Vista previa parcial del texto
¡Descarga Complementarios primeros temas y más Apuntes en PDF de Ciencia de materiales solo en Docsity!
COMPLEMENTARIOS
TEMA 1
232 APLICACIONES Y CONFORMADO DE LAS CERÁMICAS 14.1 INTRODUCCIÓN El análisis precedente de las propiedades de los materiales ha puesto de ma- nifiesto que existe una gran disparidad entre las características físicas de los metales y las cerámicas. Por consiguiente, estos materiales se utilizan en aplicaciones totalmente distintas y, en este sentido, se complementan unos a otros, y también con los polímeros. Muchos materiales cerámicos pueden clasificarse, según sus aplicaciones, en uno de los grupos siguientes: vidrios, productos estructurales de arcilla, porcelanas, refractarios, abrasivos, ce- mentos y cerámicas avanzadas de reciente desarrollo, La Figura 14.1 mues- tra la taxonomía de estos varios tipos; cada uno de ellos será estudiado en este capitulo. Un punto importante que merece atención especial es el método de ela- boración de los materiales cerámicos. Muchas de las técnicas de conforma- ción de los metales discutidas en el Capítulo 12 se basan en el moldeo y/o técnicas que involucran cierta deformación plástica del material. Puesto que los materiales cerámicos tienen normalmente un alto punto de fusión, el moldeo a partir de la fase líquida no es práctico. Además, en muchas ocasio- nes, la fragilidad de estos materiales hace inviable la deformación plástica. Algunas piezas cerámicas se forman a partir de polvos (o sea, conjuntos de partículas) que deben ser finalmente secados y cocidos. Las formas de los vi- drios se consiguen a elevadas temperaturas a partir de una masa de fluido que aumenta su viscosidad al enfriarse. Para dar forma a los cementos, se hace con ellos una pasta fluida que se coloca en moldes; la pasta endurece y adquiere una forma permanente debido a reacciones químicas. Un esquema taxonómico de los varios tipos de técnicas para el conformado de los mate- riales cerámicos se presenta en la Figura 14.2. Cada técnica es estudiada jun- to con el grupo de cerámicas en que se utiliza con mayor frecuencia. VIDRIOS Los vidrios forman un grupo familiar de cerámicas; las aplicaciones típicas son recipientes, ventanas, lentes y fibra de vidrio. Tal como ha sido mencio- nado anteriormente, los vidrios son silicatos no cristalinos que contienen otros óxidos, principalmente CaO, Naz0, K20, y ALO, los cuales influyen en las propiedades del vidrio. Un vidrio típico de cal y sosa está formado por aproximadamente 70% en peso de SiO,, el resto es principalmente NazO (sosa) y Ca0 (cal). Las composiciones de varios materiales vítreos están in- dicadas en la Tabla 14.1. Posiblemente las dos principales propiedades de es- tos materiales son su transparencia Óptica y la facilidad con que pueden fabricarse. 14,2 PROPIEDADES DE LOS VIDRIOS Antes de empezar a estudiar las técnicas de conformado de los vidrios, se presentarán algunas de las propiedades de estos materiales que son sensi- bles a la temperatura. Los materiales vítreos, o sea no cristalinos, no solidi- fican de la misma manera que los materiales cristalinos. Al enfriar, el vidrio se hace cada vez más viscoso de forma continua a medida que la temperatu- T T 7] Tipo de vidrio SiO, | Naj0 | CaQ Alj0s | B303 | Otros Características y aplicaciones Sílice fundida 99,5 Alta temperatura de fusión, muy bajo coeficiente de dilatación (resistente al choque térmico) Sílice (96%) (Vycor) | 96 4 Resistente al choque térmico y al ataque químico: material de laboratorio Borosilicato (Pyrex) 81 3,5 2,5 13 Resistente al choque térmico y al ataque químico: material para hornos Recipientes (sosa-cal) | 74 16 5 1 4Mg0 | Baja temperatura de fusión, conformación fácil, durabilidad Fibra de vidrio 55 16 15 10 4MgO | Fácilmente estirada en forma de fibras materiales compuestos de resina-vidrio Vidrio óptico *flint" 54 1 37Pb0, | Alta densidad y alto índice de refracción: 8K,0 lentes Ópticas Vitrocerámica 70 18 4,5T10», ; Fácilmente fabricada; resistente; resiste el 2,5Li0 choque térmico: material para hornos Figura 14.3 Comparación del compor- tamiento del volumen específico con la temperatura de materiales cristalinos y no cristalinos. Los materiales cristalinos sotidifican a la temperatura de fusión 7, im La temperatura de transición yí- trca,T.¿, es una característica del estado Tas no cristalino. Líquido Líquido subenfriado Vidrio ¡Cristalización Volumen específico 1 : A Sólido | (cristalino 1 ' 1 1 1 Ta Ton Temperatura ra disminuye; no existe una temperatura definida a la cual el líquido se trans- forma en sólido, tal como ocurre en los materiales cristalinos. De hecho, una de las distinciones entre materiales cristalinos y no cristalinos, se basa en la dependencia del volumen específico (o volumen por unidad de peso, o sea, el recíproco de la densidad) con la temperatura, tal como se ilustra en la Fi- gura 14.3. En el caso de los materiales cristalinos, existe una disminución dis- continua en volumen a la temperatura de fusión, T,,,. Sin embargo, para los materiales vítreos, el volumen disminuye continuamente con la reducción Temperatura (9F) 400 800 1200 1600 2000 2400 2800 3200 1018 | T T PT | PY só Vidrio de . o 1016 —borosilicato Vidrio de ae = A UN punto de deformación] 10% 1054 - Punto de recocido 7912 1012 4 ES pS — 10m Zoo E E] h A ES Punto UM 10% S 108 de ablandamiento ES > N e — 109 > 6 — Ñ 108 Tntervalo de trabajo M AS 7] MN — 10* 104 102 A Vidrio de cal y sosa 1 aL! | | | | | | 200 400 600 800 Teoo 1200 1400 16001800 Temperatura (*C) de temperatura; la temperatura a la cual se produce un ligero cambio en la pendiente, se denomina temperatura de transición vítrea, To Por debajo de esta temperatura, se considera que el material es un vidrio; por encima, pri- mero es un líquido subenfriado, y, finalmente, un líquido. Las características viscosidad-temperatura del vidrio también son impor- tantes en las operaciones de conformado de los vidrios. En la Figura 14.4 se representa el logaritmo de la viscosidad frente a la temperatura para la sílice fundida, y vidrios de alto contenido en sílice, vidrios de borosilicato y vidrios de cal y sosa. Sobre la escala de viscosidad, se indican varios puntos impor- tantes en la fabricación y procesado de los vidrios: 1. El punto de fusión corresponde a la temperatura a la cual la viscosidad es 10 Pa-s (100 P); el vidrio es suficientemente fluido para ser considera- do como líquido. : 2. El punto de trabajo representa la temperatura a la cual la viscosidad es 103 Pa-s (10* P); el vidrio es fácilmente deformado a esta viscosidad. 3. El punto de ablandamiento, temperatura a la cual la viscosidad es 4x 106 Pa-s (4 x 107 P), es la temperatura máxima a la cual una pieza de vidrio puede ser manipulada sin producir alteraciones dimensionales significati- vas, 4. El punto de recocido es la temperatura a la cual la viscosidad es 10"? Pa- Ss (108 P), a esta temperatura, la difusión atómica es Suficientemente rá- pida para que cualquier tensión residual pueda ser eliminada en aproxi- madamente 15 min. 335 14.2 PROPIEDADES DE 1.0S VIDRIOS Figura 14.4 Logaritmo de la viscosidad frente a la temperatura para la sílice fun- dida y para varios vidrios de sílice. (E. B. Shand, Engineering Glass, Modern Mate- rials, Vol 6, Academic Press, New York, 1968, p. 262) 48 LA ESTRUCTURA DE LOS SÓLIDOS CRISTALINOS Figura 3,9 — (a) Celdilla unidad FCC con esferas reducidas y con el plano (110). (b) Empaquetamiento atómico de un plano (110) FCC, cuyas posiciones atómicas se indican en (a). 3.9.1 Disposición atómica La disposición atómica de los planos cristalográficos depende de la estruc- tura cristalina. Los planos atómicos (110) para las estructuras FCC y BCC están representados en las Figuras 3.9 y 3.10, donde también se incluyen las celdillas unidad con esferas reducidas. Obsérvese que el empaquetamiento atómico es distinto en cada caso. Los círculos representan átomos en los pla- nos cristalográficos obtenidos cortando por el centro las esferas rígidas. El empaquetamiento atómico puede ser idéntico para varios planos cris- talográficos que tienen diferentes índices, los cuales dependen de la simetría de la estructura cristalina; tales planos constituyen una familia de planos equivalentes. Una familia de planos se designa encerrando los números con unas llaves. Por ejemplo, los planos (111), (11), (1D), (110), (1D), (10, (117) y (111) de los cristales cúbicos pertenecen a la familia [111]. Sólo en el sistema cúbico, los planos que tienen los mismos índices, independiente- mente del orden y del signo, son equivalentes. Por ejemplo, (123) y (312) pertenecen a la familia (123). 3.9.2 Cristales hexagonales En los cristales con simetría hexagonal es deseable que los planos y las di- recciones equivalentes tengan los mismos índices, lo cual se consigue me- diante el sistema de Miller-Bravais mostrado en la Figura 3.6, Esta conversión conduce al esquema de cuatro índices (Rkil) que clasifica la orientación de los planos en el sistema cristalino hexagonal. Hay alguna re- dundancia, pues ¿ equivale a la suma de ha y k: i=-(h+k) Los tres índices h, k y I son idénticos para ambos sistemas. La Figura 3.76 recoge varios de los planos más comunes de los cristales con simetría hexa- gonal. ¡ 3.10 DENSIDADES ATÓMICAS LINEAL Y PLANAR En las dos secciones precedentes se ha discutido la equivalencia entre planos y direcciones no paralelas, y se ha relacionado la equivalencia con el empa- Pel quetamiento atómico. Ahora es el momento de introducir los conceptos de densidades lineal y planar. La densidad lineal corresponde a la fracción de longitud de línea, de una dirección cristalográfica particular, que pasa atra- vés de los centros de los átomos. Similarmente, la densidad planar es simple- mente la fracción del área del plano cristalográfico ocupada por átomos (representados como círculos); el plano debe pasar a través del centro del átomo para que éste se pueda incluir. Estos conceptos, uni y bidimensional, al igual que el efecto de empaquetamiento atómico se tratan en los proble- mas resueltos siguientes, PROBLEMA RESUELTO — 3.8 Calcular la densidad lineal de la dirección [100] en BCC. SOLUCIÓN En la Figuta 3.1la están representadas la: celdilla unidad BCC (esferas reducidas) y en su inferior la dirección [100]. En la Figura 3.116 está tepresentado el empaquetamiento lineal en esta dirección. La base para el cálculo es la longitud dela línea dentro de la celdilla unidad, £,, que en este 49 3.10 DENSIDADES ATÓMICAS LINEAL Y PLANAR Figura 3.10. (a) Celdilla unidad BCC con esferas reducidas y con el plano (110). (6) Empaquetamiento atómico de un plano (110) BCC, cuyas posiciones atómicas se indican en (a). Figura 3.11 (a) Celdilla unidad BCC con esferas reducidas y con la dirección [100] indicada. (b) Distancia interató- mica en la dirección [100] de una estruc- tura cristalina BCC: entre los átomos M y N de (a). 388 ESTRUCTURA Y PROPIEDADES DE LAS CERÁMICAS 13.1 INTRODUCCIÓN Los materiales cerámicos fueron tratados brevemente en el Capítulo 1, en donde se definieron como materiales inorgánicos y no metálicos. La mayo- ría de las cerámicas son compuestos formados por elementos metálicos y no metálicos cuyos enlaces interatómicos pueden ser de carácter totalmente ió- nico, o bien de carácter predominantemente iónico con algún carácter cova- lente. El término "cerámica" proviene de la palabra griega "keramikos", que significa "cosa quemada”, indicando de esta manera que las propieda- des deseables de estos materiales generalmente se alcanzan después de un tratamiento térmico a alta temperatura que se denomina cocción. Hasta hace aproximadamente 40 años, los materiales más importantes de esta clase se denominaban "cerámicas tradicionales”, que son aquellas para las cuales la materia prima de partida es la arcilla; los productos considera- dos dentro de esta familia son porcelana fina, porcelana eléctrica, ladrillos, baldosas y también vidrios y cerámicas refractarias. Más tarde, se han reali- zado progresos importantes en el conocimiento fundamental de estos mate- ríales y de los fenómenos que ocurren en ellos que son los responsables de sus propiedades especiales, Por consiguiente, ha surgido una nueva genera- ción de estos materiales, y el término "cerámica” ha sido utilizado en un sen- tido mucho más amplio. De una manera u otra, estos materiales tienen un profundo efecto sobre nuestras vidas; las industrias electrónica, informática, de comunicaciones, aeroespacial, así como muchas otras se basan en este tipo de materiales. Este capítulo presenta los tipos de estructura cristalina y los defectos ató- micos puntuales que se encuentran en estos materiales cerámicos y también algunas de sus propiedades mecánicas características. Las aplicaciones y las técnicas de elaboración de esta clase de materiales se tratan en el capítulo siguiente. ESTRUCTURAS CERÁMICAS Puesto que el enlace atómico en los materiales cerámicos es parcialmente o totalmente iónico, muchas estructuras cristalinas de los materiales cerámi- cos pueden ser pensadas como compuestas de ¡ones eléctricamente cargados en lugar de átomos. Los ¡ones metálicos, cationes, cstán cargados positiva- mente, ya que han cedido sus electrones de valencia a los iones no metálicos, aniones, los cuales están cargados negativamente. Puesto que las cerámicas están compuestas usualmente por lo menos por dos elementos y a menudo por más de dos, sus estructuras cristalinas son generalmente más complejas que la de los metales. 13.2 ESTRUCTURAS CRISTALINAS Hay dos características de los iones que componen los materiales cerámicos cristalinos que determinan la estructura cristalina: el valor de la carga eléc- trica de los iones componentes, y los tamaños relativos de los cationes y aniones. Con respecto a la primera característica, el cristal debe ser eléctri- camente neutro; o sea, todas las cargas positivas de los cationes deben ser equilibradas por un número igual de cargas negativas de los aniones. La fór- O $08 Estable Estable Inestable Tabla 13.1 Números y geometrías de coordinación para varios cocientes entre los radios del catión y el anión (1c/ra) Cociente entre los radios Geometría de Número de coordinación del catión y del anión coordinación 2 <0,155 3 0,155 - 0,225 4 0,225 - 0,414 6 0,414 - 0,732 8 0,732-1,0 Fuente: W. D. Kingery, H. K. Bowen, y D. R. Uhlmann, Introduction to Ceramics, 2nd edition. Copyright O 1976 John Wiley de Sons, New York. Reproducido con permiso de John Wiley 8. Sons Inc. 389 13.2 ESTRIJCFURAS CRISTALINAS Figura 13.1 — Configuraciones estables e inestables de la coordinación entre aniones y cationes. tal como también se muestra en la tabla, El número de coordinación es 8 para refr entre 0,732 y 1,0, con aniones en todos los vértices de un cubo y un catión en el centro. Para un cociente de radios mayor que la unidad el nú- mero de coordinación es 12. Los números de coordinación más comunes de los materiales cerámicos son 4, 6 y 8. En la Tabla 13.2 se indican los radios iónicos de varios aniones y cationes muy comunes en los materiales cerámi- cos. PROBLEMA RESUELTO Demostrar que para un número de coordinación 3, el valor mí cociente entre los radios del cátión y anión es 0,155. SOLUCIÓN Para esta coordinación, el pequeño catión éstá-rodeado de tres aniones para Tormar un triángulo equilátero tal como se miestra más abajó, el triángulo ABC, los centros de los cuatro iones son coplanarés. ón Ox! c ( Y o) , CA > y Ta) ! 4 A) NE Anión Esto se reduce a un problema trigonométrico plano y sencillo. Si consi- deramos el triángulo rectángulo APO, se pone de manifiesto que la longitud de los lados están relacionados con los radios de los aniones y de los cationes rolra como: A ES AP = 54 AO=r¿+fo Además, el cociente de las longitudes de los lados AP/A0, es una función del ángulo aL: o E La magnitud de a es 30%, puesto que la línea 40 bisecta el ángulo de 60% BAC. Por consiguiente, 3 = cos 30 == ¿AO TAR O bien, resolviendo para el cociente de los radios iónicos, 391 13.2 ESTRUCTURAS CRISTALINAS 392 ESTRUCTURA Y PROPIEDADES DF LAS CERÁMICAS Figura 13.2. Una celdilla unidad de la estructura cristalina del cloruro sódico (Nach). 13.21 Estructuras cristalinas del tipo AX Algunos de los materiales cerámicos más comunes son aquellos en los cuales el número de cationes y aniones es el mismo. Estos se refieren a menudo como compuestos AX, donde A indica el catión y X el anión. Existen varias estructuras cristalinas distintas para los compuestos AX; cada una de ellas se describe mediante el nombre de un material común que tiene esta parti- cular estructura. Estructura del cloruro sódico. Quizás la estructura cristalina más común del tipo AX es la del cloruro sódico. El número de coordinación tanto para los cationes como para los aniones es 6, y, por consiguiente, el cociente entre el radio del catión y del anión está comprendido entre 0,414 y 0,732. Una celdilla unidad de esta estructura cristalina (Fig. 13.2) se puede generar a partir de una estructura cúbica centrada en las caras de aniones con los cationes situados uno en el centro del cubo y otro en el centro de los doce lados del cubo. Una estructura cristalina equivalente se forma a partir de una estructura cúbica centrada en las caras formada por cationes. Por consiguiente, la estructura cristalina del cloruro sódico puede ser imaginada como formada por dos redes cúbicas centradas en las caras interpenetrantes, una compuesta de cationes y la otra de aniones. Algunos de los materiales más comunes que tienen esta estructura cristalina son el NaCl, MgO, MnS, LiF, y FeO . Estructura del cloruro de cesio. La Figura 13.3 muestra una celdilla unidad de la estructura cristalina del cloruro de cesio (CsCl); el número de coordinación es 8 para ambos tipos de iones. Los aniones están colocados en cada uno de los vértices del cubo, mientras que el centro del cubo hay un catión. El intercambio de las posiciones de los iones positivos y negativos reproduce la misma estructura. Ésta no es una estructura cúbica centrada en el cuerpo puesto que distintos tipos de iones ocupan los puntos de la red. 394 ESTRUCTURA Y PROPIEDADES DE LAS CERÁMICAS Figura 13.5. Una celdilla unidad de la estructura cristalina de la iluorita (CAF). E E 3 4 Ad eo Or 13.22 Estructuras cristalinas del tipo A,,X,. Si las cargas de los cationes y de los aniones no son iguales, entonces puede existir un compuesto con la fórmula química AX, donde sn y/o p son dife- rentes de 1. Un ejemplo podría ser AX), la cual es la estructura cristalina de la fluorita (CaF,). El cociente de radios iónicos r (fr, para el CaF, es alrede- dor de 0,8, lo cual, según la Tabla 13.1, corresponde a un número de coordi- nación de 8. Los iones de calcio están colocados en los centros de los cubos, con ¡ones fluoruro en los vértices. La fórmula química muestra que el núme- ro de iones Ca” es igual a la mitad de los iones F”, por consiguiente la es- tructura eristalina es similar a la del CsCl (Fig. 13.3) excepto que sólo la mitad de los centros de los cubos están ocupados por iones Ca?*, Un celdilla unidad está formada por ocho cubos, tal como sc indica en la Figura 13.5. Otros compuestos que tienen esta estructura cristalina incluyen a UO,, Pu0, y ThO). 13,23 — Estructuras cristalinas del tipo A,,B,X, También es posible para los compuestos cerámicos el tener más de un tipo de catión; para dos tipos de cationes (representados por A y B), su fórmula química puede representarse por A,»B,X,. El titanato de bario (BaTiOy) pertenece a este grupo por tener los cationes Ba?* y Ti%*. Este material tiene la estructura cristalina de la perouskita y también interesantes propiedades mecánicas que se discutirán más adelante, A temperaturas superiores a 120%, la estructura cristalina es cúbica. Una celdilla unidad de esta estruc- tura se muestra en la Figura 13.6; los iones Ba”* están situados en los ocho vértices del cubo y union Tié* está en el centro, con los jones O” localizados en el centro de cada una de las seis caras. En la Tabla 13.3 se resunten las estructuras cristalinas del cloruro sódico, el cloruro de cesio, la blenda, la fluorita y la perouskita en términos de los cocientes entre los radios iónicos y el número de coordinación, dándose también ejemplos de cada una de ellas. En todo caso, hay que tener presente que pueden también existir muchas otras estructuras cristalinas. Tabla 13.3 Resumen de las estructuras cristalinas más comunes de los materiales cerámicos Números de Nombre de Tipo de Empaqueta- coordinación la estructura | estruciura | miento aniónico | Catión | Anión Ejemplos Cloruro AX FCC 6 6 NaCl, MgO, sódico FeO Cloruro de AX Cúbica simple 8 8 Cscl cesio Blenda AX FCC 4 4 ZnS, SiC (esfalerita) Fluorita AX) Cúbica simple 8 4 CaF,, UO», ThO, Perouskita ABX; FCC 1(A) 6 BaTiOs, 6(B) SrZr0O3, Sr$nOx Espinela AB2X4 FCC aa) 4 MgAlOg, $(B) FeAlO, Fuente. W. D. Kingery, A. K. Bowen, y D.R. Uhlmann, /ntroduciion to Ceramics, 20d edition. Copyright O 1976 John Wiley 8 Sons, New York. Reproducido con permiso de John Wiley é Sons Inc. 13.2.4 Estructuras cristalinas a partir de aniones empaquetados de forma compacta " Recordemos (Sección 3.11) que en el caso de los metales el apitamiento de planos compactos de átomos genera las estructuras cristalinas FCC y HC. Análogamente, algunas estructuras cristalinas cerámicas pueden conside- rarse en términos de planos compactos de iones, o bien mediante celdillas 395 13.2 ESTRUCTURAS CRISTALINAS Figura 13.6 Una celdilla unidad de la estructura cristalina de la perouskita blenda y de la perouskita. La estructura de la espinela es una del tipo A,B- nXp, que es la que adopta el aluminato de magnesio, espinela (MgALO4). En esta ostructura, los jones O” forman una red FCC,mientras que los iones Mg?* llenan huecos tetraédricos y los A1* se colocan en los huecos octaédri- cos. Las cerámicas magnéticas, ferritas, tienen una estructura cristalina que es una ligera variante de esta estructura de la espinela; las características magnéticas están fuertemente afectadas por la ocupación de las posiciones tetraédricas y octaédricas (véase Sección 21,5). PROBLEMA RESUELTO Sobre la base de los radios iónicos, ¿qué estructura podría predecir para el FeO? A SOLUCIÓN Primero notemos que el FeO es un compuesto del tipo AX. En segundo lugar, determinemos el cociente entre los radios del catión y del anión, el cual a partir de la Tabla 13.2 viene dado por: Fez" _ 0,0770m iS (a Este valor está comprendido entre 0,414 y 0,732; por consiguiente, según la “Tabla 13.1 el número de coordinación del ion Fe** es 6; éste también es el número de coordinación del O?, puesto que existe el mismo número de cationes y aniones. La estructura cristalina que se puede predecir es la del cloruro sódico, la cual es la estructura AX con un número de coordinación igual a 6, tal como se indica en la Tabla 13.3. 397 13.2 FSTRUCTURAS CRISTALINAS Figura 13.8 — Sección de la estructura Cris- talina del cloruro sódico de la cual se ha eliminado la región de un vértice. El plano de aniones que queda expuesto (esferas claras dentro del triángulo) es un plano del tipo 1111); los cationes (esferas oscuras) ocupan las posiciones intersticiales octaé- dricas. 398 ESTRUCTURA Y PROPIEDADES DE LAS CERÁMICAS 13.25 Cálculos de la densidad de las cerámicas Es posible calcular la densidad teórica de un material cerámico cristalino a partir de los datos de la celdilla unidad de una forma similar a la descrita en la Sección 3.5 para los metales. En este caso la densidad p puede determi- narse utilizando una forma modificada de la Ecuación 3.5, de la forma si- guiente: WAS ZA,) o 3. 2 Vi (13.1) donde n' = número de unidades de fórmula! en la celdilla unidad 2 Ac = la suma de los pesos atómicos de todos los cationes en la unidad de fórmula Z Aa = la suma de los pesos atómicos de todos los aniones en la unidad de fórmula V¿= volumen de la celdilla unidad Na = número de Avogadro, 6,023 x 10% unidades de fórmula! mol En base a la estructura cristalina, calcular la densidad teórica del cloruro sódico. ¿Cuál es la diferencia con la densidad experimental? SOLUCIÓN La densidad puede determinarse mediante la Ecuación 13.1, donde »*, el número de unidades de NaCi por celdilla unidad, es igual a 4 porque tanto los iones de sodio como de cloro forman redes FCC, Además, Ac =Ana = 22,99 g/mol ZA» =Ac¡=35,45 g/mol Puesto que la celdilla unidad es cúbica, Va = a, siendo a la arista del cubo celdilla unidad: Para la cara del cubo celdila unidad que:se muestra en la Figura adjunta se tiene, 4= Part Proy siendo Pya+ Y 20- los radios iónicos del sodio el cloro; los cuales según la Tabla 13.2 son iguales a 0,102 y 0,181 nm, respectivamente, Por tanto, Vez = (2rt2ro 3? 1 “Unidades de fórmula" : todos los iones que están incluidos en la fórmula química unidad. Por ejemplo, en el caso del BaTiOz, una unidad de fórmula consiste en un ion de bario, un ion de titanio y tres iones de oxígeno. 
