Heterocedasticidad en Econometría I, Monografías, Ensayos de Econometría

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ECONOMETR´IA I

Tema 6: Heterocedasticidad

Patricia Moreno Juan Manuel Rodriguez Poo Alexandra Soberon Departamento de Econom´ıa

Heterocedasticidad

El supuesto de homocedasticidad implica que, condicionando en las variables explicativas, la varianza del t´ermino de error no ob- servado es constante. Sin embargo, en diversos an´alisis econ´omicos este supuesto no es cierto y es necesario relajarlo. Por ejemplo, cuando estimamos la relaci´on entre la educaci´on y la habilidad (no observable) suponer que la habilidad es constante para cualquier nivel educativo es demasiado estricto. Heterocedasticidad : la varianza del error es diferente para cada valor de x. Los errores son heteroced´asticos.

Heterocedasticidad: consecuencias

Los estimadores MCO siguen siguendo insesgados y consistentes. Bajo heterocedasticidad, los errores est´andar de los estimadores est´an sesgados. Problema : en presencia de heterocedasticidad los estad´ısticos ha- bituales empleados en las pruebas de hip´otesis bajo los supuestos de Gauss-Markov ya no son v´alidos. Como Var ( u | X ) ya no es constante, el estimador MCO ya no es MELI y el estimador MCO ya no es asint´oticamente eficiente. En presencia de heterocedasticidad es posible hallar estimadores que sean m´as eficientes que el estimador MCO, aunque es necesario conocer la forma de la heterocedasticidad.

Varianza del estimador MCO con heterocedasticidad

Para un modelo de regresi´on simple en el que se cumplen RLM.1 - RLM.4 , el estimador MCO es

β ̂ 1 = β 1 +

∑ n ∑ i =1( Xi^ −^ X^ ) ui n i =1( Xi^ −^ X^ )^2

Asumiendo Var ( ui | Xi ) = σ i^2 , la varianza del estimador es

Var ( β ̂ j ) =

∑ n ∑ i =1( Xi^ −^ X^ )^2 σ^ i^2 ni =1( Xi − X ) 2 =

∑ n i =1( Xi^ −^ X^ )^2 σ^2 i SST (^) x^2

Varianza de los estimadores MCO

Dados los supuestos de Gauss-Markov obtenemos

Var ( β ̂ j ) = σ

2 SSTj (1 − R j^2 )

donde SSTj = ∑ n i =1( Xij^ −^ X^ j^ )^2. R j^2 es el R^2 resultante de regresar Xj sobre el resto de explicativas.

Varianza de los estimadores MCO

PRUEBA:

Y = Xj βj + Xs βs + u, β ̂ j = ( X (^) j ′ Ms Xj )−^1 X (^) j ′ Ms Y.

Var ( β ̂ j ) = σ^2 u ( X (^) j ′ Ms Xj )−^1

Var ( β ̂ j ) = σ^2 u ( X (^) j ′ Ms Xj )−^1 = σ^2 u ∑ n i =1( Xij^ −^ X^ j^ )^2 (1^ −^ R j^2 ) = Var ( β ̂ j ) 1 1 − R j^2

Errores est´andar robustos

¿Por qu´e calculamos los errores est´andar habituales? Bajo homocedasticidad, los errores se distribuyen normalmente y los estad´ısticos t tienen distribuciones t exactas, sin importar el tama˜no muestral. Los errores est´andar robustos y los estad´ısticos t robustos s´olo se justifican si el tama˜no de la muestra es grande. Con tama˜no muestral peque˜no el t robusto puede tener distribu- ciones alejadas de la distribuci´on t invalidando la inferencia.

LM robusto a heterocedasticidad

Y = β 0 + β 1 X 1 + β 2 X 2 + β 3 X 3 + β 4 X 4 + u

Hip´otesis nula: H 0 : β 3 = 0 , β 4 = 0. LM es aproximadamente χ^2 q. Obtenemos los residuos del modelo restringido (˜ u ). Regresamos cada una de las variables independientes excluidas ba- jo la H 0 sobre todas las variables incluidas ( q regresiones distintas). Guardamos los residuos ˜ r 1 , ˜ r 2 , · · · , ˜ rq. Regresamos variable unitaria sobre ˜ r 1 ˜ u, ˜ r 2 ˜ u, · · · , ˜ rq u ˜ sin intercepto. Estad´ıstico LM : LM = n − SSR 1 , donde SSR 1 es la suma de cuadrados de los residuos de la ´ultima regresi´on.

Test de Breusch-Pagan

Si asumimos que existe una relaci´on entre u^2 y Xj que puede ser lineal, es posible contrastar una restricci´on del tipo

u^2 = δ 0 + δ 1 X 1 + · · · + δk Xk + v.

Contraste : H 0 : δ 1 = δ 2 = · · · = δk = 0. Problema: el t´ermino de error no es observable, pero podemos utilizar los residuos MCO para esta regresi´on. Despu´es de regresar ̂ u^2 sobre todas las X podemos usar el R^2 para contruir el estad´ıstico. El estad´ıstico F es igual que el estad´ıstico que contrasta la signifi- cativadad global de la regresi´on, F = R (^2) /k (1− R^2 ) / ( n − k −1) ∼^ Fk,n − k −^1. El estad´ıstico LM es LM = nR^2 ∼ χ^2 k.

Test de White

Problema: el test de Breusch-Pagan s´olo detecta formas lineales de heterocedasticidad. Para resolverlo, el test de White permite contrastar no linealidades utilizando los cuadrados y los productos cruzados de todos los regresores. Si k = 3,

u ̂^2 = δ 0 + δ 1 X 1 + δ 2 X 2 + δ 3 X 3 + δ 4 X (^) 12 + δ 5 X (^) 22 + δ 6 X (^) 32

• δ 7 X 1 X 2 + δ 8 X 1 X 3 + δ 9 X 2 X 3 + v

Contraste : H 0 : δ 1 = δ 2 = · · · = δ 9 = 0. El estad´ıstico F y el LM nos permiten contrastar si todas las Xj , X (^) j^2 y Xj Xh son conjuntamente significativas.

M´ınimos Cuadrados Ponderados

En presencia de heterocedasticidad, MCO ya no es el mejor esti- mador lineal insesgado. Si se conoce la forma de la heterocedasticidad puede usarse la esti- maci´on por M´ınimos Cuadrados Ponderados (MCP) para obtener estimadores m´as eficientes que los de MCO. Los estimadores MCP nos conducen a nuevos estad´ısticos t y F que tienen distribuciones t y F , respectivamente. La idea b´asica del procedimiento de M´ınimos Cuadrados Pondera- dos se basa en transformar el modelo cierto para que el t´ermino de error sea homoced´astico.

MCP: heterocedasticidad conocida salvo una cte

Siendo el modelo a estimar

Yi = β 0 + β 1 X 1 i + β 2 X 2 i + · · · + βk Xki + ui.

Suponemos que la varianza se puede modelizar como

Var ( u | X ) = σ^2 h ( X ) ,

donde h ( X ) = hi determina la heterocedasticidad.

M´ınimos Cuadrados Generalizados

Estimar el modelo transformado por MCO es un ejemplo del m´eto- do de M´ınimos Cuadrados Generalizados (GLS). Dado que la ecuaci´on transformada satisface los supuestos del mo- delo lineal cl´asico, RLM.1-RLM.6, a excepci´on del supuesto de homocedasticidad el estimador GLS es MELI. El procedimiento GLS es un m´etodo de MCP donde cada residuo al cuadrado es ponderado por la inversa de Var ( ui | Xi ), i.e. ∑^ n i =

( Yi − β 0 − β 1 X 1 i − · · · − βk Xki )^2 /hi.

M´ınimos Cuadrados Generalizados Factibles

GLS es muy ´util cuando conocemos la forma de Var ( ui | Xi ). Sin embargo, en los estudios emp´ıricos esto no es muy habitual. Para resolver esta situaci´on se desarrolla un procedimiento basa- do en la estimaci´on de h ( Xi ) conocido como M´ınimos Cuadrados Generalizados Factibles (FGLS). Partimos del supuesto de que la heterocedasticidad se puede mo- delizar como

Var ( u | X ) = σ^2 exp( δ 1 + δ 2 X 2 + δ 3 X 3 + · · · + δk Xk )

donde los par´ametros δ deben ser estimados