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Ejercicio 6 de Econometría
Con la siguiente información muestral: Año Yt X2t X3t 2001 100 10 3 2002 80 11 4 2003 70 13 6 2004 60 10 1 2005 130 8 3 2006 60 8 1 2007 120 9 6 2008 70 12 2 2009 80 12 4 2010 80 9 7 se desea estimar el modelo 𝑌𝑖 = ß 1 + ß 2 𝑋 2 +ß 3 𝑋 3 +𝑢i. Para ello suponga valores múltiplos de 10 comprendidos entre 50 y 150 para las observaciones que falten del regresando. Conteste a los siguientes apartados: a) Escriba las ecuaciones normales. Las ecuaciones normales vienen de realizar la derivada respecto de la suma de los residuos al cuadrado. Por ello, se dice que minimizamos los errores cuadráticos. Una vez minimizados, a través de derivar respecto de cada parámetro ß, obtenemos las ecuaciones normales igualando dichas derivadas a 0. Realizamos una derivada por cada ß que tengamos. En definitiva, esto es por cada regresor k. En nuestro caso tenemos 3 regresores por lo que k = 3 (el constante más dos que están relacionados con las variables exógenas o independientes). Nota: i = número de observaciones del modelo. Pasos
- Partimos de la fórmula que propone el modelo que se desea estimar: 𝑌𝑖 = ß 1 +ß 2 𝑋 2 +ß 3 𝑋 3 +𝑢𝑖
- A partir de aquí, sabemos que la parte determinista, la relacionada con las Xs, es decir, ß 1 + ß 2 𝑋 2 +ß 3 𝑋 3 es la parte determinista y es igual a 𝑌𝑖. De este modo tenemos que: 𝑌𝑖 = 𝑌𝑖 + 𝑢𝑖
- De este modo, podemos hallar la u y hacer las derivadas respecto de los parámetros ß para hallar las ecuaciones normales 𝑢𝑖 = 𝑌𝑖 − 𝑌𝑖 y en definitiva… 𝑢𝑖 = 𝑌𝑖 − ß 1 − ß 2 𝑋 2 −ß 3 𝑋 3 y si elevamos al cuadrado… Σ𝑢+𝑖 = Σ(𝑌𝑖 − ß 1 − ß 2 𝑋 2 −ß 3 𝑋 3 )+
- Ahora podemos proceder a obtener las ecuaciones normales con los pasos mencionados. a. Derivar: . 1234 û^0 .ß 4 = − 2 Σ(𝑌𝑖 − ß 1 − ß 2 𝑋 2 −ß 3 𝑋 3 ) . 1234 û^0 .ß 0 = − 2 Σ(𝑌𝑖 − ß 1 − ß 2 𝑋 2 −ß 3 𝑋 3 )𝑋+ . 1234 û^0 .ß 6 = − 2 Σ(𝑌𝑖 − ß 1 − ß 2 𝑋 2 −ß 3 𝑋 3 )𝑋 7 b. Igualar derivadas a 0 . 1234 û^0 .ß 4 = − 2 Σ(𝑌𝑖 − ß 1 − ß 2 𝑋 2 −ß 3 𝑋 3 ) = 0 𝑌𝑖 = (Σconstante)ß 1 + ß 2 Σ𝑋 2 +ß 3 Σ𝑋 3 𝑌𝑖 = 𝑛ß 1 + ß 2 Σ𝑋 2 +ß 3 Σ𝑋 3 . 1234 û^0 .ß 0 = − 2 Σ(𝑌𝑖 − ß 1 − ß 2 𝑋 2 −ß 3 𝑋 3 )𝑋+ = 0 Σ(𝑌𝑖𝑋+𝑖) = ß 1 Σ𝑋+ + ß 2 Σ𝑋+^ +^ + ß 3 Σ𝑋 7 𝑋 2 . 1234 û^0 .ß 6 = − 2 Σ(𝑌𝑖 − ß 1 − ß 2 𝑋 2 −ß 3 𝑋 3 )𝑋 7 = 0 Σ(𝑌𝑖𝑋 7 𝑖) = ß 1 Σ𝑋 7 + ß 2 Σ𝑋+𝑋 7 + ß 3 Σ𝑋 7 +
d) Interprete los estimadores. ß 1 : 136,704. Es el estimador constante. Este quiere decir que Y = 136 cuando las X, es decir las partes independientes no tienen efecto sobre la Y. En definitiva esto es lo que ocurre cuando las X son igual a 0 ß 2 : - 6,72122. Cuando la X aumenta en una unidad, disminuye Y en 6,72122 unidades ß 3 : 4,55458. Cuando X aumenta en una unidad, aumenta Y en 4,55458 unidades e) Obtenga los valores ajustados. Para obtener los valores ajustados, vamos a utilizar la tabla que tenemos en el enunciado para completarla con los datos que ya tenemos. Así pues, los datos que tenemos son lo siguientes. 𝑌 = 136 , 704 − 6 , 72122 𝑋+G + 4 , 55458 𝑋 7 G Año Yt X2t X3t Y ajustada^ 𝒀^ û𝒊 2001 100 10 3 83,15554 16, 2002 80 11 4 80,9889 - 0, 2003 70 13 6 76,65562 - 6, 2004 60 10 1 74,04638 - 14, 2005 130 8 3 96,59798 33, 2006 60 8 1 87,48882 - 27, 2007 120 9 6 103,5405 16, 2008 70 12 2 65,15852 4, 2009 80 12 4 74,26768 5, 2010 80 9 7 108,09508 - 28, Suma 850 102 37 850,00 0, Media 85 85, Nota:
- Para obtener la suma utilizamos la fórmula =suma()
- Para obtener la media utilizamos la fórmula =850/contar(2001-2010) o simplemente =850 (la celda del 850)/10 en el caso de la Yt y lo mismo con la Y ajustada, es decir, 𝑌
- Y ajustada, 𝑌, se obtiene sustituyendo en: 𝑌 = 136 , 704 − 6 , 72122 𝑋+G + 4 , 55458 𝑋 7 G
f) Obtenga los residuos. Obtenido en el apartado anterior en la última columna haciendo la fórmula en el paso 3 del apartado a. Lo recordamos: 𝑢𝑖 = 𝑌𝑖 − 𝑌𝑖 û𝒊 16,
- 0,
- 6,
- 14, 33,
- 27, 16, 4, 5,
- 28, Suma = 0, g) Verifique las propiedades descriptivas.
- La suma de los residuos mínimos cuadráticos es igual a 0. La hemos comprobado en el apartado anterior. Esto se demuestra por la primera ecuación normal si el modelo tiene término constante. Como en nuestro caso lo tiene, se cumple que: 𝑌 = 𝑌 𝑌 − 𝑌 = 0 Año û𝒊 Suma 0,
- El hiperplano de regresión pasa por el punto de medias: (𝑌𝑋+𝑋 7 𝑋L) (𝑌𝑋) Se demuestra dividiendo la primera ecuación normal entre n. Así pues, si la primera ecuación normal es: 𝑌𝑖 = 𝑛ß 1 + ß 2 Σ𝑋 2 +ß 3 Σ𝑋 3 Entonces si dividimos por n obtenemos que pasa por las medias de Y y de X:
Por tanto si volvemos a la tabla que hemos desarrollado a lo largo del ejercicio, podemos obtener una nueva columna para el sumatorio del denominador: 𝑌G − 𝑌 + R G Año Yt X2t X3t Y ajustada u uX2t uX3t uY* 𝒀𝒊 − 𝒀 𝟐 2001 100 10 3 83,15554 16,84446 168,4446 50,53338 1400,710167 225 2002 80 11 4 80,9889 - 0,9889 - 10,8779 - 3,9556 - 80,08992321 25 2003 70 13 6 76,65562 - 6,65562 - 86,52306 - 39,93372 - 510,190 6776 225 2004 60 10 1 74,04638 - 14,04638 - 140,4638 - 14,04638 - 1040,083591 625 2005 130 8 3 96,59798 33,40202 267,21616 100,20606 3226,56766 2025 2006 60 8 1 87,48882 - 27,48882 - 219,91056 - 27,48882 - 2404,964425 625 2007 120 9 6 103,5405 16,4595 148,1355 98,757 1704,22486 1225 2008 70 12 2 65,15852 4,84148 58,09776 9,68296 315,4636714 225 2009 80 12 4 74,26768 5,73232 68,78784 22,92928 425,7261074 25 2010 80 9 7 108,09508 - 28,09508 - 252,85572 - 196,66556 - 3036,93992 25 Suma 850 102 37 850,00 0,00 0,05 0,02 0,42 5250, Media 85 85,
u 2 283, 0, 44, 197, 1115, 755, 270, 23, 32, 789, Suma: 3514, 𝑅+^ = 1 − R GûG + R G 𝑌G − 𝑌 + 𝑅+^ = 1 −
𝑅+^ = 0,
Coincide con el que nosotros obtuvimos en Gretl
i) Obtenga el coeficiente de determinación ajustado. El coeficiente de determinación ajustado se denomina 𝑅+ 𝑅+^ = 1 − R G ûG + (𝑛 − 𝑘) R G 𝑌G − 𝑌 + (𝑛 − 1 ) 𝑅+^ = 1 − 1 − 𝑅+^ ∗
𝑅+^ = 1 −
𝑅+^ = 0,
donde n = número de observaciones y k = número de regresores. Como el coeficiente de determinación ajustado que hemos calculado coincide con aquel que aparece en la tabla obtenida en Gretl, sabemos que lo hemos calculado bien. j) Estime la varianza de las perturbaciones. 𝐸 ûG^ +^ = 𝜎+ Estimamos la varianza de las perturbaciones porque es necesario para realizar inferencia y construir intervalos de confianza para ß𝑘 y así, obtener una estimación de la varianza de ß𝑘. Se estima la varianza de las perturbaciones se obtiene de la siguiente forma: 𝜎+^ = (^1134) û 20 RYL
7Z[,[] [^Y 7
Se puede comprobar que está bien calculado fijándonos en la desviación típica de la regresión, puesto que si la elevamos al cuadrado, nos dará el número que hemos calculado. Lo mismo podemos hacer al revés, es decir, hacer la raíz cuadrada de 𝜎+^ = 502 , 027153. ��������� ����� ���� ���� ���������� ����� ���������� ����� ������ � �� � ������ �� ���� ������ ��� ������������� ��������� �� � ��� �������� ������������ � ����������� ����� ������ ����������� � ����� � ��������������������������������������������������������������� ����� ������� ������� ����� ������ �� �� �������� ������� ������ ������ �� ������� ������� ����� ������ ����� �� �� ����� ���� �������� ���� �� �� ����� ���� �������� ���� �� ����� �������� �������� ���� �� �� ��������� �������� ���������� �������� ���������� ��������� �������� ���� �� �������� ����� � ��� �� �������� ����������������� ��������� �������� �� ������ �������� �������� �� ������� �������� ����� �� ������������ �������� ��� ��������� ������������� ��������
