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EXPRESIÓN GRÁFICA

PLANOS ACOTADOS

2ª ed. revisada y ampliada

Ricardo Bartolomé Ramírez

EXPRESIÓN GRÁFICA

PLANOS ACOTADOS

2ª ed. revisada y ampliada

UNIVERSIDAD DE LA RIOJA

Servicio de Publicaciones

Planos acotados: Expresión gráfica de Ricardo Bartolomé Ramírez (publicado por la Universidad de La Rioja) se encuentra bajo una Licencia Creative Commons Reconocimiento-NoComercial-SinObraDerivada 3.0 Unported. Permisos que vayan más allá de lo cubierto por esta licencia pueden solicitarse a los titulares del copyright.

© El autor

© Universidad de La Rioja, Servicio de Publicaciones, 2021

publicaciones.unirioja.es E-mail: [email protected]

ISBN: 978-84-09-31363-

Tema 1

PUNTO, RECTA Y PLANO

EL PUNTO

El sistema de planos acotados (SPA) está formado por un plano horizontal de proyección, llamado plano del cuadro o plano de referencia.

Sobre este plano se encontrarán las proyecciones ortogonales de los elementos del espacio que sobre él se proyecten.

Cada punto, proyección de otro del espacio, estará debidamente acotado con lo cual quedará totalmente definido.

Observando la fig.1 en la que el plano π es el plano del cuadro, se pueden ver las tres posiciones que puede ocupar un punto en el sistema de planos acotados (SPA):

1º. Por encima del plano del cuadro, punto B. 2º. Contenido en el plano del cuadro, punto C. 3º. Por debajo del plano del cuadro, punto A.

Plano del cuadro

B'(4)

A'(-3)

C=C'(0)

A

B

Fig.

Las proyecciones de cada punto son B´, C´ y A´ respectivamente. Para que cada punto quede exactamente definido se debe anotar entre paréntesis, junto a su proyección, una cifra llamada cota. Este número indicará la distancia del punto al plano del cuadro a través de una recta perpendicular, por la proyección del punto, al plano del cuadro. La cota se medirá en centímetros. En topografía, como caso especial, se mide en metros.

Como se podrá ver, en este sistema conocida la proyección de un punto, se conoce la posición del punto en el espacio respecto al plano de referencia y viceversa.

SISTEMA DE PLANOS ACOTADOS

Conceptos sobre la representación del punto

Desnivel entre dos puntos- Es la diferencia de cotas entre dichos puntos, teniendo en cuenta el signo de cada cota.

Ejemplo: El desnivel entre los puntos D(8) y E(-2) es 10. Altitudes y profundidades : Cuando el plano del cuadro se sitúa a nivel del mar, las cotas positivas se denominan altitudes y las cotas negativas se llaman profundidades.

Cota de un punto: Es el número que indica la distancia entre un punto y el plano del cuadro, tomada sobre la perpendicular a este por la proyección del punto.

LA RECTA

La proyección de una recta en este sistema está definida por las proyecciones de dos de sus puntos. Conocidas las proyecciones acotadas de dos puntos de la recta ésta queda definida.

En la fig.2 se puede ver la proyección r´ de la recta r que está definida por los puntos B´(4) y A´(1.4), proyecciones de los puntos B y A de la recta r del espacio.

r'

Plano del cuadro

B'(4)

C

B r

A'(1.4)

α (^) A

Fig.

Conceptos sobre la representación de la recta

Pendiente de una recta: Es el valor de la tangente del ángulo que forma la recta con el plano del cuadro. Según la figura anterior:

r ´ = r ⋅cos α El desnivel entre los puntos B y A será:

d= BB ´ − AA ´= 4 − 1. 4 = 3

SISTEMA DE PLANOS ACOTADOS

Se graduará la recta dividiendo el segmento A´B´ en cuatro partes iguales. Se traza una recta. perpendicular a r´ por B´ y sobre esta perpendicular se toman 4 centímetros, obteniendo así el punto B. Uniendo ahora B con A´ se obtiene la recta r 0 que es el abatimiento de la recta r sobre el plano del cuadro. Así mismo se pueden obtener los puntos C D y E trazando perpendiculares a r´ por las proyecciones correspondientes. El ángulo α que forman las rectas r 0 y r´ es el ángulo en verdadera magnitud de la recta r con el plano del cuadro.

Alfabeto de la recta

Las posiciones que una recta puede tomar con respecto al plano del cuadro, fig.5, son:

1º Paralela a él. Recta r´. 2º Oblicua. Recta s´. 3º Perpendicular a él. Recta t´. La recta s(s´) de la figura se dice que es oblicua con respecto al plano del cuadro puesto que los puntos C´(0) y D´(2) por los que está definida, tienen distinta cota.

A'(3)

D'(2)

C'(0)

r'

s'

B'(3)

t'

Fig.

Si la recta es paralela al plano del cuadro, los puntos por los que estará definida tendrán la misma cota, como puede verse en la recta r(r´) dada por los puntos A´(3) y B´(3). La pendiente de este tipo de rectas es 0.

Si la recta es perpendicular al plano del cuadro, su proyección será un punto, como ocurre con la recta t(t´).

PUNTO, RECTA Y PLANO

Aplicaciones

1º Situar el punto P(3.8) en la recta r dada por los puntos A´(6) y B´(-2). 2º Determinar el valor de i así como la verdadera magnitud de α en la recta anterior.

A'(6) 5 4 3.8^3

8 cm

r' (^) P'(3.8)

A o

r o

2 1 0 -1 B'(-2)

R'(5) Bo

α

Fig.

Para que un punto pertenezca a una recta su proyección debe de hallarse sobre la proyección de la recta y su cota debe de coincidir con la del punto de la recta sobre el que se proyecta.

Como muestra la fig.6 el punto P de cota 3.8 cm. pertenece a la recta pues su proyección está sobre ella y su cota coincide con la del punto de la recta. Así mismo el punto R´(5) no pertenece a la misma ya que, aunque su proyección coincida con la de la recta, su cota no es la misma que la del punto de élla.

El ángulo α que la recta r forma, con el plano del cuadro se determina gráficamente, y como se observa en la figura basta con abatirla para obtener dicho ángulo en verdadera magnitud.

Para hallar el intervalo i de la recta anterior se tendrá en cuenta que: p = tg α=1 / i

y como además se sabe que tg α = sen α/cos α

sólo falta determinar, de forma gráfica, los valores del seno y coseno del ángulo α.

PUNTO, RECTA Y PLANO

Tomando los puntos A, B y C de cotas 1, 2 y 3 respectivamente, y trazando por ellos paralelas a α 0 se obtendrán rectas horizontales, quedando definido así el plano.

B'(2)

α

(^0) A'(1)

o

Plano del cuadro

C'(3)

α l.m.p.

Fig.

Proyectando todo esto sobre el cuadro, se obtiene la l.m.p. graduada perpendicular a la traza α 0 , y con las paralelas a dicha traza por los puntos A´, B´ y C´.

En lo sucesivo será así como ha de representarse el plano. En la fig.9 se muestra como se representará un plano α de forma completa.

o

αo

Fo

Eo

D

A

Co

Bo

α

o

1

0

2

3

4

5

6

h(0)=ch

h(1)

h(2)

h(5)

h(4)

h(3)

h(6) 5 cm

3 cm

Fig.

Para determinar el ángulo que forma un plano oblicuo con el de proyección, basta abatir su l.m.p., para ello se tomará sobre la horizontal de cota n, n unidades obteniendo el punto F 0. Uniendo ahora el punto A 0 con el F 0 se obtendrá la l.m.p. abatida. El ángulo α que forman la l.m.p. y su abatida, será el mismo que forme el plano α con el plano del cuadro.

Un plano queda también definido por las proyecciones de dos de sus horizontales debidamente acotadas pues la l.m.p. será perpendicular a ellas.

SISTEMA DE PLANOS ACOTADOS

Así mismo un plano perpendicular al de proyección se representa por una recta, que será su traza. A estos planos se les llama planos de perfil o planos proyectantes.

Aplicaciones

1º Situar un punto sobre un plano

Un punto se encuentra en un plano cuando pertenece a una recta cualquiera del mismo. En la fig. 10 se puede observar que los puntos A´(2), C´(5.8) y D´(5) están en el plano α por pertenecer a las horizontales de cota 2, 5.8 y 5 respectivamente. Sin embargo el punto B´(4) no está en el plano, pues su cota 4 no coincide con la cota 5 de la horizontal sobre la que se proyecta.

B'(4)

0

1 A'(2)

αo

5 C'(5.8)

2

3

4

6

α

D'(5)

Fig.

2º Hacer pasar un plano de pendiente conocida por una recta conocida

Se desean hallar los planos que teniendo una pendiente igual a 2/3 pasen por una recta r dada. Para ello debe tomarse un punto cualquiera de la recta, punto de cota 4. Con centro en este punto, se traza una circunferencia de radio 1.5 cm. igual al intervalo del plano, recordando que p=1/i. Por el punto de cota 3 se trazan sendas tangentes a dicha circunferencia. Estas rectas serán las horizontales de cota 3 de ambos planos.

Trazando, posteriormente, paralelas a dichas rectas, se obtienen las demás horizontales de los planos buscados. Sólo resta, ahora, trazar la l.m.p. de cada plano que será, como ya sabemos, perpendicular a las horizontales del plano.