¡Descarga Problemas de Econometría: Estimación de un Modelo de Regresión Lineal Simple - Prof. Juan y más Apuntes en PDF de Administración de Empresas solo en Docsity!
Tema 1. Elementos Introductorios del Modelado Econométrico
Tercer Problema
Sea el modelo de regresión Yt= 0 + 1 X1t+ (^) t, donde Yt representa el ahorro y Xt la renta familiar. A partir de los resultados intermedios proporcionados por una muestra de 30 familias:
- 245 t
(Yt Y)(Xt X) 499. 357 , 5 t
Y)^2
(Yt 2. 299. 336 , 67 t
X)^2
(Xt
Y 173 , 5 X^1.^177 ,^67
Se pide:
a) Estime el modelo por MCO razonando e interpretando los resultados obtenidos. Realice una valoración crítica del modelo. b) Estime la varianza de las perturbaciones. ¿Qué implicaciones tendría sobre la estimación del modelo la obtención de una estimación de dicha varianza considerablemente elevada? c) Calcule e interprete el coeficiente de determinación. d) Realice los contrastes de significación individual de los parámetros del modelo al 95% de confianza. e) Construya un intervalo de confianza para cada parámetro con un nivel de significación del 5%.
Solución:
A) En este caso, se nos pide que estimemos un modelo de regresión lineal simple en el que la variable endógena es el ahorro y la exógena o explicativa la renta familiar. Con la información suministrada podemos incluso plantear las fórmulas ya conocidas para estimar por MCO los parámetros del modelo Yt 0 1 Xt t
Que podemos plantear de la siguiente forma:
Sx
Sxy 1
ˆ 0 Y ˆ 1 X
Comenzaremos estimando el parámetro β 1. Para proceder con ello tendremos que calcular la Covarianza entre las dos variables X e Y y, en segundo lugar, la varianza de X. Sabemos que una expresión apropiada para el cálculo de la covarianza es:
i 1
(Xi X)(Yi Y) Sxy
Mientras que para la obtención de la varianza de X haremos
i 1
X)^2
(Xi 2 Sx
Con lo que ya estamos en disposición de estimar la pendiente de la recta:
0 , 4337
- 644 , 5557
Sx
Sxy ˆ 1
Con el valor ya obtenido para la estimación de la pendiente de la recta, ya podemos estimar la ordenada en el origen:
ˆ 0 Y ˆ 1 X 173 , 5 0 , 43371. 177 , 67 337 , 26
Con lo que el modelo finalmente estimado sería:
Yˆi 337 , 26 0 , 4337 Xi
Dado que el modelo que hemos estimado relaciona el ahorro en función de la renta, la interpretación del parámetro asociado a la variable Renta Familiar (X) es sencilla, pues mide el incremento en el ahorro ante un incremento unitario en la renta. Por tanto, el modelo predice que las familias analizadas destinan 0,4337 unidades monetarias al ahorro de cada unidad monetaria que experimentan de incremento de renta. Supondremos que el resto se destina, por tanto, al consumo y a la inversión. Interpretación un tanto más compleja requiere el término constante, ya que desde un punto de vista estrictamente analítico mide el ahorro experimentado por una familia con nivel de renta mínimo. Evidentemente, el modelo predice un nivel de ahorro negativo cuando el nivel de renta es cero, indicando que existe un nivel mínimo de renta que garantiza una capacidad de ahorro nula, por debajo del cual las familias deberían endeudarse para poder garantizar un nivel mínimo o de subsistencia.
Evidentemente, resulta complicado realizar una valoración crítica del modelo, toda vez que aún no hemos analizado la capacidad explicativa del modelo ni hemos contrastado la significación del modelo. No obstante, sí debemos tomar con cautela los resultados obtenidos, ya que aunque las estimaciones obtenidas no son poco realistas, el tamaño de la muestra es bastante pequeño, aun suponiendo que se ha obtenido garantizando la aleatoriedad en el proceso de selección.
B) Procedamos a continuación a estimar la varianza de la perturbación aleatoria. Una de las expresiones sobre las que más hemos hecho hincapié es la referente al análisis de la varianza, realizando una descomposición de la variabilidad total de la variable Y respecto a la explicada por el modelo y la que queda alojada en la de los residuos. n
i 1
ei
n ) 2
i 1
)^2 (Yˆi Y
n
i 1
(Yi Y
Donde el segundo sumando de la derecha no es otra cosa que la suma de los cuadrados de los residuos o errores. El término de la izquierda es la Suma de Cuadrados Totales (SCT), cuyo valor ya conocemos pues es un dato del ejercicio. El primer término de la derecha es la Suma de Cuadrados debida a la Regresión (SCR), cuyo valor no disponemos pero que podemos calcular con relativa facilidad, pues sabemos que
)^2432. 514 , 9957
n
i 1
ˆ 1 X ˆ 1 Xi Y)^2 ˆ^21 (Xi X n
i 1
)^2 (Y
n
i 1
)^2 (^ ˆ 0 ˆ 1 Xi Y
n
i 1
(Yˆi Y
Por tanto, y una vez calculada SCR, podemos obtener la Suma de los Cuadrados de los Errores (SCE) como: SCE SCT SCE 499. 357 , 5 432. 514 , 9957 66. 842 , 50 Valor que necesitamos para estimar la varianza de las perturbaciones aleatorias, utilizando la fórmula del estimador insesgado
- 387 , 23 30 2
N k 1
ˆ^2 SCE
Como ya sabemos, la obtención de un valor estimado para la varianza de las perturbaciones elevado afectará a la significación de los parámetros, ya que incrementaría la varianza de los estimadores de los parámetros del modelo e incrementando la amplitud de los intervalos de confianza. Por supuesto, una SCE muy grande al compararla con SCT afectará negativamente a la capacidad explicativa del modelo.
C) En tercer lugar, se nos pide que evaluemos la capacidad explicativa del modelo mediante la obtención del coeficiente de determinación R^2. La fórmula que utilizaremos es
SCT
SCE
R^21
Con lo que podemos concluir que nuestro modelo consigue explicar el 86,61% de las variaciones de la renta. El 13,39% restante es explicado por los residuos, es decir, por el efecto conjunto de todas las
LÍMITE INFERIOR LÍMITE SUPERIOR
b0 - 417,1155118 - 257, b1 0,36770707 0,
Como ya sabrá el alumno, la interpretación que debemos dar a dichos intervalos es sencilla: con una probabilidad del 95%, el verdadero aunque desconocido valor del parámetro βo se encuentra comprendido entre -417,11 y -257,41, procediendo de forma análoga con el resto de parámetros.
