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PARTE DEL TEMARIO DE LA ASIGNATURA DE ECONOMETRÍA
Tipo: Apuntes
1 / 72
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¡No te pierdas las partes importantes!
1 / 7
SW Ch 7
(Capítulo 7 de SW)
Resumen
coeficiente
variables incluir en un modelo de regresión
2 / 7
SW Ch 7
Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza para un sólo
coeficiente
(Sección 7.1 de SW)
Los contrastes de hipótesis e intervalos de confianza para un
coeficiente en regresión múltiple siguen la misma lógica y método
que para el coeficiente de pendiente del modelo con un sólo
regresor.
1 1
1
var( )
b E b
b
se distribuye aprox. como una N (0,1) (TCL).
1
pueden contrastarse usando el
estadístico de la t-habitual, y los intervalos de confianza se
construyen como { ± 1.96´ SE ( )}.
2
k
1
b
1
b
4 / 7
SW Ch 7
Errores Estándar de regresión múltiple en STATA
reg testscr str pctel, robust;
Regression with robust standard errors Number of obs = 420
F( 2, 417) = 223.
Prob > F = 0.
R-squared = 0.
Root MSE = 14.
------------------------------------------------------------------------------
| Robust
testscr | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
str | - 1.101296 .4328472 - 2.54 0.011 - 1.95213 -.
pctel | - .6497768 .0310318 - 20.94 0.000 - .710775 -.
_cons | 686.0322 8.728224 78.60 0.000 668.8754 703.
------------------------------------------------------------------------------
TestScore
= 686.0 – 1.10´ STR – 0.650 PctEL
Usamos errores estándar robustos a la heterocedasticidad – por
exactamente la misma razón que en el caso de un sólo regresor.
5 / 7
SW Ch 7
Contrastes sobre Hipótesis Conjuntas
(Sección 7.2 de SW)
Si Expn = gastos por alumno y se considera el modelo de regresión
poblacional:
TestScore
i
0
1
i
2
Expn
i
3
PctEL
i
i
La hipótesis nula de que “los recursos económicos de la escuela no
importan” y la alternativa de que sí lo hacen, se corresponde con
0
1
2
vs. H
1
1
2
¹ 0 o ambos
TestScore
i
0
1
i
2
Expn
i
3
PctEL
i
i
7 / 7
SW Ch 7
¿Por qué no podemos contrastar los coeficientes de uno en
uno?
Porque la tasa de rechazos no es el 5%. Vamos a calcular la
probabilidad de rechazar incorrectamente la nula usando el
contraste de “sentido común” basado en los dos estadísticos t
individuales. Para simplificar el cálculo, suponemos que y
están distribuidos independientemente (esto no es verdad en
general – sólo en este ejemplo). Sean t
1
y t
2
los estadísticos t :
t
1
1
1
b
b
and t
2
2
2
b
b
El contraste “de uno en uno” es:
rechazar H
0
1
2
= 0 si | t
1
| > 1.96 y/o | t
2
¿Cuál es la probabilidad de que este contraste “de uno en uno”
rechace H
0
, cuando H
0
es realmente cierta? ( Debería ser 5%.)
1
2
b
8 / 7
SW Ch 7
Supongamos que t
1
y t
2
son independientes (para este ejemplo).
La probabilidad de rechazar incorrectamente el contraste “de uno
en uno” cuando la hipótesis nula es cierta es
0
Pr
H
[| t
1
| > 1.96 and/or | t
2
0
Pr
H
[| t
1
| ≤ 1.96 and | t
2
0
Pr
H
[| t
1
0
Pr
H
[| t
2
(porque t
1
y t
2
son independientes por el supuesto)
2
= .0975 = 9.75% – ¡¡que no es el deseado 5%!!
10 /
SW Ch 7
El estadístico F
El estadístico F contrasta todas las partes de una hipótesis conjunta
a la vez. Por ejemplo en una regresión con dos regresores
"
1
1,
2
2,
tenemos dos estadísticos t:
%
%
%,"
%
El contraste que utiliza secuencialmente 𝑡
.
y 𝑡
/
tiene un tipo I de
error fuera de control, como veremos después.
11 /
SW Ch 7
𝐹 =
1
2
𝛽
.
− 𝛽
.,"
, 𝛽
/
− 𝛽
/,"
𝑉𝑎𝑟 𝛽
.
𝐶𝑜𝑣 𝛽
.
, 𝛽
/
𝐶𝑜𝑣 𝛽
.
, 𝛽
/
𝑉𝑎𝑟 𝛽
/
𝛽
.
− 𝛽
.,"
𝛽
/
− 𝛽
/,"
=
.
/
𝑡
.
𝑡
/
1 𝜌
9
:,
9
;
𝜌
9
:,
9
;
1
𝑡
.
𝑡
/
=
.
/
9
:
;
< 9
;
;
7 /=
:,
;
. 7 =
:,
;
;
donde
𝜌
9
:,
9
;
=
𝐶𝑜𝑣 𝑡
1
, 𝑡
2
𝑉𝑎𝑟 𝑡
1
𝑉𝑎𝑟 𝑡
2
estima la correlación entre t
1
y t
2
, de forma robusta a la
heterocedasticidad si se quiere.
13 /
SW Ch 7
Distribución en muestras grandes del estadístico F
Considere el caso especial en el que t
1
y t
2
son independientes, por
lo que
1 2
,
t t
r
p
0 ; en muestras grandes la fórmula queda
1 2
1 2
2 2
1 2 , 1 2
2
,
t t
t t
æ ö
ç ÷
ç ÷
è ø
2 2
1 2
t + t
1
y t
2
tienen distribuciones normales estándar,
que, en este caso especial, son independientes
distribución de la media de dos variables normales estándar al
cuadrado.
14 /
SW Ch 7
¿Cuál sería el estadístico cuando queremo s contrastar q
restricciones? Por ejemplo:
"
%
%,"
El estadístico del contraste es
.
A
9
:,
9
;
9
:,
9
B
9
;,
9
:
9
BE:,
9
B
9
B,
9
:
.
A
%
%
%,"
%
16 /
SW Ch 7
La distribución ji-cuadrado
La distribución ji-cuadrado con q grados de libertad (
2
q
como la distribución de la suma de q variables independientes
normales estándar al cuadrado.
En muestras grandes, el estadístico F se distribuye como
2
q
Valores críticos es muestras grandes de una variable
2
q
q valor crítico 5%
1 3.84 (¿por qué?)
2 3.00 (el caso q =2)
17 /
SW Ch 7
Cálculo del p-valor usando el estadístico F :
p - valor = probabilidad en la cola de la distribución
2
q
más allá del valor del estadístico F obtenido.
Implementación en GRETL
Usar comando “test” después de la regresión
Ejemplo: El contraste de la hipótesis conjunta de que los
coeficientes poblaciones de STR y los gastos por alumno
( expn_stu ) son ambos cero, en contra de la alternativa de que al
menos uno de los coeficientes poblacionales no es cero.
19 /
SW Ch 7
Más sobre los estadísticos F****.
Hay una fórmula sencilla para el estadístico de la F que sólo es
válida bajo homocedasticidad (¡por lo que no es muy útil) pero que
sirve para entender lo qué está haciendo el estadístico F.
El estadístico F sólo válido bajo homocedasticidad
Cuando los errores son homocedásticos, hay una fórmula simple
para computar el estadístico F “válido solo bajo
homocedasticidad”:
“restringida”) y otra bajo la hipótesis alternativa (la regresión
“no restringida”).
2
s – si el modelo de la hipótesis
“no restringida” ajusta suficientemente mejor, rechazar la nula
20 /
SW Ch 7
Las regresiones “restringida” y “no restringida ”
Ejemplo: ¿son los coeficientes de STR y Expn cero?
Regresión poblacional no restringida (bajo H
1
1
2
TestScore
i
0
1
i
2
Expn
i
3
PctEL
i
i
Regresión poblacional restringida (bajo H
0
1
2
TestScore
i
0
3
PctEL
i
i
( ¿por qué ?)
0
es q = 2 (¿por qué?).
2
será más alto) en la regresión no
restringida (¿por qué?)
¿Por cuánto debe el R
2
incrementarse para que los coeficientes de
Expn y PctEL se puedan juzgar estadísticamente significativos?
