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Lección
Econometría
Modelo de regresión normal clásico
© Citar como: Zamora, MM y Estavillo, J (2001): "Modelo de regresión normal clásico", [en línea] 5campus.org, Econometría [y añadir fecha consulta]
I. OBJETIVO
El objetivo de este capítulo es introducir al estudiante en el análisis cuantitativo de las relaciones que vinculan las variables económicas entre sí según una estructura lineal.
A partir de las relaciones cualitativas estudiadas por la Teoría Económica y formulando en términos estadísticos dichas relaciones, se desarrollan los modelos econométricos, que en su forma más sencilla se analizan en este capítulo.
II. ESTRUCTURA
En este capítulo se desarrolla un modelo econométrico uniecuacional y se estructura en los siguientes epígrafes:
.1 Especificación del modelo
.2 Estimación de los parámetros del modelo
.3 Análisis del modelo
3..1 Descomposición de la Suma de Cuadrados
3..2 Medida de la Bondad de Ajuste
3..3 Inferencia acerca de los parámetros
.4 Predicción
ESPECIFICACIÓN DEL MODELO
El modelo de regresión lineal normal clásico (MRLNC), que se va a estudiar, considera que la relación entre la variable dependiente (Y) y las independientes (X 1 ,X 2 , ... , Xk ) se puede formular matricialmente a partir de la siguiente expresión lineal:
donde:
que desarrollando se formularía:
i=1,2,..., n
si se considera que en el modelo existe término independiente, la matriz X se puede expresar como:
y el modelo quedaría: i=1,2,..., n
Esta relación funcional se conoce como hipótesis de linealidad. Además se establecen, en relación con el modelo, otro conjunto de hipótesis referidas a la variable de perturbación y a la matriz de regresores:
Hipótesis
4. X matriz de regresores no estocástica
6. F 07 E
En el modelo estudiado en este capítulo se supone que se verifican las 6 hipótesis anteriores, por lo que siempre se trabajará bajo el supuesto de un modelo de regresión lineal, normal, clásico.
2. ESTIMACIÓN DE LOS PARÁMETROS DEL MODELO
En el modelo de regresión especificado existe un conjunto de parámetros desconocidos ( F 0 6 2j y ). Por ello, en primer lugar, se tratará de su estimación.
Existen diversos métodos para estimar los parámetros del modelo, muchos de los cuales se basan en los residuos o errores, que se definen como la diferencia entre el valor real de variable dependiente y el estimado por el modelo para dicha variable.
i=1,2,...,n
Si en el modelo existiera término independiente, estas matrices se simplificarían con
las siguientes expresiones
Estos estimadores MCO son estimadores lineales, insesgados y óptimos (ELIO) en el modelo de regresión lineal, normal, clásico.
El estimador de la varianza de la perturbación no se deduce del sistema de ecuaciones normales; se calcula a partir de la fórmula:
y se puede comprobar que es el estimador insesgado - - de la varianza de la perturbación.
3.2. COEFICIENTE DE DETERMINACIÓN
Una vez estimado el modelo es conveniente obtener una medida acerca de la bondad del ajuste realizado. Un estadístico que facilita esta medida es el coeficiente de determinación (R^2 ), que se define:
y en el caso particular de modelo con término independiente:
Este coeficiente permite, además, seleccionar entre modelos clásicos que tengan el mismo número de regresores, ya que la capacidad explicativa de un modelo es mayor cuanto más elevado sea el valor que tome este coeficiente.
Por otra parte el valor coeficiente de determinación crece con el número de regresores del modelo. Por ello, si los modelos que se comparan tienen distinto número de regresores, no puede establecerse comparación entre sus R^2. En este caso debe emplearse el coeficiente de determinación corregido , que depura el incremento que experimenta el coeficiente de determinación cuando el número de regresores es mayor.
3.3 INFERENCIA ACERCA DE LOS ESTIMADORES
El método de estimación expuesto permite obtener estimaciones puntuales de los parámetros del modelo. La inferencia permite completar esta estimación puntual, mediante la estimación por intervalos y los contrastes de hipótesis.
Los primeros posibilitan la obtención de un intervalo dentro del cual, con un determinado nivel de confianza, oscilará el verdadero valor de un parámetro.
- Intervalo de confianza para el parámetro F 0 6 2j
Su cálculo se realiza mediante:
donde es la desviación típica estimada para el coeficiente b (^) j que se obtiene de la matriz de varianzas y covarianzas de los estimadores expresada como: .
cuyos estimadores serán
obtenidos a partir de la expresión:
donde a i j identifica el elemento de la fila i, columna j, de la matriz (X’X) -
- Intervalo de confianza para la varianza de la perturbación:
donde F 0 6 1representa el nivel de significación del contraste y generalmente se utiliza un 5% de significación A través de los contrastes de hipótesis pueden extraerse consecuencias del modelo, averiguando si existe, o no, evidencia acerca de una serie de conjeturas que pueden plantearse sobre sus parámetros.
Los contrastes de hipótesis pueden clasificarse en distintas categorías según la naturaleza de la hipótesis planteada.
- Contraste individual sobre un parámetro
Formulación de la hipótesis:
Estadístico experimental Estadístico teórico
Regla de decisión: si Se rechaza la hipótesis nula
Contrastes para conjuntos de hipótesis lineales
Formulación de la hipótesis:
o alternativamente
Estadístico experimental
donde q representa el número de ecuaciones de la hipótesis nula
Estadístico teórico
Regla de decisión: si Se rechaza la hipótesis nula
- Contraste de significación global
Formulación de la hipótesis
Estadístico experimental
Estadístico teórico
Regla de decisión: si Se rechaza la hipótesis nula
Contraste de significación de un subconjunto paramétrico
Agrupando las variables explicativas en dos subconjuntos, el modelo se puede
especificar como:
Donde se consideran dos subconjuntos de coeficientes y de regresores:
br : coeficientes cuya significación no se somete a contraste
bS : coeficientes sometidos a contraste; coeficientes acerca de cuya significación se tiene duda Xr : submatriz de n filas y (k-s) columnas, que contiene los regresores de X cuya significación no se contrasta XS : matriz de regresores que contiene los regresores sobre los que sí se tiene duda acerca de si deben o no incluirse en el modelo
Formulación de la hipótesis: o alternativamente
Estadísticos experimentales:
donde s representa el número de ecuaciones de la hipótesis nula, es decir el número
de regresores cuya significación se somete a contraste
Estadístico teórico:
Regla de decisión: si Se rechaza la hipótesis nula
PREDICCIÓN EN EL MODELO DE REGRESIÓN
Una vez estimado y validado el modelo, una de sus aplicaciones más importantes consiste en poder realizar predicciones acerca del valor que tomaría la variable dependiente en el futuro o para una unidad extramuestral.
Esta predicción se puede realizar tanto para un valor individual como para un valor medio, o esperado, de la variable dependiente, siendo posible efectuar una predicción puntual o por intervalos. Su cálculo se realiza mediante las expresiones que figuran a continuación.
Predictor individual: valor estimado o de predicción para la observación f
- Intervalo de predicción para un valor individual
con
- Intervalos de predicción para un valor medio o esperado
ANEXO: MODELO DE REGRESIÓN EXPRESADO EN DESVIACIONES
CON RESPECTO A LA MEDIA.
Una especificación alternativa al modelo, suponiendo que existe término independiente, consiste en expresar las observaciones en desviaciones con respecto a la media. En este caso se aplicarían las siguientes fórmulas:
- Estimación de los parámetros del modelo:
matrices a utilizar:
donde j=1,2,..., k.
- Sumas de cuadrados:
- Contraste de hipótesis para la significación global
Hipótesis nula :
Estadístico experimental:
Estadístico teórico:
Predictor puntual:
Intervalo de predicción para un valor individual
Intervalo de predicción, para un valor medio o esperado
donde: y donde:
