Control 1 MA 26A, 2006, M. Kowalczyk
1.
(a) Encuentre la soluci´on del problema de valor inicial.
dy
dxp1−x2=q1−y2, y(0) = 1
2.
(b) La ecuaci´on diferencial en (a) equivale a
dy
dx =s1−y2
1−x2,
en la region |x|<1,|y|<1 del plano xy. Pero la cantidad bajo
el radical tambi´en es no negativa en |x|>1,|y|>1. Encuentra
todas las regiones en el plano en las que esta ecuaci´on diferencial tenga
soluciones reales.
(c) Resuelva la ecuaci´on diferencial de la parte (b) suponiendo el valor
inicial y(3) = 3.
2.
(a) Verifique que una soluci´on de la ecuaci´on (ecuaci´on de Ricatti)
y0=y2−y
x−4
x2, x > 0 (1)
es y1(x) = 2
x.
(b) Encuentre la soluci´on general de la ecuaci´on (1). Primero emplee la
sustituci´on y=y1+upara reducir le ecuaci´on de Ricatti a la ecuaci´on
de Bernoulli y luego emplee la sustituci´on z=1
u.
(c) Verifique que la funci´on y1(x) = exes una soluci´on de la ecuaci´on
xy00 −(x+ 10)y0+ 10y= 0.
Use el metodo de reducci´on de orden para determinar una segunda
soluci´on y2(x).
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