SW Ch 5
1/44
Regresión Lineal con Múltiples Regresores
(SW Capítulo 6)
Resumen
1. Sesgo por variables omitidas
2. Causalidad y análisis de regresión
3. Regresión Múltiple y MCO
4. Medidas de ajuste
5. Distribución muestral del estimador MCO
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Regresión Lineal con Múltiples Regresores: Sesgo por Variables Omitidas y Causalidad, Apuntes de Econometría
PARTE DEL TEMARIO DE LA ASIGNATURA DE ECONOMETRÍA
Tipo: Apuntes
2020/2021
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Regresión Lineal con Múltiples Regresores
(SW Capítulo 6 )
Resumen
- Sesgo por variables omitidas
- Causalidad y análisis de regresión
- Regresión Múltiple y MCO
- Medidas de ajuste
- Distribución muestral del estimador MCO
Sesgo por Variables Omitidas
(SW Sección 6 .1)
El error u aparece porque hay factores, o variables, que influyen
en Y pero que no están incluidos en la función de regresión.
Siempre hay variables omitidas.
A veces, la omisión de esas variables puede llevar a un sesgo en
el estimador MCO.
Sesgo de variables omitidas, ctn.
En el ejemplo de la calificación del examen (score tests) :
- La habilidad en el idioma inglés (si el estudiante es ESL :
tiene Inglés como Segundo Idioma) razonablemente puede
afectar los resultados del examen estandarizado: Z es un
determinante de Y.
- Las comunidades de inmigrantes tienden a ser menos ricas,
y tienden a tener colegios con menores presupuestos y STR
más alto: Z está correlada con X.
Por tanto, está sesgado. ¿Cuál es la dirección de este sesgo?
- ¿Qué es lo que sugiere el sentido común?
- Si te falla el sentido común, hay una fórmula…
1
b
Sesgo de variables omitidas, ctn.
Una fórmula para el sesgo por variables omitidas: recuerda la
ecuación,
- b
1
1
2
n
i
i
X
v
n
n
s
n
=
æ ö
ç ÷
è ø
å
donde v
i
= ( X
i
- X ) u
i
» ( X
i
- μ
X
) u
i
. Bajo el Supuesto # 1 de
Mínimos Cuadrados, SMCO#1 ,
E [( X
i
- μ
X
) u
i
] = cov( X
i
, u
i
¿Pero qué pasa si E [( X
i
- μ
X
) u
i
] = cov( X
i
, u
i
) = s
Xu
1
b
1
2
1
n
i i
i
n
i
i
X X u
X X
=
=
å
å
La formula del sesgo de variables omitidas :
p
® b
1
u
Xu
X
s
r
s
æ ö
ç ÷
è ø
- Si una variable omitida Z cumple estas dos condiciones:
(1) Es un determinante de Y (está contenido en u ); y
(2) Correlacionada con X ,
entonces r
Xu
¹ 0 y el estimador MCO está sesgado y no es
consistente.
- Por ejemplo, distritos con pocos estudiantes ESL [ English
Second Language ] (1) son mejores en tests estandarizados y
(2) y tienen clases menores (más presupuesto), por lo que
ignorar el efecto de tener muchos estudiantes ESL resultaría
en sobreestimar el efecto del tamaño de la clase. ¿Realmente
está esto ocurriendo en los datos de CA?
1
b
1
b
- Distritos con menos estudiantes aprendiendo Inglés (EL, English Learners )
tienen resultados más altos en los tests.
- Distritos con menor porcentaje de EL ’s ( PctEL ) tienen clases más pequeñas.
- Entre los distritos con PctEL comparables, el efecto del tamaño de la clase es
pequeño (la divergencia en resultados de los tests, “ test score gap ” = 7.4)
¿Qué queremos estimar exactamente cuando hacemos una
regresión?
Hay (al menos) tres posibles respuestas para esta pregunta:
- Queremos estimar la pendiente de una línea a través de un
diagrama de dispersión como un simple resumen de los
datos al que no asociamos ningún significado sustantivo.
Esto puede ser útil algunas veces, pero no es muy
interesante intelectualmente, y no es de lo que va este
curso.
- Queremos hacer predicciones sobre el valor de Y para un
individuo que no está en nuestra base de datos, pero para
el que conocemos su valor de X.
Hacer predicciones es una importante tarea para los
economistas, y es posible obtener predicciones
excelentes usando métodos de regresión sin necesidad
de conocer efectos causales. Volveremos más tarde al
problema de predicción durante el curso.
¿Qué es, exactamente, un efecto causal?
- ¡“Causalidad” es un concepto complejo!
- En este curso, usamos un enfoque práctico para definir
causalidad:
Un efecto causal se define como el efecto medido en un
experimento controlado aleatorizado ideal.
Experimento Controlado Aleatorizado Ideal
- Ideal : todos los sujetos siguen el protocolo de tratamiento –
¡todos siguen el tratamiento completo (conformidad
completa), no hay errores de registro, etc.!
- Aleatorizado : Los sujetos de la población de interés se
asignan aleatoriamente a los grupos de tratamiento o de
control (por lo que no hay factores que lleven a confusión:
factores confusos)
- Controlado : tener un grupo de control permite medir el
efecto diferencial de tratamiento.
- Experimento : el tratamiento se asigna como parte del
experimento: los sujetos no tienen elección, por lo que no
hay “causalidad inversa“ en la que los individuos eligen el
tratamiento que piensan les irá mejor.
¿En qué sentido nuestros datos observacionales son
diferentes de esta situación ideal?
- El tratamiento no se asigna aleatoriamente.
- Consideremos PctEL – el porcentaje de English Learners – en
el distrito. Posiblemente satisface los dos criterios para el sesgo
de omisión de variables: Z = PctEL es:
(1) un determinante of Y ; y
(2) está correlado con el regresor X.
- Por tanto, los grupos de “control” y de “tratamiento” son
diferentes en una forma sistemática, y entonces
corr( STR , PctEL ) ¹ 0
- Aleatorización + grupo de control significa que cualquier
diferencia entre los grupos de control y tratamiento son
aleatorias – no relacionadas sistemáticamente con el
tratamiento.
- Podemos eliminar la diferencia en PctEL entre los grupos
grandes (control) y pequeños (tratamiento) examinando el
efecto del tamaño de la clase entre los distritos con el mismo
PctEL.
o Si la única diferencia entre los grupos grandes y los
pequeños es en PctEL , entonces estamos de vuelta al
experimento controlado aleatorizado – dentro de cada
grupo PctEL.
o Esta es una forma de “controlar” el efecto de PctEL
cuando se estima el efecto de STR.
El Modelo Poblacional de Regresión Múltiple
(Sección 6. 2 de SW)
Consideremos el caso de dos regresores:
Y
i
= b
0
+ b
1
X
1 i
+ b
2
X
2 i
- u
i
, , E(u
i
)=0 , i = 1,…, n
- Y es la variable explicada (denominada tmb dependiente o
regresando ).
• X
1
, X
2
son dos variables explicativas (denominadas tmb
independientes o regresores )
• ( Y
i
, X
1 i
, X
2 i
) denotan la observación i
ésima
de Y , X
1
, y X
2
- b
0
= término constante poblacional desconocido.
- b
1
= efecto s/ Y de un cambio en X
1
, manteniendo X
2
constante
- b
2
= efecto s/ Y de un cambio en X
2
, manteniendo X
1
constante
- u
i
= error de regresión (factores omitidos) con media 0.
Interpretación de los coeficientes en regresión múltiple
Y
i
= b
0
+ b
1
X
1 i
+ b
2
X
2 i
- u
i
, E(u
i
)=0 , i = 1,…,n
Para interpretar los coeficientes como la relación causal de las
variables explicativas (las X’s ) sobre la explicada Y es
fundamental suponer que al variar una de las variables,
permaneciendo la otra constante, el término de error no varía.
Pero, no varía ¿en qué sentido?
En media : lo que quiere decir que manteniendo las variables
explicativas constantes, la media de los errores no varía:
%#
%
)#
)
%
)