasta el centro.
Por la figura se puede ver que (𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸) = (𝐴𝐵𝑂) + (𝐵𝐶𝑂) + (𝐶𝐷𝑂) + (𝐷𝐸𝑂) + (𝐴𝐸𝑂) = 5(𝐴𝐵𝑂). Y cómo la apotema es la altura de los triángulos anteriores, entonces (𝐴𝐵𝑂) = 𝑙𝑎𝑑𝑜∗𝑎𝑝𝑜𝑡𝑒𝑚𝑎 2 , por lo tanto^ (𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸) =^
5∗𝑙𝑎𝑑𝑜∗𝑎𝑝𝑜𝑡𝑒𝑚𝑎 2 =^
𝑝𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜∗𝑎𝑝𝑜𝑡𝑒𝑚𝑎
En general, para cualquier polígono regular se puede hacer lo anterior, sólo que al final no se multiplicará 5 ∗ 𝑙𝑎𝑑𝑜, se hará 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 ∗ 𝑙𝑎𝑑𝑜 que seguirá siendo el perímetro.
6. Circunferencias
Marca un punto O sobre un plano. Marca ahora otro punto A cualquiera y calcula la distancia entre O y A. Si buscas todos los puntos del plano que están a esa misma distancia del punto O, obtendrás una figura plana, que se conoce como circunferencia.
La circunferencia es una línea plana y cerrada en la que todos los puntos están a igual distancia de un punto O dado. El punto O se llama centro de la circunferencia y la distancia entre el centro y cualquiera de los puntos de la circunferencia se llama radio.
En una circunferencia podemos distinguir los siguientes elementos:
- Centro : es el punto situado en su interior que se encuentra a la misma distancia de cualquier punto de la circunferencia.
- Radio : es el segmento que une cualquier punto de la circunferencia con el centro.
- Cuerda : es el segmento que une dos puntos cualesquiera de la circunferencia.
- Diámetro : es la cuerda que pasa por el centro de la circunferencia. (Nota: el diámetro tiene longitud doble que el radio)
- Arco : es el segmento de circunferencia comprendido entre dos de sus puntos.
- Semicircunferencia : es el arco que abarca la mitad de la circunferencia.
El perímetro de la circunferencia es la longitud de la circunferencia misma. En cualquier circunferencia, al dividir su longitud entre el radio, se obtiene una cantidad fija un poco mayor a tres. Esa división da siempre 3.14159265… número designado por la letra griega 𝜋 y que tiene infinitas cifras decimales no periódicas. Si L es la longitud de la
circunferencia y D el diámetro tenemos que 𝐿 = 𝜋 ∙ 𝐷. Como el diámetro es el doble del radio R, la longitud de la circunferencia será:
𝐿 = 2𝜋𝑅
Llamamos círculo a la región plana encerrada por una circunferencia. De forma más precisa, si O es el centro de la circunferencia, el círculo es la región del plano formada por todos los puntos cuya distancia al centro O es menor o igual que el radio de la circunferencia. Así, el círculo comprende a todos los puntos de la circunferencia y también a todos los puntos interiores a ella. En otras palabras, la circunferencia es el contorno, la " frontera " del círculo.
El área de un círculo se puede hallar considerándolo como un polígono regular de "muchos" lados, en el cual la apotema coincide con el radio. En la figura puede observarse cómo a medida que aumenta el número de lados del polígono, su perímetro aumenta y se acerca cada vez más al de la circunferencia. De igual manera, la apotema del polígono aumenta y su medida se va pareciendo más a la medida del radio de la circunferencia.
Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑝𝑜𝑙í𝑔𝑜𝑛𝑜 𝑟𝑒𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 = 𝑃𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 ∙𝑎𝑝𝑜𝑡𝑒𝑚𝑎 2
𝑃𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 = 2𝜋𝑅
Entonces,
Á𝑟𝑒𝑎 =
= 𝜋𝑅^2
- ¿Cuál es el área de la región BEDC en el paralelogramo ABCD?
- Encuentra el área de la región sombreada, la cual está formada por dos rectángulos perpendiculares.
- El área de la siguiente figura es de 100 cm^2. ¿Cuál es su perímetro? (la figura consiste de cuatro cuadrados idénticos).
- En los vértices del cuadrilátero que se muestra se han puesto circunferencias de radio uno, ¿cuál es el área de la región sombreada?
- El problema anterior para un polígono de n vértices.
- Imagina que cuando se acabe la cuarentena viajas por el mundo caminando alrededor del ecuador. ¿Cuál es la diferencia entre lo que ha recorrido tu cabeza a lo que han recorrido tus pies?
- Dentro de un disco se han trazado dos discos iguales tangentes entre sí (es decir, sólo se tocan en un punto) y tangentes al disco grande, ¿qué región es más grande, la sombreada o la no sombreada?
- El centro de B está sobre la circunferencia C , el centro de A está sobre la circunferencia B. Calcula la razón entre el área de la región sombreada y el área no sombreada.
- Los centros de las circunferencias en la siguiente figura coinciden y los radios miden 3, 4 y 5 cm. ¿Qué porcentaje del círculo mayor está sombreado?
- El círculo de radio 2 cm tiene su centro en O, el lado AC del triángulo es un diámetro y BO es perpendicular a AC. ¿Cuál es el área de la región no sombreada?
- La recta AE se divide en cuatro partes iguales con los puntos B , C y D. Dibujemos semicírculos en los segmentos AC , CE , AD y DE. ¿Cuál es la razón entre el área de los semicírculos que están arriba de la recta AE y el área de los semicírculos que están debajo de AE?
8. Vídeos
Área de triángulos
https://youtu.be/ljRrWa6uU9k
Área de paralelogramos
https://youtu.be/axwnCurq4WU
Área de polígonos regulares
https://youtu.be/0XSjJlmAwK
Ejercicio de perímetro y área de una circunferencia
https://youtu.be/IkUZ9DWwB-I
