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Geometría, integrales, derivadas parciales
Tipo: Guías, Proyectos, Investigaciones
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Palabras clave: l´ımite, continuidad, derivada parcial, diferenciabilidad, plano tangente.
En esta lectura se generaliza el concepto de derivada de una funci´on real de una variable al caso de una funci´on real de varias variables. En realidad, m´as que tratar la derivada de una funci´on de n variables, se estudian las llamadas derivadas parciales de este tipo de funciones; ´estas miden la tasa de variaci´on de la funci´on con respecto a algunas de sus variables. Para dar la definici´on de las derivadas parciales de funciones de varias variables, primero se necesita generalizar el concepto de l´ımite y de continuidad para tales funciones.
En esta secci´on se aborda el concepto de l´ımite de funciones vectoriales. El concepto de l´ımite que se presenta en esta lectura es informal pues nos interesa principalmente la idea intuitiva de l´ımite para luego abordar el concepto de continuidad de una funci´on vectorial; la definici´on formal de l´ımite de funciones vectoriales la puede encontrar en varios de los libros recomendados en la bibliograf´ıa del m´odulo. Antes de tratar el concepto de l´ımite, recuerde que para todo punto (o vector, depende del punto de vista y uso) x ∈ Rn, x = (x 1 , x 2 ,... , xn), la norma de x es el valor |x| :=
x^21 + x^22 +... + x^2 n, es decir, si se piensa en x como un vector, |x| es la longitud de dicho vector. En particular, si x = (x 1 , x 2 ,... , xn) y y = (y 1 , y 2 ,... , yn) son dos puntos en Rn, la distancia entre los puntos x y y se define como:
dist (x, y) := |x − y| =
(x 1 − y 1 )^2 + (x 2 − y 2 )^2 +... + (xn − yn)^2
As´ı, dado p ∈ Rn, es posible determinar cu´ales son los puntos del espacio Rn^ ubicados a una distancia suficiente- mente peque˜na del punto p. Esto motiva la siguiente definici´on.
Definici´on 1.1. Considere un punto p ∈ Rn^ y un n´umero real positivo r > 0. La bola abierta de centro p y radio r, se denota por B(p, r), se define como la colecci´on de todos los puntos de Rn^ que est´an a una distancia de p menor que r, es decir,
B(p, r) :=
x ∈ Rn^
|x − p| < r
En el c´alculo de una variable es habitual trabajar sobre intervalos abiertos y cerrados de R. En el espacio euclideano Rn, los conceptos an´alogos son los siguientes.
Definici´on 1.2. Considere un conjunto A ⊂ Rn. Se dice que x ∈ A es un punto interior de A, si existe r > 0 suficientemente peque˜no, tal que B(x, r) ⊂ A. El conjunto de todos los puntos interiores del conjunto A se denotar´a por int(A). Se dice que un punto x ∈ Rn^ es un punto frontera de A, si para todo r > 0 , la bola B(x, r) contiene puntos en A y puntos fuera de A. Se denotar´a por f r(A) al conjunto de todos los puntos frontera de A. Un punto x es un punto de acumulaci´on de A, si B(x, r) contiene un punto de A diferente de x, para todo r > 0. Se dice que un conjunto A ⊂ Rn^ es un conjunto abierto, si A = int(A), es decir, todos sus puntos son interiores. En cambio, se dice que A es un conjunto cerrado, si A ⊃ f r(A), es decir, A contiene todos sus puntos frontera.
sin embargo:
lim t→ 0 f
r 1 (t)
= lim t→ 0 f (t, 0) = lim t→ 0
t^5 + 2t^20 t^4 + 2 · 02 = lim^ t→^0
t^5 + 0 t^4 = lim^ t→^0 t^ = 0,^ mientras que,
lim t→ 0 f
r 2 (t)
= lim t→ 0 f (t, t^2 ) = lim t→ 0 t
(^5) + 2t (^2) t 2 t^4 + 2(t^2 )^2
= lim t→ 0 t
(^5) + 2t 4 t^4 + 2t^4
= lim t→ 0 t
(^5) + 2t 4 3 t^4
= lim t→ 0 t^ + 2 3
As´ı, se concluye que lim (x,y)→(0,0)
f (x, y) no existe.
Algunas propiedades b´asicas de los l´ımites de funciones reales de n variables son las siguientes:
Proposici´on 1.7. Sean f : U ⊂ Rn^ −→ R y g : U ⊂ Rn^ −→ R dos funciones vectoriales, y p ∈ Rn^ un punto de acumulaci´on de U , tales que: x^ lim→p f^ (x) =^ A^ y^ xlim→p g(x) =^ B Entonces: i) (^) xlim→p[f (x) + g(x)] = A + B.
ii) (^) xlim→p[λf (x)] = λA, para todo escalar λ ∈ R.
iii) (^) xlim→p[f (x) · g(x)] = A · B.
iv) (^) xlim→p
f (x) g(x) =^
B , si^ B^6 = 0. v) Si h : I ⊂ R −→ R es una funci´on continua y A ∈ I, entonces (^) xlim→p h
f (x)
= h(A).
De igual manera como se define continuidad para funciones de una sola variable, tambi´en se define continuidad para funciones vectoriales.
Definici´on 1.8. Sea f : U ⊂ Rn^ −→ Rm^ una funci´on vectorial. Se dice que f es continua en p ∈ U , si x^ lim→p f^ (x) =^ f^ (p). Se dice que^ f^ es^ continua, si la funci´on es continua en cada punto de^ U^.
De la proposici´on 1.7 se concluye que sumas y productos de funciones continuas son tambi´en funciones continuas. Es facil ver que, para todo a = (a 1 , a 2 ,... , an) ∈ Rn, lim x→a xi = ai, 1 ≤ i ≤ n, por lo cual, de la proposici´on 1.
i), ii) y iii) se tiene que las funciones polinomiales de n variables son continuas en Rn. As´ı mismo, usando la proposici´on 1.7, se concluye, por ejemplo, que las siguientes funciones son continuas en sus respectivos dominios:
f (x, y, z) = cos
π(2x^2 − 3 y^7 + 5z^2 + 4)
, g(x, y) = e
1 −x−y (^) + 11 x^2 + y^2
, h(x, y, z, t) = 5y^3 z^3 + log(x + 2t^2 ) +
x − y z + t
Considere una funci´on real de dos variables f : U ⊂ R^2 −→ R, definida sobre un conjunto abierto U. Como U es abierto, dado un punto (x 0 , y 0 ) ∈ U se observa que (x 0 + h, y 0 ) ∈ U y (x 0 , y 0 + h) ∈ U , para todo h 6 = 0 suficientemente peque˜no, por lo cual se puede evaluar f (x 0 + h, y 0 ) y f (x 0 , y 0 + h).
Definici´on 2.1. La derivada parcial de f con respecto a la variable x en el punto (x 0 , y 0 ) se define como, ∂f ∂x
(x 0 , y 0 ) := lim h→ 0
f (x 0 + h, y 0 ) − f (x 0 , y 0 ) h
cuando este l´ımite exista. La derivada parcial de f con respecto a la variable y en el punto (x 0 , y 0 ) se define como, ∂f ∂y (x^0 , y^0 ) := lim h→ 0
f (x 0 , y 0 + h) − f (x 0 , y 0 ) h ,^ (2) cuando este l´ımite exista.
Es com´un usar las notaciones fx(x 0 , y 0 ) y fy(x 0 , y 0 ), o D 1 f (x 0 , y 0 ) y D 2 f (x 0 , y 0 ), o ∂xf (x 0 , y 0 ) y ∂yf (x 0 , y 0 ) para denotar a las derivadas parciales de f en el punto (x 0 , y 0 ) con respecto a x y y respectivamente. Del l´ımite (3), se tiene que, al fijar el n´umero y 0 , ∂f∂x (x 0 , y 0 ) es la raz´on de cambio con respecto a x de la funci´on x 7 → f (x, y 0 ) en x 0 , mientras que del l´ımite (4) se tiene que, al fijar el n´umero x 0 , ∂f∂y (x 0 , y 0 ) es la raz´on de cambio con respecto a y de la funci´on y 7 → f (x 0 , y) en y 0. Otra forma de interpretar esto es la siguiente: considere la superficie S igual a la gr´afica z = f (x, y) de la funci´on f y considere el plano y = y 0 , luego la intersecci´on de S con dicho plano es una curva C 1 , que es la gr´afica de la funci´on x 7 → f (x, y 0 ), ver Figura 3. La pendiente de la recta L 1 contenida en el plano y = y 0 y tangente a C 1 en el punto
x 0 , y 0 , f (x 0 , y 0 )
es ∂f∂x (x 0 , y 0 ). Igualmente, si ahora se toma la curva C 2 que resulta de la intersecci´on de S con el plano x = x 0 , esta es la gr´afica de la funci´on y 7 → f (x 0 , y), y la pendiente de la recta L 2 contenida en dicho plano y tangente a C 2 en
x 0 , y 0 , f (x 0 , y 0 )
es ∂f∂x (x 0 , y 0 ), ver Figura 4.
Figura 3. Recta L 1 tangente a x 7 → f (x, y 0 ) Fuente: Elaboraci´on propia
Figura 4. Recta L 2 tangente a y 7 → f (x 0 , y) Fuente: Elaboraci´on propia
Resulta que calcular derivadas parciales de funciones de dos variables es bastante simple: si se quiere calcular ∂f∂x , considere en la funci´on f a la variable y como una constante y derive solo con respecto a x. Igualmente, si se quiere obtener ∂f∂y se considera en f a la variable x como una constante y se deriva con respecto a la variable y.
Ejemplo 2.2. Hallar ∂f∂x (2, −1) y ∂f∂y (2, −1), donde f (x, y) = x^2 y + y^3. Primero se calcula las derivadas parciales
Ejemplo 2.6. La ley de los gases ideales nos dice que P V = nRT , donde n es el n´umero de moles del gas, P la presi´on, V el volumen, T la temperatura y R es una constante f´ısica. Demostrar que ∂P∂V · ∂V∂T · (^) ∂P∂T = − 1.
En efecto, como P = nRTV , se tiene que ∂P∂V = − nRTV 2 ; como V = nRTP , entonces ∂V∂T = nRP ; y como T = P VnR , entonces ∂T∂P = (^) nRV. Por lo tanto,
∂P ∂V
− nRT V 2
nR P
nR
= − nRT V P
= − 1 (ya que P V = nRT )
Considere nuevamente una funci´on de dos variables z = f (x, y) definida en el abierto U. Suponga que para todo (x, y) ∈ U , las derivadas parciales ∂f∂x (x, y) y ∂f∂y (x, y) existen. Luego se pueden considerar a estas derivadas
parciales como dos nuevas funciones de dos variables ∂f∂x , ∂f∂y : U −→ R. As´ı, se pueden calcular las derivadas
parciales de ∂f∂x y ∂f∂y respectivamente. Estas se llaman derivadas parciales de segundo orden de f , y se definen de la siguiente manera:
∂^2 f ∂x^2
(x, y) := ∂f ∂x
∂f ∂x
(x, y),
∂^2 f ∂y∂x (x, y) :=^
∂f ∂y
∂f ∂x
(x, y),
∂^2 f ∂x∂y (x, y) :=^
∂f ∂x
∂f ∂y
(x, y),
∂^2 f ∂y^2
(x, y) := ∂f ∂y
∂f ∂y
(x, y).
Ejemplo 2.7. Hallar las derivadas parciales de segundo orden de f (x, y) = 3x^2 + 2xy^2 − y^3. Se tiene que ∂f ∂x (x, y) = 6x^ + 2y^2 y^
∂f ∂y (x, y) = 4xy^ −^3 y^2 , luego, ∂^2 f ∂x^2 (x, y) =^
∂x (6x^ + 2y
(^2) ) = 6; ∂^2 f ∂y∂x (x, y) =^
∂y (6x^ + 2y
(^2) ) = 4y;
∂^2 f ∂x∂y
(x, y) = ∂ ∂x
(4xy − 3 y^2 ) = 4y; ∂
(^2) f ∂y^2
(x, y) = ∂ ∂y
(4xy − 3 y^2 ) = 4x − 6 y.
Observe en el ejemplo anterior que las derivadas parciales de segundo orden ∂
(^2) f ∂x∂y (x, y) y^
∂^2 f ∂x∂y (x, y) son iguales. Esto no es una casualidad, sino una consecuencia del siguiente teorema.
Teorema 2.8 (Teorema de Clairaut). Sea f : U ⊂ R^2 −→ R una funci´on definida en el abierto U. Suponga que en U existen las derivadas paraciales ∂f∂x , ∂f∂y , (^) ∂x∂y∂^2 f y (^) ∂y∂x∂^2 f. Si (^) ∂x∂y∂^2 f y (^) ∂y∂x∂^2 f son continuas en el punto (x 0 , y 0 ) ∈ U , entonces, ∂^2 f ∂x∂y
(x 0 , y 0 ) = ∂
(^2) f ∂x∂y
(x 0 , y 0 )
Es importante destacar que en general estas derivadas parciales cruzadas no siempre son iguales; sin embargo, muchas funciones de dos variables satisfacen las hip´otesis del teorema de Clairaut. Por ejemplo cualquier funci´on polinomial, funci´on racional, o composiciones de estas con funciones exponenciales, trigonom´etricas, etc, tienen derivadas parciales de segundo orden continuas en sus respectivos dominios, luego se tiene la igualdad de las derivadas parciales cruzadas.
Para una funci´on de tres variables f (x, y, x) las derivadas parciales de segundo orden se definen de manera an´aloga como se hizo con las funciones de dos variables. As´ı, por ejemplo, (^) ∂x∂z∂^2 f := (^) ∂x∂
( (^) ∂f ∂z
, ∂∂z^2 f 2 := (^) ∂z∂
( (^) ∂f ∂z
, etc. De igual manera, se definen derivadas parciales de orden tres para funciones de dos y tres variables, por ejemplo, para la funci´on de tres variables f (x, y, z), se tiene (^) ∂y∂^32 w∂z := (^) ∂y∂
( (^) ∂ (^2) f ∂y∂z
(^3) f ∂x^3 :=^
∂ ∂x
( (^) ∂ (^2) f ∂x^2
, etc.
Ejemplo 2.9. El campo del potencial el´ectrico de una carga puntual q est´a definido por φ(x, y, z) = √x (^2) +qy (^2) +z 2.
Mostrar que la funci´on φ satisface la ecuaci´on de Laplace tridimensional ∂∂x^2 φ 2 + ∂∂y^2 φ 2 + ∂∂z^2 φ 2 = 0.
Observe que ∂φ∂x = (^) (x (^2) +y− 2 qx+z (^2) ) 3 / 2 , as´ı, al calcular la derivada con respecto a x de este cociente, se obtiene,
∂^2 φ ∂x^2
= ∂φ ∂x
−qx (x^2 + y^2 + z^2 )^3 /^2
= q ·
∂(−x) ∂x ·^ (x^2 +^ y^2 +^ z^2 )^3 /^2 −^ (−x)^ ·^
∂(x^2 +y^2 +z^2 )^3 /^2 [^ ∂x (x^2 + y^2 + z^2 )^3 /^2
= q ·
−(x^2 + y^2 + z^2 )^3 /^2 + 3x^2 (x^2 + y^2 + z^2 )^1 /^2 (x^2 + y^2 + z^2 )^3
= q ·
(x^2 + y^2 + z^2 )^1 /^2 ·
−(x^2 + y^2 + z^2 ) + 3x^2
(x^2 + y^2 + z^2 )^3
= q · 2 x
(^2) − y (^2) − z 2 (x^2 + y^2 + z^2 )^5 /^2
De manera similar resulta ∂
(^2) φ ∂y^2 =^ q^ ·^
−x^2 +2y^2 −z^2 (x^2 +y^2 +z^2 )^5 /^2 y^
∂^2 φ ∂z^2 =^ q^ ·^
−x^2 −y^2 +2z^2 (x^2 +y^2 +z^2 )^5 /^2.^ Hecho estos c´alculos, es f´acil ver que ∂∂x^2 φ 2 + ∂∂y^2 φ 2 + ∂∂z^2 φ 2 = 0. El laplaciano de una funci´on real de n variables f (x 1 , x 2 ,... , xn) se define como
∆f := ∂∂x^2 f 2 1
+... + ∂∂x^2 f (^2) n , con lo cual se prob´o que ∆φ(x, y, z) = 0, para todo (x, y, z) diferente de (0, 0 , 0).
Cuando se tiene una funci´on de una variable y = f (x), afirmar que f es diferenciable en x 0 es equivalente a decir que existe la derivada dfdx (x 0 ). En particular, esto implica que f (x) ≈ f (x 0 ) + f ′(x 0 ) · (x − x 0 ), para todo x ≈ x 0 , o sea, cerca del valor x 0 la funci´on f (x) se puede aproximar por la funci´on lineal f (x 0 ) + f ′(x 0 ) · (x − x 0 ). En el caso de una funci´on real de varias variables no basta que existan las derivadas parciales de la funci´on en un punto para aseverar que la funci´on es diferenciable en dicho punto. En esta secci´on revisaremos muy brevemente el concepto de funci´on diferenciable y algunas de sus consecuencias; por simplicidad, solo se tratar´a el caso de una funci´on de dos variables.
Ejemplo 3.2. La funci´on f (x, y) = xexy^ es diferenciable en R^2 (ver el teorema 3.6). Use la aproximaci´on lineal de f para estimar f (1. 01 , − 0 .03).
Primero, observe que f (1, 0) = 1 y que (1. 01 , − 0 .03) ≈ (1, 0). Como ∂f∂x = exy^ + xyexy^ y ∂f∂y = x^2 exy, entonces ∂f ∂x (1,^ 0) =^
∂f ∂y (1,^ 0) = 1. As´ı^ L(1,0)(x, y) = 1 + 1^ ·^ (x^ −^ 1) + 1^ ·^ (y^ −^ 0) =^ x^ +^ y. Luego, f (1. 01 , − 0 .03) ≈ L(1,0)(1. 01 , − 0 .03) = 1.01 + (− 0 .03) = 0. 98
Compare este resultado con el valor real f (1. 01 , − 0 .03) = (1.01)e(1.01)(−^0 .03)^ ≈ 0. 97996.
Ejemplo 3.3. El periodo de oscilaci´on de un p´endulo simple de longitud L est´a dada (aproximadamente) por la
f´ormula T = 2π
L g.^ Estime el cambio en el periodo de un p´endulo si su longitud pasa de 2 pies a 2.1 pies, y al mismo tiempo se lleva de una localidad en la que la gravedad g es exactamente 32 f t/s^2 a otra en la que es g = 32. 2 f t/s^2.
Se quiere estimar ∆T = T (2. 1 , 32 .2) − T (2, 32) ≈ ∂T∂L (2, 32) · (2. 1 − 2) + ∂T∂g (2, 32) · (32. 2 − 32). Como,
∂T ∂L
= √π Lg
∂g
= − π g
g
entonces ∂T∂L (2, 32) = π 8 y ∂T∂g (2, 32) = − 128 π. Por lo tanto, ∆T = π 8 (0.1) − 128 π (0.2) = 6407 π ≈ 0. 034344.
Ejemplo 3.4. Al medir el radio de un cilindro circular recto se obtuvo que este era de r = 8 cm., con un error de medici´on de a lo m´as 0. 1 cm., y al medir su altura se obtuvo que esta era h = 25 cm. con error de a lo m´as
Suponga que el verdadero valor del radio es r 1 y el verdadero valor de la altura es h 1 , entonces |∆r| = |r 1 − 8 | ≤ 0. 1 y |∆h| = |h 1 − 25 | ≤ 0. 12. El volumen de un cilindro circular recto de radio r y altura h es V = V (r, h) = πr^2 h, luego ∂V∂r = 2πrh y ∂V∂h = πr^2. As´ı, ∂V∂r (8, 25) = 2π(8)(25) = 400π y ∂V∂h (8, 25) = π 82 = 64π. Luego,
|∆V | = |V (r 1 , h 1 ) − V (8, 25)| ≈
∂r (8,^ 25)^ ·^ ∆r^ +^
∂h (8,^ 25)^ ·^ ∆h
∂r
∣ · |∆r|^ +
∂h
∣ · |∆h| ≤ (400π)(0.1) + (64π)(0.12) = 47. 68 π ≈ 149. 72
Se concluye que el error m´aximo cometido al calcular el volumen del cilindro es 149. 72 cm.^3
Otra consecuencia del concepto de diferenciabilidad es el siguiente resultado.
Teorema 3.5. Si f es diferenciable en el punto (x 0 , y 0 ), entonces f es continua en (x 0 , y 0 ).
En general determinar si una funci´on es diferenciable en un punto usando la definici´on de diferenciabilidad no resulta f´acil. El siguiente criterio permite reconocer de manera simple si una funci´on es diferenciable.
Teorema 3.6. Sea f : U ⊂ R^2 −→ R una funci´on definida en el conjunto abierto U. Suponga que las derivadas parciales ∂f∂x y ∂f∂y son continuas en U. Entonces f es diferenciable en U
Suponga que f : U ⊂ Rn^ −→ R es una funci´on de n variables x 1 , x 2 ,... , xn, definidas sobre el abierto U. Se puede dar el caso que cada una de las variables xi, 1 ≤ i ≤ n sean a su vez funciones de otras variables u 1 , u 2 ,... , uk; As´ı, nos gustar´ıa saber c´omo son las derivadas parciales de f con respecto a estas nuevas variables. En el c´alculo de una sola variable, si y = f (x) es una funci´on de variable x y a la vez x = x(t) depende de otra variable t, la regla de la cadena expresa la derivada de f con respecto a t de la siguiente manera:
dy dt
= df dx
· dx dt En esta secci´on se extiende la regla de la cadena para el caso de funciones reales de n variables. En primer lugar, se escribir´a la regla de la cadena para el caso donde cada una de las variables xi, 1 ≤ i ≤ n, depende de una sola variable t, es decir, xi = xi(t).
Teorema 4.1 (Regla de la cadena, primera versi´on). Sea w = f (x 1 , x 2 ,... , xn), una funci´on diferenciable de n variables x 1 , x 2 ,... , xn, y suponga que para todo 1 ≤ i ≤ n, xi = xi(t) es una funci´on diferenciable con respecto a la variable t. Entonces w es una funci´on diferenciable con respecto a t y, adem´as, dw dt
= ∂w ∂x 1
· dx^1 dt
· dx^2 dt
+... + ∂w ∂xn
· dxn dt
Observe que en el caso de una funci´on de dos variables w = f (x, y), donde x = x(t) y y = y(t) son diferenciables con respecto a t, la regla de la cadena queda de la siguiente manera:
dw dt =^
∂w ∂x ·^
dx dt +^
∂w ∂y ·^
dy dt
En el caso de una funci´on de tres variables w = f (x, y, z), donde x = x(t), y = y(t) y z = z(t) son diferenciables con respecto a t, la regla de la cadena queda as´ı:
dw dt =^
∂w ∂x ·^
dx dt +^
∂w ∂y ·^
dy dt +^
∂w ∂z ·^
dz dt
Ejemplo 4.2. Se tiene un bloque de hielo con forma de un cilindro circular recto. Suponga que el sol derrite a dicho bloque de hielo, de manera que su altura h decrece a raz´on de 3 cm./min. y su radio r decrece a raz´on de 1 cm./min., cuando el bloque cil´ındrico tiene radio r = 15 cm. y h = 40 cm. ¿Cu´al es la raz´on de cambio del volumen V del bloque en ese instante?
El volumen del bloque cil´ındrico viene dado por V = V (r, h) = πr^2 h, luego ∂V∂r = 2πrh y ∂V∂h = πr^2. Usando la regla de la cadena se tiene que la raz´on de cambio del volumen con respecto al tiempo es:
dV dt
∂r
· dr dt
∂h
· dh dt
= 2πrh dr dt
Figura 6. Diagrama de arbol Fuente: Elaboraci´on propia
Figura 7. Diagrama de arbol del ejemplo 4. Fuente: Elaboraci´on propia
Ejemplo 4.5. Utilizar la regla de la cadena para calcular ∂w∂s , donde w = sen(x − y) y x = r^3 + s^3 + t^3 , y = r^2 s^2 t^2. Por la regla de la cadena se tiene ∂w∂s = ∂w∂x · ∂x∂s + ∂w∂y · ∂y∂s , ver el diagrama de ´arbol de la Figura 7. As´ı,
∂w ∂s (r, s, t) = cos(x^ −^ y)^ ·^ (3s
(^2) ) − cos(x − y) · (2r (^2) st (^2) ) = 3s (^2) cos(r (^3) + s (^3) + t (^3) − rst) − 2 r (^2) st (^2) cos(r (^3) + s (^3) + t (^3) − rst)
Es f´acil ver que,
∂w ∂r
(r, s, t) = 3r^2 cos(r^3 + s^3 + t^3 − rst) − 2 rs^2 t^2 cos(r^3 + s^3 + t^3 − rst) y
∂w ∂t
(r, s, t) = 3t^2 cos(r^3 + s^3 + t^3 − rst) − 2 r^2 s^2 t cos(r^3 + s^3 + t^3 − rst)
Ejemplo 4.6. Sea w = f (x, y) una funci´on diferenciable de dos variables con derivadas parciales de segundo orden continuas. Al cambiar las coordenadas rectangulares (x, y) por las coordenadas polares (r, θ), se tiene que x = r cos θ y y = r sen θ, luego, por la regla de la cadena, las derivadas parciales de f con respecto a las variables r y θ son: ∂f ∂r
= ∂f ∂x
· ∂x ∂r
· ∂y ∂r
= ∂f ∂x
cos θ + ∂f ∂y
sen θ (10)
∂f ∂θ =^
∂f ∂x ·^
∂x ∂θ +^
∂f ∂y ·^
∂y ∂θ =^ −r
∂f ∂x sen^ θ^ +^ r
∂f ∂y cos^ θ^ (11)
Si ahora se quiere calcular ∂
(^2) f ∂r∂θ , entonces de la igualdad (11), ∂^2 f ∂r∂θ
∂r
−r ∂f ∂x
sen θ
∂r
r ∂f ∂y
cos θ
= − ∂f ∂x
sen θ − r ∂ ∂r
∂f ∂x
sen θ + ∂f ∂y
cos θ + r ∂ ∂r
∂f ∂y
cos θ (12)
Por la regla de la cadena,
∂ ∂r
∂f ∂x
∂^2 f ∂x^2 ·^
∂x ∂r +^
∂^2 f ∂y∂x ·^
∂y ∂r =^
∂^2 f ∂x^2 cos^ θ^ +^
∂^2 f ∂y∂x sen^ θ
∂ ∂r
∂f ∂y
(^2) f ∂x∂y
· ∂x ∂r
(^2) f ∂y^2
· ∂y ∂r
(^2) f ∂x∂y
cos θ + ∂
(^2) f ∂y^2
sen θ
Sustituyendo en (12) y simplificando, se concluye que:
∂^2 f ∂r∂θ =^
∂f ∂y cos^ θ^ −^
∂f ∂x sen^ θ^ +^ r
∂^2 f ∂x∂y cos(2θ) +^
r 2
∂^2 f ∂y^2 −^
∂^2 f ∂x^2
sen(2θ)
a) lim (x,y)→(0,0)
exy x + tan y + 1
b) lim (x,y)→(0,0)
x^2 − y^2 x^2 + y^2
c) lim (x,y)→(− 2 ,2)
4 − xy 4 + xy
d) lim (x,y,z)→(0, 0 ,0)
xy + yz^2 + xz^2 x^2 + y^2 + z^2
e) lim (x,y,z)→(0, 0 ,0)
yz + xz + xy 1 + xyz
f) lim (x,y,z)→(2, 1 ,0)
√^ x^ −^ y^ −^ z^ −^1 x − y − z − 1
log
( (^) x 2 16 +^
y^2 9 −^1
b) g(x, y) = arctan
1 x^2 −y^2
c) h(x, y, z) = (^) x (^25) +xyzy (^4) +^2 z 8
2 x + y^3 h) f (x, y) = e−(3x^5 +5y^3 ) i) f (x, y, z) = x^2 y^3 z^4 j) f (x, y, z) = (^) x^7 +xzy k) f (x, y, z) = log
x^2 + y^2 + z^2 l) f (x, y, z) = exyz m) f (u, v, w) = w cos(2u − 3 v) n) f (r, s, t) = res^ + set^ + ter
( (^) y x
; (2, −2) b) u(x, y) = cos(2x − y) ;
( (^) π 4 ,^
π 3
c) V (r, θ) = 2πer^ sen θ ; (π, 0) d) Φ(x, y, z) =
3 x^3 + y^3 − 2 z^3 ; (1, − 2 , 1)
0 , π 6 , 1
t , y = 2t b) w = e^1 −xy^ , x = t^1 /^3 , y = t^2 /^3 c) w = x cos y , x = et^ , y = π − t d) w = x^2 − xy + 2y^2 , x = cos t , y = − sen t e) w = log(x + y + z) , x = cost^ , y = sen^2 t z = tan^2 t f) w = xy + xz + yz , x = t − 1 , y = t^3 − 1 z = t
