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- Hallar la distancia d de la recta L:
x + y − z−
= = al plano π que contiene al triángulo de vértices A(2, 1, 4),
B(1, 2, -8) y C(0, -3, 4)
Solución: Aplicando la distancia de un punto a un plano:
0 0 0
2 2 2
Ax By Cz D
d
A B C
donde A B C D, , , pertenecen al plano y
el punto
0 0 0 0
P ( x , y ,z )pertenece a la recta.
( ) ( )
N AB AC
AB AC
= ×
( )
i j k
N = − − = −
Para hallar la ecuación del plano utilizamos la ecuación punto normal, donde tenemos el vector N
y el punto
A: −48( x − 2) + 24( y − 1) + 6( z− 4) = 0 ⇒ 8 x − 4 y − z− 8 = 0
Hallando la distancia de este plano al punto de la recta
0
P ( 2, 2,3)− :
2 2 2
d d
- Calcular el área del paralelogramo si las diagonales son los vectores 2 U −V
y 4 U − 5 V
donde U
y V
son vectores
unitarios que forman un ángulo de 45º.
Solución: Como se observa en la figura para hallar el área del paralelogramo utilizando sus diagonales aplicamos:
( ) ( )
6 6 3 sin 3(1)(1) sin 45º
A U V U V
A U U U V V U V V
A V U V U U V
A
= − × −
= × − × − × + ×
= × = × = × =
- Representar la curva (graficar) que esta dada paramétricamente.
x t t
C t t
y t t
Solución:
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
2
2 2
2 2
2
x t
x t t x t t
t
C
y t
y t
y t
t
Restando ambas expresiones:
2 2
x − y = 4 es una hipérbola. Su grafica será.
- Hallar el vector tangente unitario de la curva.
sin
: 1 cos , ,
x t t
C y t t
z t
en t= π.
Solución:
( )
sin
: 1 cos sin , cos ,
x t t
C y t C t t t t t
z t
El vector tangente unitario será:
( )
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 cos , sin , 1 '
1 cos sin 1
t t C
T
C
t t
en el punto t= π
( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
2 2 2
( )
1 cos , sin , 1 '
1 cos sin 1
C
T T
C
π π
π
- Si A B C, ,
son vectores que pertenecen a
3
, demostrar que
( ) ( )
A + B + C A − B × ( B − C ) = 3 A B ×C
Solución:
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
A B C A B B C A B C
A B C A B B C A B C A B A C B B B C
A B C A B A C B C A A B A A C A B C B A B B
+ + − × − = ×
+ + − × − = + + × − × − × + ×
+ + × − × + × = × − × + × + × −
A C B B C
C A B C A C C B C
× + ×
+ × − × + ×
Si dos vectores se repiten en un triple producto escalar entonces este es cero escalar:
( ) ( )
A + B + C A − B × ( B − C )= A B × C − B A × C + C A ×B
Aplicando la propiedad de rotación en el triple producto escalar tenemos:
( ) ( )
( ) ( )
A B C A B B C A B C B A C C A B
A B C B C A B C A A B C A B C A B C
A B C A B B C A B C
+ + − × − = × − × + ×
= × + × + × = × + × + ×
+ + − × − = ×
- Determinar el valor de k de modo que los cuatro puntos A(1,2,-1); B(0,1,5); C(-1,2,1) y D(k,1,3) estén situados en
mismo plano.
Solución: Primero hallamos la ecuación del plano que conforman los punto A, B, y C
( )
i j k
AB
N AB AC N
AC
= × = − − = − − −
Hallamos la ecuación del plano con la normal y el punto A.
− 2( x −1) − 10( y − 2) − 2( z + 1) = 0, x + 5 y + z− 10 = 0
Reemplazamos el punto D en la ecuación del plano, para cumplir con la condición de
que los cuatro puntos están en un mismo plano.
x + 5 y + z − 10 = 0, D k( ,1,3) ⇒ k + 5(1) + 3 − 10 = 0 ⇒ k= 2
- En un trapecio rectangular ABCD las diagonales son mutuamente perpendiculares y la razón entre las longitudes de
las rectas es
BC
AD
hallar la razón entre la longitud de las diagonales.
Solución: Si
BC
AD
, como observamos en la grafica entonces se cumple BC = λAD
por paralelismo de vectores. La
grafica se puede representar de la siguiente manera, donde se puede observar
que las diagonales están en función de:
AC m AC m AC
BD nBD n BD
Según la gráfica se puede observar que AB
es perpendicular a AD
, por lo que
su producto escalar será cero.
AB AD = 0
Por suma de vectores hallamos m y n en función de λ :
AD BD AB
AC AD AB
AB nBD m AC
( ) ( ) ( ) ( )
AC BD AB nBD m AC BD nBD m AC nBD m AC
AC BD nBD m AC nBD m AC
AC n n BD m AC BD AC
n n BD m AC
n n n
m m
( ) ( )
2
AD n BD m AC
AB AD nBD m AC n BD m AC
AB nBD m AC
n n BD BD m n BD AC n m BD AC m AC
AC = 0
Como los vectores BD AC,
son ortogonales entonces su producto escalar es cero y también debemos recordar que
2
X X = X
donde X
es un vector que pertenece a
3
R.
2
2 2
2
2 2
AC
n n
n n BD m AC
m
BD
Reemplazando los valores para m y n tenemos:
2
AC AC
BD BD
- Hallar el dominio de la función vectorial
2
2
( ) , 1,ln( 1)
f t t t
t
.
Solución:
Aplicando las soluciones conocidas en calculo I
Para la primera t = ± 2 (evitar la división entre cero).
Para la segunda
2
t − 1 ≥ 0 ⇒] − ∞ −, 1] ∪ [1, ∞[ (evitar la raíz cuadrada de un número negativo).
Para la tercera t + 1 > 0 ⇒ t> − 1 (evitar el logaritmo de cantidades negativas).
El dominio de la función pedida se da por la intersección de las tres restricciones anteriores, resultado final:
{ }
Df = [1, ∞ −[ 2
- Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva C definida por:
2 3
2 3
t t t
f t
t t t
en el punto P(2,0, 2)
Solución:
Para hallar el valor de t se debe hacer la siguiente igualación
2 3
2 3
t t t
P
t t t
de donde se deduce el valor único de t
es t = 1.
Para hallar el vector tangente a la curva, derivamos la función respecto de t y luego evaluamos el valor de t.
( )
2 3
2 3 2 3 2 3 4
t t t
f t f t f
t t t t t t t t t
Para hallar la ecuación de la recta tangente utilizamos el vector tangente ( )
f '(1) = −1, 2, − 3
y el punto P (2,0, 2).
x r
l y r
z r
- Probar que las curvas en el espacio R3 definidas por ( )
2
f t ( ) = t + 1, t ,2 t− 1
y ( )
2 2
g t ( ) = 2 r ,3 r −2,r
se cortan en un
punto: hallar el ángulo que forman las curvas en ese punto.
Solución:
Para comprobar que dos curvas se cortan en un punto, deben existir escalares t y r que verifique:
( ) ( )
2
2 2 2 2
2
t r
f t t t t g t r r r t r t r
t r
Hallamos los vectores tangentes para cada curva, evaluado en sus respectivos escalares:
( ) ( )
( ) ( )
f t t f
g t r r g
En consecuencia el ángulo entre las curvas será el ángulo entre los vectores tangentes:
( ) ( )
cos cos cos
f g
ar
f g
α α α
FORMULARIO VECTORES Y GEOMETRÍA SÓLIDA
MAT-102 “Vectores propiedades algebraicas, escalares, vectoriales y productos triples”, Si a A BC
, , son vectores en
3
R y s, t
son escalares.
- Las propiedades algebraicas que presentan los vectores son las siguientes:
0 1, 2
A B B A
A B C A B C
A A sA sa sa sa
s A B sA sB
s t A sA tA
A A
- Producto escalar y producto vectorial si:
0 1 2 0 1 2 0 0 1 1 2 2
0 1 2 0 1 2
0 1 2
0 1 2
A B a a a b b b a b a b a b
i j k
A a a a B b b b
AXB a a a
b b b
- Triple producto escalar: A BXC C AXB B CXA
- Triple producto vectorial: AX BXC A C B A BC
A
oy A
B
Pr B
- Puntos de división si ( , , ) ( , , )
1 1 1 1 2 2 2 2
P x y z ∧ P x y z :
1 2 1 2 1 2
r
z z r
z
r
y y r
y
r
x x r
x
Las propiedades del producto escalar son las
siguientes:
A B B A
A B C A B A C
2
A A A
A B BAcos θ
A B= 0
(si los vectores son ortogonales)
A B B A
= (si los vectores son paralelos)
Las propiedades del producto vectorial son las
siguientes:
AX B BX A
AX B C AXB AX C
AXA=
AX B ABsin θ
AX B= (si los vectores son paralelos)
AX B A B
= (si los vectores son ortogonales)
B
B
A B
oy A
B
2
Pr =
- Área de un paralelogramo Area AXB
= Área de un triangulo: Area AXB
- Volumen de un paralelepípedo: Volumen A BXC
= Volumen de un tetraedro: Volumen A BXC
GEOMETRÍA ANALÍTICA SÓLIDA:
EL PLANO:
- Ecuación general del plano: Ax+ By+Cz+D= 0
- Ecuación punto normal: ( ) ( ) ( ) 0
0 0 0
Ax− x +B y−y +C z−z =
- Distancia de un punto a un plano:
N
P P N
d
A B C
Ax By Cz d
d
e
0
2 2 2
0 0 0
= Donde ( , , )
0 0 0 0
P x y z es
el punto, N
y
e
P pertenecen al plano π.
LA RECTA:
- Ecuación paramétrica de la recta:
0 1
0 2
0 3
x x ta
L y y ta
z z ta
- Ecuación vectorial de la recta: l P ta
0
- Ecuación cartesiana de la recta:
3
0
2
0
1
0
a
z z
a
y y
a
x x −
- Distancia entre dos rectas alabeadas:
axb
P P axb
d
1 2
= Donde " "
1 1
P ∧ a∈l
y " "
2 2
P ∧ b∈l
- Distancia de un punto a una recta:
a
P P Xa
d
e
0
= Donde
e
P es el punto y ""
0
P ∧ a∈l
LA ESFERA:
- Ecuación general de la esfera: 0
2 2 2
Ax + By +Cz +Gx+Hy+Iz+K=
- La distancia de un punto cualquiera P ( x,y,z)de la esfera con el centro C h k( , , j )y de radio R , entonces tenemos:
2 2 2 2
( x −h) +(y−k) +(z−j) =R
