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EVALUACIÓN DE BACHILLERATO PARA EL ACCESO A LA
UNIVERSIDAD
CONVOCATORIA DE JULIO DE 20 21
EJERCICIO DE: MATEMÁTICAS II
TIEMPO DISPONIBLE: 1 hora 30 minutos PUNTUACIÓN QUE SE OTORGARÁ A ESTE EJERCICIO: (véanse las distintas partes del examen)
En total el examen consta de 10 preguntas optativas del mismo valor, de las que el/la estudiante deberá elegir un máximo de 5 preguntas, cualesquiera de ellas. Cada pregunta vale 2 puntos en total y puede contener distintos apartados, cuyas puntuaciones se indican. El/la estudiante debe indicar claramente, en la primera página del tríptico, cuáles han sido las 5 preguntas elegidas. (Si no se indica, y se han respondido más de 5 preguntas, sólo se corregirán las 5 preguntas que se han respondido en primer lugar)
1) Dada la siguiente función
( ) (^) ln 1 0
x bx x f x (^) x x ax
a) (1 punto) Determine los valores de 𝑎, 𝑏∈ ℝ para que la función 𝑓(𝑥) sea continua en ℝ. b) (1 punto) Calcule aquellos valores que además hacen que la función 𝑓(𝑥) tenga un extremo relativo en el punto 𝑥 = − 1 , y determine el tipo de extremo que es.
2) Calcule el valor de 𝑎∈ ℝ (𝑎 ≠ 0) para que se verifique el siguiente límite
lim 1 0 ( 2 ( )) 2 2
a x x
sen x
→
3) Calcule 2 3
x
dx
x x
− +
4) Para la siguiente función 3 2 2
f x x^ x x x
a) (1,2 puntos) Estudie el dominio de definición y calcule las asíntotas horizontales, verticales y oblicuas caso de existir. b) (0,8 puntos) Calcule la recta tangente a la curva en el punto 𝑥 = 1.
5) Dada la siguiente matriz:
A
= ^
a) (1,25 puntos) Estudie el rango de la matriz 𝐴−𝑘𝐼 según los valores de 𝑘 ∈ ℝ, donde 𝐼 es la matriz identidad de orden 3. b) (0,75 puntos) Calcule la inversa de 𝐴−𝑘𝐼 para 𝑘 = 0.
a) (1 punto) Sabiendo que 5
a b c d e f g h i
= calcule justificadamente
2 d 2 e 2 f 2 f g h i i a b c c
b) (1 punto) Dada la matriz
A
= ^
, resuelva el sistema
A A^ T X
donde
𝐴𝑇^ es la matriz traspuesta de 𝐴.
7) a) (1 punto) Resuelva el siguiente sistema matricial 1 2 2 3 3 7 5 3 3 2 2 4
X Y
X Y
+^ =
− = ^
^ −
^
b) (1 punto) Calcule
n (^) n −
8) Calcule la ecuación implícita de la recta (como intersección de dos planos) que pasa por el punto A =(0,1,1) y es paralela a los planos: 𝜋 1 que contiene los puntos 𝐵 1 , 𝐵 2 , 𝐵 3 , y 𝜋 2 ≡ 𝑥 + 2𝑧 = 1, siendo: 𝐵 1 = (−1,0,2), 𝐵 2 = (1,3,1), 𝐵 3 = (2, −1,0).
9) Sean los siguientes vectores:
u 1 = −( 1,1,1 , ) u 2 = ( 0,3,1 ,) u 3 = (1, −2,0 , ) u 4 = −( 2,0,1)
a) (1 punto) Compruebe si los vectores (^) v v 1 , 2 (^) , v 3 son linealmente dependientes o independientes, siendo v 1 (^) = 2 u 1 (^) − u 2 (^) , v 2 (^) = u 1 (^) + u 3 (^) , v 3 (^) = u 4 b) (1 punto ) Calcule las siguientes expresiones: ( 2 u^1^ −^ u 2^ ) (· 2 u 1^ −^ u 2^ ) , ( u 4^ −^ u 1^ ) ^ ( u 4^ − u 1 )^ , siendo ⋅ y × los productos escalar y vectorial de dos vectores respectivamente.
10) La cantidad de hierro en suero de una mujer adulta sigue una distribución normal de media 120 𝜇𝑔/𝑑𝑙 y desviación típica 30 𝜇𝑔/𝑑𝑙. Se considera que una mujer tiene un tipo de anemia por falta de hierro si su cantidad de hierro no llega a 75 𝜇𝑔/𝑑𝑙. a) (1 punto) ¿Cuál es la probabilidad de que una mujer adulta tenga anemia por falta de hierro? b) (1 punto) El 45% de mujeres adultas tienen una cantidad de hierro en suero superior a 𝑘. Averigüe el valor de 𝑘.
SOLUCIONES
1) Dada la siguiente función
( ) (^) ln 1 0
x bx x f x (^) x x ax
a) (1 punto) Determine los valores de 𝑎, 𝑏∈ ℝ para que la función 𝑓(𝑥) sea continua en ℝ. b) (1 punto) Calcule aquellos valores que además hacen que la función 𝑓(𝑥) tenga un extremo relativo en el punto 𝑥 = − 1 , y determine el tipo de extremo que es.
a) Para que sea continua en debe serlo en x = 0 y para ello el valor de la función y los límites laterales deben coincidir.
( )
3 3 0 0
0 0 0 0
0 0
lim ( ) lim 2 2 2 1 1 ln (^1 1 ) lim ( ) lim ...1... lim ( ) lim ( ) (0)
ln (^1) ln1 0 1 1 1 1 lim Indeterminación(L´Hôpital) lim 0 0
x x
x x x x
x x
f f x x bx x a f x a ax a f x f x f
x (^) x ax a a a
− −
− +
→ →
→ → → →
→ →
La continuidad de la función no depende del valor de b. La función es continua si^1 2 a =.
b) Para que la función 𝑓(𝑥) tenga un extremo relativo en el punto 𝑥 = − 1 la derivada debe anularse para este valor → f ´( 1)− = 0. En x = – 1 la función es f x ( ) = x^3 + bx + 2.
f x x bx f x x b (^) b b f
^ −^ +^ =^ ^ = −
La función es f x ( ) = x^3 − 3 x + 2. Calculamos la derivada segunda. Su signo para x = – 1 decide si es mínimo o máximo.
f x ( ) = x^3^ − 3 x + 2 f ´( ) x = 3 x^2 − 3 f ´´( ) x = 6 x f ´´( 1)− = − 6 0
En x = – 1 la función tiene un máximo relativo.
2) Calcule el valor de 𝑎∈ ℝ (𝑎 ≠ 0) para que se verifique el siguiente límite
lim 1 0 ( 2 ( )) 2 2
a x
x →^ −^^ sen^ x =
Usamos la igualdad trigonométrica^1 −^ sen^2^^ ( x )^ = cos^^2 ( x )
lim 1 0 ( 2 ( )) 2 lim cos 0 ( 2 ( )) 2 ( cos (^2) ( 0 ) (^) )^021 Indeterminación
a a a x x
x sen^ x^ x x^
→ −^ =^ → =^ =^ =
Tomamos logaritmo neperiano a ambos lados de la igualdad.
( (^ )) 2 ( (^ )) 2 (^ )^2 2 2 2 0 0 0
ln lim cos ln 2 limln cos limln cos ln 2
a a (^) a x x (^) x x x x
x x x
→ → →
=^ ^ =^ =
Calculamos el valor del límite.
( ) ( )
(^22) ( ) ( ) 0 0 2 0 2 2
0 0
2 2 · ln cos^2 · ln cos 0 0
lim ln cos lim ln cos lim
Indeterminación (L´Hôpital)= lim cos lim
a x x x x
x x
a^ a^ x^ a
x x
x x
senx
a
x
x
→ → →
→ →
a senx
( ) ( ) ( )
0
0
lim
· cos · cos 0
· cos cos 0
Indeterminación (L´Hôpital) lim
cos · cos 0 0 · 0 1
x
x
a senx
x x x x
a x a a
a
x x senx sen
→
→
Lo igualamos a ln2 y tenemos que− a = ln 2 a = −ln 2
4) Para la siguiente función 3 2 2
f x x^ x x x
a) (1,2 puntos) Estudie el dominio de definición y calcule las asíntotas horizontales, verticales y oblicuas caso de existir. b) (0,8 puntos) Calcule la recta tangente a la curva en el punto 𝑥 = 1.
a) El dominio son todos los números reales menos los que anulen el denominador.
2 (^ )^2 ( )(^ )
x x x
El dominio de la función es − − 1, 2.
Asíntota vertical. x = a ¿ x = – 1?
3 2 3 2 1 1 2 2 lim ( ) lim 2 2 1 1 3 x x 2 1 1 2 0 f x x^ x →− →− x x
= −^ = −^ − − = − =
x = – 1 es asíntota vertical.
¿ x = 2? 3 2 3 2 2 1 2 2 lim ( ) lim 2 2·2^2 x x 2 2 2 2 0 f x x^ x → →− x x
= −^ = − = =
x = 2 es asíntota vertical.
Asíntota horizontal. y = b 3 2 (^3 2 3 ) 2 2 3 3 3 2 3
lim ( ) lim 2 lim lim^2 x x (^) 2 x (^) 2 x (^1 1 2 1 1 )
x x b f x x^ x^ x^ x^ x x x x^ x x x x x^ x^ x
→ → → →
− −^ −^ −
No tiene asíntota horizontal.
Asíntota oblicua. y = mx + n 3 2 3 2 2 3 2 3 3 3 2 3 2 3 3 3
2
lim ( )^ lim 2 lim 2 lim 2 2
lim 2 2 1 1 2 1 1 2 1
x x x x
x
x x x x m f^ x^ x^ x^ x^ x x^ x x x x x x x x x x x x
x
x x
→ → → →
→
= = −^ − = − = =
3 2 3 2 lim ( ) lim 2 2 lim^2 x x (^) 2 x n f x mx x^ x^ x x → → (^) x x →
= − = ^ − − =
− x^2^ − 2 x^32 2 2 (^2 2 ) 2 2 2 2 2 2
lim 4 lim lim 1 0 1 x (^) 2 x (^) 2 x 1 1 2 1 1 2 1 0 0
x x x x x x x x (^) x x x x x x^ x x x x x^ x
→ → →
+ +^ +^ + +
La asíntota oblicua es y = 2 x + 1.
b) La ecuación de la recta tangente a la curva en el punto 𝑥 = 1 es y − f (1) = f ´(1) ( x − 1 ).
3 2 2
( ) 2 (1)^2 1
f x x^ x f x x
= −^ = − = −
( )( ) ( )(^ ) ( )
3 2 2 2 3 2 2 2 2
2
x x^ x^ x^ x^ x^ x^ x^ x f x f x x x (^) x x
f
−^ −^ −^ −^ −^ −^ −
= −^ −^ −^ −^ −^ −^ = −^ − = −
Sustituyendo en la ecuación
y f f x f y x y x y x
f
La recta tangente tiene ecuación^9 4 4
y = − x +
= − , el rango de 𝐴−𝑘𝐼 es 2.
CASO 3. a = 2
La matriz queda
k
A kI k
k
−^ −^ −^ −
− = ^ − ^ =^
Su determinante es 0, por lo que su rango no es 3. ¿El rango es 2? Observamos que la columna 2 ª es todo 0 y la columna 1ª y 3ª son iguales, por lo que su rango es 1.
b) Para k = 0 la matriz queda
k
A kI k
k
−^ −^ −
− = ^ − ^ =^
1 2 1 4 0. Existe su inversa.
A kI
( (^ ) )
1
1
1
T
Adj
Adj A kI
A kI
A kI
A kI
A kI
−
−
−
− ^ −
− = = ^
+^ −^ +
−^ −
− = ^ − + −
−^ −
− = ^ − − ^ = ^ − −
a) (1 punto) Sabiendo que 5
a b c d e f g h i
= calcule justificadamente
2 d 2 e 2 f 2 f g h i i a b c c
b) (1 punto) Dada la matriz
A
= ^
, resuelva el sistema
A A^ T X
donde 𝐴𝑇^ es
la matriz traspuesta de 𝐴.
a)
2 2 2 2 Saco factor común 2 2 en fila 1ª
Separo la columna 2ª 2 en suma de 2 determinantes
El segundo determinante es nu
d e f f d e f f g h i i g h i i a b c c a b c c d e f d f f g h i g i i a b c a c c
− − − − = ^ = − − − − =
+ ^ +
= ^ ^ = ^ − − − + − − − =
lo pues tiene la columna 2ª y 3ª iguales. 2 0 En el primero saco factor común en 2ª fila el 1
Cambio la fila 1ª por la 3ª 2 1 y el determinante cambia de signo
d e f g h i a b c a b c g
^ ^
= ^ = − −
Cambio la fila 2ª por la 3ª (^2) 2 ·5 10 y el determinante cambia de signo
h i d e f a b c d e f g h i
= ^ = − = − = −
b) 2 0 0 2 2 2 1 1 1 2 2 2 0 2 0 1 0 1 0 2 2 0 0 0 2 0 0 1 0 0 (^1) · 9 2 5 2 0 0 1 1 1 0 2 2 2 0 1 0 · 9 2 0 0 0 1 0 5 1 1 1 0 2 1 2 · 9 2 1 0 5
T T
T
A A A
A A X
X
X
= ^ ^ = ^ ^ =^
^ ^ ^ ^ ^
−^ −
7) a) (1 punto) Resuelva el siguiente sistema matricial 1 2 2 3 3 7 5 3 3 2 2 4
X Y
X Y
+^ =
− = ^
^ −
^
b) (1 punto) Calcule
n (^) n −
a) Despejamos.
(^3 7) Multiplico la 1ª ecuación por 3 9 21 5 3 y la 2ª por^210 3 2 6 4 2 4 4 8
Sumo las dos ecuaciones 13 3 6 10 6 13 9 21 4 8
X Y X Y
X Y X Y
Y
+^ =^ +^ =
^
− = ^ ^ ^ − + =^
^ − ^ ^ −
^ ^ ^
= ^ −^ ^ + ^ −^ −
Sustituyo en la 1ª ecuación 13 13 13 1 1
Y
Y
X X
X
= ^ −
−^ −
+ ^ −^ ^ = ^ −^ ^ = ^ −^ ^ − ^ − ^ = ^
= ^ ^ =^
b) Calculamos las potencias primeras e intentamos buscar una fórmula general para 2 0 , 1 1
n (^) n −
2
3 2
4 3
Resumimos lo que apreciamos en estas primeras potencias.
( )
( )
( )
2
3 3
2
4
2
4
3
4
^
=^ =^
−^ −^ −^ −
^
=^ =^
−^ −^ −^ −
^
=^ =^
−^ −^ −^ −
Hay dos términos de la matriz resultado que se mantienen constantes ( a 12 = 0 y a 22 = 1 ) y otros dos que varían en función del valor de la potencia que deseamos calcular.
( )
n n n n
^
=^ ^
−^ −^ −
9) Sean los siguientes vectores:
u 1 = −( 1,1,1 , ) u 2 = ( 0,3,1 ,) u 3 = (1, −2,0 , ) u 4 = −( 2,0,1)
a) (1 punto) Compruebe si los vectores (^) v v 1 , 2 (^) , v 3 son linealmente dependientes o independientes,
siendo v 1 (^) = 2 u 1 (^) − u 2 (^) , v 2 (^) = u 1 (^) + u 3 (^) , v 3 (^) = u 4 b) (1 punto ) Calcule las siguientes expresiones:
( 2 u 1^ −^ u 2^ ) (· 2 u^1^ −^ u 2^ ) ,( u 4^ −^ u 1^ ) ^ ( u 4^ − u 1 )^ , siendo ⋅ y × los productos escalar y vectorial de dos vectores respectivamente.
a) Calculamos las coordenadas de los vectores v v 1 , 2 (^) , v 3
1 1 2 2 1 3 3 4
v u u v u u v u
Para que sean linealmente independientes su producto mixto debe ser no nulo.
1 2 3
v v v
Los vectores (^) v v 1 , 2 (^) , v 3 son linealmente independientes.
b) Hacemos el producto escalar planteado. ( 2 u^1^ −^ u 2^ ) (· 2 u 1^ −^ u 2 ) = −(^ 2,^ −1,1 ·^ ) (^ −2,^ −1,1^ )^ =^4 +^1 +^1 =^6
Hacemos también el producto vectorial, aunque sabemos que dará como resultado el vector cero pues es el producto vectorial de un vector por sí mismo.
( ) ( ) (^ )^ (^ )^ (^ )
4 1
4 1 4 1
u u i j k u u u u
10) La cantidad de hierro en suero de una mujer adulta sigue una distribución normal de media 120 𝜇𝑔/𝑑𝑙 y desviación típica 30 𝜇𝑔/𝑑𝑙. Se considera que una mujer tiene un tipo de anemia por falta de hierro si su cantidad de hierro no llega a 75 𝜇𝑔/𝑑𝑙. a) (1 punto) ¿Cuál es la probabilidad de que una mujer adulta tenga anemia por falta de hierro? b) (1 punto) El 45% de mujeres adultas tienen una cantidad de hierro en suero superior a 𝑘. Averigüe el valor de 𝑘.
X = Cantidad de hierro en suero de una mujer adulta. X = N(120, 30) Una mujer tiene anemia si X < 75.
a)
( 75 ) Tipificamos 75 120 ( 1.5) ...
P X P X^ P Z
= = ^ −^ − = − =
... = P Z ( 1.5 ) = 1 − P Z ( 1.5) = Miro en la tabla de la N(0, 1) = 1 − 0.9332 =0.
b) Nos dicen que P X ( k ) =0.45y nos piden que averigüemos el valor de k.
Tipificamos 120 120 0. 30 30
P X k P X^^ k^ P Z k
= = ^ −^ −^ ^ = ^ − =
