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Hoja de Ejercicios 3
El modelo de regresi´on lineal m´ultiple
Nota: En aquellos ejercicios en los que se incluyen estimaciones y referencia al archivo de datos utilizado, el estudiante deber´ıa comprobar los resultados obtenidos en Gretl.
- Sea el modelo Y = β 0 + β 1 X 1 + β 2 X 2 + ε, donde E(ε|X 1 , X 2 ) = 0, y suponga que disponemos de una muestra de tama˜no n.
(a) Derive las condiciones de primer orden de los estimadores MCO β̂ 0 , β̂ 1 , β̂ 2 de los coefi- cientes β. (b) Muestre que
β̂ 0 = Y − β̂ 1 X 1 − β̂ 2 X 2
β̂ 1 =^1 D (s 22 s 1 y − s 12 s 2 y)
β̂ 2 =^1 D (s 11 s 2 y − s 12 s 1 y)
donde s 11 = (^) n^1
i x 2 1 i,^ s^12 =^ 1 n
i x^1 ix^2 i^ =^ s^21 ,^ s^1 y^ =^ 1 n
i x^1 iyi s 22 = (^) n^1
i x 2 2 i,^ s^2 y^ =^
1 n
i x^2 iyi D = s 11 s 22 − s^212. siendo yi = Yi − Y , x 1 i = X 1 i − X 1 , x 2 i = X 2 i − X 2. (c) ¿Qu´e ocurre cuando D = 0? Interprete el resultado. (d) Muestre que, cuando s 12 = 0, el estimador β̂ 1 coincide con el estimador ̂γ 1 en la regresi´on simple Ŷ = ̂γ 0 + ̂γ 1 X 1 , e interprete el resultado.
- ¿Cu´al de las siguientes situaciones, si alguna, incumplir´ıa los supuestos del modelo de re- gresi´on cl´asico?
(a) La variable X 2 es el rec´ıproco de la variable X 1. (b) La variable X 2 es el cuadrado de la variable X 1. (c) La variable X 1 es una variable artificial que toma el valor 1 para mujeres y 0 para hombres, y la variable X 2 es una variable artificial que toma el valor 1 para hombres, y 0 para mujeres.
- Aunque el vino es un bien de consumo, dadas las caracter´ısticas de los grandes vinos de reserva puede tener sentido considerarlos como una inversi´on. En particular, disponemos de datos de los precios de subasta de miles de vinos tintos de reserva de Burdeos de a˜nadas entre 1952 y 1980. Estos vinos se almacenan durante bastante tiempo antes de ser consumidos, lo que
incrementa su precio dado el coste de almacenaje, que supone un coste de oportunidad dada la posibilidad de inversiones alternativas. Nuestro fichero de datos BORDEAUX.GDT proporciona, para distintas a˜nadas, informaci´on sobre LP R (logaritmo neperiano del precio del vino), lluvinv (Cantidad de lluvia ca´ıda en el invierno anterior a la cosecha), tempmed (Temperatura media durante el per´ıodo de maduraci´on de la uva), lluvcos (Cantidad de lluvia ca´ıda durante el per´ıodo de maduraci´on de la uva), edad (N´umero de a˜nos transcurridos desde la cosecha).
(a) Estime la proyecci´on lineal de lpr sobre edad. Dados los resultados, ¿cu´al ser´ıa la tasa de rentabilidad anual derivada de conservar el vino? (b) Efect´ue la regresi´on m´ultiple de lpr sobre edad, lluvinv, lluvcos, tempmed. ¿C´omo cam- bia la estimaci´on de la tasa de rentabilidad de conservar el vino? ¿C´omo explica las diferencias? Explique qu´e (Pista: ¿Qu´e factores pueden afectar a la calidad del vino?).
- Sean Y = logaritmo de la cantidad real de dinero, X 1 = logaritmo del PIB real, X 2 = logaritmo del tipo de inter´es de las Letras del Tesoro. Considere las siguientes regresiones:
Ŷ = 2. 3296 +0. 5573 X 1 − 0. 2032 X 2 (0.2054) (0.0264) (0.0210)
R^2 = 0. 927 s = 0. 048 Y = 6. 63
Y^ ˜ = 2. 9967 +0. 4356 X 1
R^ ˜^2 = 0. 733 ˜s = 0. 091 Y = 6. 63
X̂ 2 = − 3. 2839 +0. 5988 X 1
Utilizando los resultados de estas regresiones, derive la pendiente de la “otra regresi´on corta”, es decir, de la regresi´on de Y sobre X 2. Pista: desarrolle la regla de la variable omitida con los papeles de X 1 y X 2 cambiados. La pendiente y el R^2 de la regresi´on auxiliar pueden utilizarse para determinar la pendiente de la otra regresi´on auxiliar.
- Dado el modelo Y = β 0 + β 1 X 1 + β 2 X 12 + ε, donde E ( ε| X 1 ) = 0, se ha obtenido la siguiente ecuaci´on por MCO:
Ŷ = 2.613 + 0. 30 X 1 − 0. 090 X 12 (0.429) (0.14) (0.037) n = 32, R^2 = 0. 1484
(a) Dados los resultados de la estimaci´on, ¿a partir de qu´e valor de X 1 el efecto causal de X 1 sobre Y comienza a ser negativo? Justifique la respuesta.
- El archivo RELOJES.GDT incluye datos de una subasta anual de relojes antiguos organizada por la compa˜n´ıa alemana Triberg Clock. Se ha considerado el siguiente modelo:
P = β 0 + β 1 A + β 2 C + β 3 A^2 + β 4 C^2 + β 5 (A × C) + ε, (R1)
donde P es el precio, en cientos de euros, de la subasta ganadora, A es la antig¨uedad del reloj (en a˜nos) y C es el n´umero de postores o pujadores. Adem´as, el t´ermino de error verifica, para cualquier edad y para cualquier n´umero de postores, E ( ε| A, C) = 0 y V ( ε| A, C) = σ^2. Supondremos que las correspondientes caracter´ısticas poblacionales de dichas variables coin- ciden con sus an´alogos muestrales, y que podemos aplicar resultados asint´oticos para hacer inferencia aproximada. Tenga en cuenta que para algunas preguntas puede ser necesario conocer dichas caracter´ısticas poblacionales, particularmente el rango de valores que toma cada una de las variables de inter´es.
(a) Calcule los estad´ısticos descriptivos de las variables P , A y C. (b) Estime el modelo (R1) por MCO. Proponga y calcule estimaciones consistentes de V (P ) y V ( P | A, C). (c) Dados los resultados de (R1), calcule el efecto ceteris paribus de la antig¨uedad sobre el precio del reloj. ¿Es dicho efecto constante? Justifique la respuesta. (d) Considere la siguiente afirmaci´on: “El precio no depende de la antig¨uedad ni del n´umero de postores”. Escriba la hip´otesis nula (H 0 ) y la hip´otesis alternativa (H 1 ) en t´erminos de los par´ametros del modelo (R1). Escriba el estad´ıstico de contraste e indique su distribuci´on aproximada bajo H 0. Si es posible, realice el contraste e indique cu´al es su conclusi´on. En caso de que falte informaci´on para realizar el contraste, indique qu´e necesitar´ıa. (e) Considere la siguiente especificaci´on:
P = δ 0 + δ 1 (4A + C) + δ 2 A^2 + δ 3 C^2 + δ 4 (A × C) + ε. (R2)
Estime (R2) por MCO. (f) Considere la hip´otesis nula H 0 : β 1 = 4β 2 frente a la alternativa H 1 : β 1 6 = 4β 2. Escriba el modelo restringido (bajo H 0 ), y relaci´onelo con el modelo (R2).
- Considere el modelo de regresi´on lineal
Yi = β 0 + β 1 X 1 i + β 2 X 2 i + β 3 X 3 i + β 4 X 4 i + β 5 X 5 i + εi.
Explique exactamente c´omo contrastar´ıa las siguientes hip´otesis:
(a) β 1 = 0. (b) β 1 = 0 y β 4 = β 5 (c) β 1 = 0, β 3 = 2, y β 4 = β 5.
- Para contrastar una ´unica restricci´on asociada a una relaci´on lineal entre par´ametros del mod- elo, siempre es posible reparametrizar el modelo no restringido, mediante una representaci´on equivalente, pero que permita contrastar la hip´otesis nula mediante un contraste de que un determinado coeficiente es igual a cero. Este ejercicio ilustra una posible reparametrizaci´on
para una restricci´on lineal que afecta a varios par´ametros del modelo no restringido. Considere el modelo de regresi´on m´ultiple
Y = β 0 + β 1 X 1 + β 2 X 2 + β 3 X 3 + ε, (1)
que verifica los supuestos 1 a 4. Se quiere contrastar la hip´otesis nula H 0 : β 1 − 3 β 2 = 1.
(a) Sean β̂ 1 y β̂ 2 los estimadores MCO respectivos de β 1 y β 2. Exprese V
β 1 − 3 β̂ 2
en t´erminos de V
β 1
, V
β 2
y C
β 1 , β̂ 2
(b) Escriba el estad´ıstico t para contrastar H 0 : β 1 − 3 β 2 = 1. (c) Definiendo θ = β 1 − 3 β 2 y su estimador correspondiente (basado en los estimadores MCO de β 1 y β 2 ), θ̂ = β̂ 1 − 3 β̂ 2 , escriba una especificaci´on equivalente a (1) en la que aparezcan β 0 , θ, β 2 y β 3 que permita obtener directamente a partir de una muestra de datos, ̂θ y su error est´andar. (d) Explique una estrategia, alternativa al apartado (b), de contrastar H 0 : β 1 − 3 β 2 = 1.
- Considere la siguiente especificaci´on para una funci´on de producci´on:
yi = β 0 + β 1 li + β 2 ki + εi (i = 1,... , n), (2)
donde y = logaritmo del output, l = logaritmo del factor trabajo, k = logaritmo del capital. Suponga adem´as que E ( εi| li, ki) = 0 para todo li, ki. Se quiere contrastar la hip´otesis de rendimientos constantes a escala, es decir, β 1 + β 2 = 1. Explique c´omo se har´ıa el contraste:
(a) Si se tienen las estimaciones MCO de la regresi´on (2) y de su correspondiente matriz de varianzas y covarianzas de los par´ametros estimados. (b) Si se tienen las estimaciones MCO de la regresi´on de (yi − ki) sobre una constante, (li − ki) y ki. (c) Si se tienen la suma de los cuadrados de los residuos de la estimaci´on MCO de (2) y de la estimaci´on MCO de la regresi´on de (yi − ki) sobre una constante y (li − ki).
