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ECONOMETRÍA – 2º GADE
Prof.: Begoña Álvarez García (despacho 337)
Práctica 6: Heterocedasticidad
En el fichero alim.shd tenemos una muestra de 100 hogares españoles para los cuales observamos las
siguientes variables: galim , gasto semestral en alimentación (euros); renta , renta semestral del hogar
(euros); estudios , nivel de estudios del cabeza de familia (toma valores de 1 a 8); nhijos, número de
hijos (toma valores de 1 a 3).
1. Estima el siguiente modelo por MCO y guarda los residuos y los valores predichos. Crea una nueva
variable que contenga los residuos al cuadrado.
galimi = β 0 + β 1 renta (^) i + β 2 estudios (^) i + β 3 nhijos (^) i + εi t=1,…, 100
ols galim renta estudios nhijos / resid=e predict=ye
genr resid2=resid**
REQUIRED MEMORY IS PAR 10
CURRENT PAR 22480
OLS ESTIMATION
100 OBSERVATIONS DEPENDENT VARIABLE GALIM
...NOTE..SAMPLE RANGE SET TO: 1, 100
R-SQUARE 0.
R-SQUARE ADJUSTED 0.
VARIANCE OF THE ESTIMATE-SIGMA**2 0.41971E+
STANDARD ERROR OF THE ESTIMATE-SIGMA 647.
SUM OF SQUARED ERRORS-SSE 0.40292E+
MEAN OF DEPENDENT VARIABLE 1639.
LOG OF THE LIKELIHOOD FUNCTION -787.
MODEL SELECTION TESTS - SEE JUDGE ET AL. (1985,P.242)
AKAIKE (1969) FINAL PREDICTION ERROR - FPE 0.43649E+
(FPE IS ALSO KNOWN AS AMEMIYA PREDICTION CRITERION - PC)
AKAIKE (1973) INFORMATION CRITERION - LOG AIC 12.
SCHWARZ (1978) CRITERION - LOG SC 13.
MODEL SELECTION TESTS - SEE RAMANATHAN (1998,P.165)
CRAVEN-WAHBA (1979)
GENERALIZED CROSS VALIDATION - GCV 0.43719E+
HANNAN AND QUINN (1979) CRITERION 0.45528E+
RICE (1984) CRITERION 0.43795E+
SHIBATA (1981) CRITERION 0.43515E+
SCHWARZ (1978) CRITERION - SC 0.48441E+
AKAIKE (1974) INFORMATION CRITERION - AIC 0.43648E+
ANALYSIS OF VARIANCE - FROM MEAN
SS DF MS F
REGRESSION 0.24505E+08 3. 0.81682E+07 19.
ERROR 0.40292E+08 96. 0.41971E+06 P-VALUE
TOTAL 0.64797E+08 99. 0.65451E+06 0.
ANALYSIS OF VARIANCE - FROM ZERO
SS DF MS F
REGRESSION 0.29332E+09 4. 0.73330E+08 174.
ERROR 0.40292E+08 96. 0.41971E+06 P-VALUE
ANALYSIS OF VARIANCE - FROM ZERO
SS DF MS F
TOTAL 0.33361E+09 100. 0.33361E+07 0.
Variable Name
Estimated Coefficient
Standard Error T-Ratio
p- Value ( 96 DF)
Partial Correlation
Standardised Coefficient
Elasticity at Means
RENTA 0.12984 0.1887E-01 6.881 0.000 0.575 0.5828 0.
ESTUDIOS -2.7384 56.14 -0.4878E-01 0.961 -0.005 -0.0041 -0.
NHIJOS 197.25 93.27 2.115 0.037 0.211 0.1711 0.
CONSTANT 568.07 247.3 2.297 0.024 0.228 0.0000 0.
2. A continuación, vamos a hacer la diagnosis gráfica del modelo para tratar de detectar evidencias sobre
la existencia de heterocedasticidad. Para ello, haz los siguientes gráficos:
- Gráfico de los residuos frente a los valores predichos
- Gráfico de residuos al cuadrado frente a los valores predichos
- Gráfico de residuos al cuadrado frente a la renta.
Estadístico de contraste que calcula SHAZAM:
1 (^02) 2 2
/ n
bajoH sedistribuyeFn
SCE n
SCE n
F =
Donde n 1 es el número de observaciones de la primera submuestra y n 2 las observaciones de la segunda
submuestra. En este caso, como hemos dividido la muestra original en dos partes iguales y le hemos
quitado las 20 observaciones del medio (repartidas entre ambas submuestras), n 1 =n 2 =36.
El valor empírico del estadístico es F*=0.1866 y el p-valor=0.000, por tanto rechazamos la hipótesis de
homocedasticidad y, por tanto, tenemos evidencia de que existe heterocedasticidad que depende de la
renta.
*NOTA: Aunque el estadístico de contraste G-Q que habéis visto en clase tiene la expresión anterior, si
consultáis manuales de econometría veréis lo siguiente. Cuando hay sospecha de que la varianza de las
perturbaciones crece con los valores de una variable x, la expresión del estadístico que se utiliza es
2 (^01) 1 1
/ n
bajoH sedistribuyeFn
SCE n
SCE n
F =
De modo que, si existe heterocedasticidad creciente con los valores de x, el valor empírico del estadístico
de contraste será muy grande (porque la suma de cuadrados de los residuos de la segunda submuestra
será mayor que el correspondiente a la primera submuestra), lo cual nos conduce al rechazo de H0. Este
sería el caso del ejercicio. De hecho, cuando SHAZAM calcula el p-valor del contraste, utiliza esta
expresión del estadístico.
Cuando se sospecha que la heterocedasticidad decrece con los valores de la x, se utiliza
1 (^02) 2 2
/ n
bajoH sedistribuyeFn
SCE n
SCE n
F =
De modo que, si existe heterocedasticidad decreciente con los valores de x, el valor empírico del
estadístico de contraste será muy grande, lo cual nos conduce al rechazo de H0.
Es decir, el estadístico G-Q siempre se calcula para que, si hay heterocedasticidad, el estadístico de
contraste me dé valores grandes.
b) ¿Existe un modelo de heterocedasticidad multiplicativo en las variables explicativas? Escribe la
hipótesis nula, la alternativa y el estadístico de contrastes.
H0: σt
2
2
para todo t
H1: σt
2
=exp(α 0 + α 1 x1t + α 1 x2t +…+ α 1 xkt)
Por tanto, la regresión auxiliar que se utiliza para calcular el estadístico de contraste será la siguiente:
log(e t
2
) = α 0 + α 1 x1t + α 1 x2t +…+ α 1 xkt + νt
log(e t
2
) = α 0 + α 1 renta t + α 1 estudios t +…+ α 1 nhijos t + νt
donde e t
2
sustituye a σt
2
(que es inobservable). Además, hemos linealizado el modelo tomando
logaritmos en ambos miembros de la expresión, para que podamos estimarlo por OLS y hemos añadido
un término de error νt que es ruido blanco. De esta regresión, sólo nos interesa el R
2
El estadístico de contraste será
nR
2 ,
que, bajo H0, se distribuye χp
2
, siendo p el número de variables explicativas de la regresión auxiliar
(=3 en este ejercicio)
diagnos / het
diagnos / het REQUIRED MEMORY IS PAR= 26 CURRENT PAR= 22480 DEPENDENT VARIABLE = GALIM 100 OBSERVATIONS REGRESSION COEFFICIENTS 0.129839855238 -2.73837791468 197.253527571 568. HETEROSKEDASTICITY TESTS CHI-SQUARE D.F. P-VALUE TEST STATISTIC LOG(E**2) ON X (HARVEY) TEST: 12.117 3 0.
El valor empírico del estadístico es 12.11, y el p-valor=0.00699, por tanto rechazo H0, es decir, rechazo
homocedasticidad frente a la alternativa de un modelo de heterocedasticidad multiplicativo en las
variables explicativas.
4. ¿Qué consecuencias tiene la heterocedasticidad sobre los estimadores MCO?
Ver apuntes de clase.
5. Volver a estimar el modelo teniendo en cuenta la existencia de heterocedasticidad. Al igual que en el
caso de autocorrelación, podemos seguir dos estrategias:
a) Estimar por OLS corrigiendo las varianzas de los estimadores de modo que podamos hacer
contrastes válidos asintóticamente, es decir, en muestras grandes.
ols galim renta estudios nhijos / hetcov
ols galim renta estudios nhijos / hetcov
REQUIRED MEMORY IS PAR 12
CURRENT PAR 22480
OLS ESTIMATION
100 OBSERVATIONS DEPENDENT VARIABLE GALIM
...NOTE..SAMPLE RANGE SET TO: 1, 100
USING HETEROSKEDASTICITY-CONSISTENT COVARIANCE MATRIX
R-SQUARE 0.
R-SQUARE ADJUSTED 0.
VARIANCE OF THE ESTIMATE-SIGMA**2 0.41971E+
STANDARD ERROR OF THE ESTIMATE-SIGMA 647.
SUM OF SQUARED ERRORS-SSE 0.40292E+
MEAN OF DEPENDENT VARIABLE 1639.
LOG OF THE LIKELIHOOD FUNCTION -787.
MODEL SELECTION TESTS - SEE JUDGE ET AL. (1985,P.242)
AKAIKE (1969) FINAL PREDICTION ERROR - FPE 0.43649E+
(FPE IS ALSO KNOWN AS AMEMIYA PREDICTION CRITERION - PC)
AKAIKE (1973) INFORMATION CRITERION - LOG AIC 12.
SCHWARZ (1978) CRITERION - LOG SC 13.
MODEL SELECTION TESTS - SEE RAMANATHAN (1998,P.165)
CRAVEN-WAHBA (1979)
LOG-LIKELIHOOD FUNCTION= -770.
COEFFICIENTS
0.1913789 -11.48442 145.2864 447.3563 0.2756786E-
GRADIENT
-0.1325896 -0.6320149E-04 -0.3227488E-04 -0.2001147E-04 -20.
-0.1364758E-01 -0.6784720E-02 -0.3590335E-
SQUARED CORR. COEF. BETWEEN OBSERVED AND PREDICTED 0.
ASY. COVARIANCE MATRIX OF PARAMETER ESTIMATES IS ESTIMATED USING
THE INFORMATION MATRIX
LOG OF THE LIKELIHOOD FUNCTION = -770.
ASYMPTOTIC
VARIABLE ESTIMATED STANDARD T-RATIO PARTIAL STANDARDIZED ELASTICITY
NAME COEFFICIENT ERROR -------- P-VALUE CORR. COEFFICIENT AT MEANS
MEAN EQUATION:
RENTA 0.19138 0.2697E-01 7.095 0.000 0.595 0.8591 0.
ESTUDIOS -11.484 39.30 -0.2922 0.770-0.030 -0.0174 -0.
NHIJOS 145.29 67.54 2.151 0.031 0.219 0.1260 0.
CONSTANT 447.36 163.9 2.730 0.006 0.274 0.0000 0.
VARIANCE EQUATION:
RENTA 0.27568E-03 0.4119E-04 6.692 0.000 0.
ESTUDIOS -0.19836 0.1226 -1.619 0.106-0.
NHIJOS 0.33748 0.2036 1.658 0.097 0.
CONSTANT 11.031 0.5399 20.43 0.000 0.
Este método de estimación MCGF nos aproxima a la estimación eficiente que de Mínimos Cuadrados
Generalizados. Estaremos tanto más próximos a la misma, cuando más próximos a cero estén los
gradientes que aparecen en la estimación (en amarillo).
En cuando a los resultados, fijaos que ahora tanto los parámetros estimados, como los errores estándar
(en rosa) son distintos a los de MCO. Si no nos hemos equivocado con la forma funcional de la
heterocedasticidad, los parámetros tendrán una interpretación válida y los errores estándar serán válidos
para hacer contrastes. Además, tendremos estimaciones más eficientes que con MCO.
En la parte azul de la salida, tenéis la estimación de la ecuación de la varianza que, por el supuesto de
heterocedasticidad que hemos hecho (multiplicativo en las variables explicativas), depende de la renta ,
estudios y nhijos. Pero fijaos que sólo la renta es significativa al 5% para explicar la varianza (t-
ratio=6.692, p-valor=0.000), esto podría sugerir que tal vez deberíamos haber supuesto que la
heterocedasticidad depende sólo de la variable renta, y no en el resto de variables explicativas. De hecho,
esto es algo que nos sugería tanto el tercer gráfico del residuos que hicimos, como el contraste G-Q.
