Equacions diferencials lineals
Rafael Cubarsi
Àlgebra Lineal i Equacions Diferencials
Escola Tècnica Superior d’Enginyeria de Telecomunicació de Barcelona
Universitat Politècnica de Calalunya
http://www-ma4.upc.edu/~rcubarsi
Prepara tus exámenes
Prepara tus exámenes y mejora tus resultados gracias a la gran cantidad de recursos disponibles en Docsity
Consigue puntos base para descargar
Gana puntos ayudando a otros estudiantes o consíguelos activando un Plan Premium
Orientación Universidad
Prepara tus exámenes
Prepara tus exámenes y mejora tus resultados gracias a la gran cantidad de recursos disponibles en Docsity
Busca documentos
Prepara tus exámenes con los documentos que comparten otros estudiantes como tú en Docsity
Busca tu universidad
Encuentra los documentos específicos para los exámenes de tu universidad
Video Cursos
Estudia con lecciones y exámenes resueltos basados en los programas académicos de las mejores universidades
Quiz
Responde a preguntas de exámenes reales y pon a prueba tu preparación
Consigue puntos base para descargar
Gana puntos ayudando a otros estudiantes o consíguelos activando un Plan Premium
Comunidad
Pregúntale a la comunidad
Pide ayuda a la comunidad y resuelve tus dudas de estudio
Ebooks gratuitos
¡Nuestros e-books salva-estudiantes!
Descarga nuestras guías gratuitas sobre técnicas de estudio, métodos para controlar la ansiedad y consejos para la tesis preparadas por los tutores de Docsity
EDO's, Apuntes de Ingeniería de Sistemas Audiovisuales
Asignatura: fourier, Profesor: , Carrera: Enginyeria de Sistemes Audiovisuals, Universidad: UPC
Tipo: Apuntes
2013/2014
1 / 40
Esta página no es visible en la vista previa
¡No te pierdas las partes importantes!
Documentos relacionados
Vista previa parcial del texto
¡Descarga EDO's y más Apuntes en PDF de Ingeniería de Sistemas Audiovisuales solo en Docsity!
Equacions diferencials lineals
Rafael Cubarsi
Àlgebra Lineal i Equacions Diferencials
Escola Tècnica Superior d’Enginyeria de Telecomunicació de Barcelona
Universitat Politècnica de Calalunya
http://www-ma4.upc.edu/~rcubarsi
Copyright ©c2010 by Rafael Cubarsi ([email protected]), DL B-16322-2011.
Aquesta obra es distribueix sota la llicència creative-commons amb les condicions
Reconeixement-No comercial-Compartir de la versió 3.0 d’aquesta llicència. Resumint:
Sou lliure de:
copiar, distribuir i comunicar públicament l’obra,
fer-ne obres derivades,
amb les condicions següents: Reconeixement. Heu de reconèixer els crèdits de l’obra de la manera especificada per l’autor o el llicenciador (però no d’una manera que suggereixi que us donen suport o rebeu suport per l’ús que feu de l’obra). No comercial. No podeu utilitzar aquesta obra per a finalitats comercials. Compartir amb la mateixa llicència. Si altereu o transformeu aquesta obra, o en genereu obres derivades, només podeu distribuir l’obra generada amb una llicència idèntica a aquesta.
- Quan reutilitzeu o distribuïu l’obra, heu de deixar ben clar els termes de la llicència de l’obra.
- Alguna d’aquestes condicions pot no aplicar-se si obteniu el permís del titular dels drets d’autor.
- No hi ha res en aquesta llicència que menyscabi o restringeixi els drets morals de l’autor.
Podeu trobar el text complet de la llicència a l’adreça: http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/es/legalcode.ca o envieu una carta a: Creative Commons, 171 Second Street, Suite 300, San Francisco, California 94105, USA
Capítol 1
Equacions diferencials de primer ordre
1.1 Introducció
Definició 1 Una equació diferencial ordinària és una relació entre una funció d’una vari- able, y(t) (que anomenarem variable dependent), la variable independent t, i una o vàries derivades successives de la funció,
F (t, y, y′,... , y(n)) = 0
Suposarem que totes les variables són reals.
Si F no depèn de t direm que l’equació diferencial és autònoma. Quan hi ha vàries variables independents, t 1 ,... , tn, les equacions s’anomenen equacions en derivades par- cials. Llavors, la funció y(t 1 ,... , tn) es pot derivar respecte de cada una de les variables.
Per exemple
∂y ∂ti
∂^2 y ∂ti∂tj
, etc. Les equacions en derivades parcials s’estudien en cursos
posteriors. Vegem alguns exemples:
Exemple 1 Un cas el proporciona la segona llei de Newton pel moviment d’un cos de massa m, sota l’acció d’una força F. Si aquesta força depèn de l’instant t considerat, de la posició y(t) i de la velocitat dy dt(t ) del cos en aquest instant, es compleix
m
d^2 y dt^2
= f (t, y,
dy dt
Exemple 2 L’estudi de circuïts elèctrics és un altre exemple d’equacions diferencials. Per exemple, el corrent I(t) d’un circuït, pel que la tensió V (t) aplicada en cada instant t es reparteix entre la caiguda de tensió R I(t) d’una resistència i la caiguda de tensió
L dI dt(t ) d’una autoinducció, posades en sèrie, satisfà l’equació diferencial
L
dI dt
+ R I = V
Exemple 3 Un altre cas són les equacions que caracteritzen a una família de corbes del pla. Així, si considerem la família de paràboles y = Ct^2 , derivant obtenim y′^ = 2Ct. Eliminant el paràmetre C amb les dues equacions, obtenim la equació diferencial
y′^ = 2
y t
5
Equacions diferencials lineals 7
llavors, per a un valor de t proper a t 0 , podem fer una estimació de y(t) a partir de l’aproximació lineal
y(t) − y(t 0 ) ≈ y′(t 0 )(t − t 0 )
Una forma de poder seguir l’evolució de la variable y és disposar de la informació que proporciona l’equació
y′^ = f (t, y(t)) (1.3)
Així, sabent el valor inicial y 0 = y(t 0 ), obtindrem els valors de la funció y(t) en el seu entorn,
y(t) ≈ y(t 0 ) + f (t 0 , y 0 )(t − t 0 )
Quan fem aquest procés de manera elemental, estem precisament integrant l’equació diferencial Eq. 1.3,
y(t) − y(t 0 ) =
∫ (^) t
t 0
f (s, y(s))ds (1.4)
tot calculant les constants d’integració a partir de les condicions inicials. En resoldre una equació de primer ordre fem un procés que equival a una integració, on hi apareix una constant. En general, per a resoldre una equació d’ordre n calen n integracions, on hi apareixen n constants.
Per a una equació d’ordre n, les condicions inicials han de ser sempre de la forma a 0 = y(t 0 ), a 1 = y′(t 0 ),... , an− 1 = y(n−1)(t 0 ), totes avaluades en el mateix valor de la variable independent.
Ara bé, l’existència i unicitat de la solució del problema de valor inicial (PVI)
y′^ = f (t, y), y(t 0 ) = y 0 (1.5)
necessita unes condicions mínimes. La més freqüentment utilitzada és la següent:
Teorema 1 (d’existència i unicitat) Si f i
∂f ∂y
són contínues en un domini Ω, el pro-
blema de valor inicial y′^ = f (t, y), y(t 0 ) = y 0 , per a (t 0 , y 0 ) ∈ Ω, admet una única solució y(t), que està definida en un interval obert I ⊂ Ω que conté el punt (t 0 , y 0 ).
Un exemple on no es compleixen aquestes condicions suficients és el següent:
Exemple 5 El problema de valor inicial y′^ = y^2 /^3 , y(0) = 0, no té solució única, doncs al menys y 1 (t) = (t/3)^3 , y 2 (t) ≡ 0 són solucions del problema.
També cal notar que les solucions poden tenir un abast limitat:
Exemple 6 La solució de y′^ = y^2 amb y(0) = 1 és y(t) = 1/(1 − t) en −∞ < t < 1. Però y(t) no pot ser solució en un interval més gran ja que no està definida per a t = 1.
8 R. Cubarsi
1.3 Equacions integrables elementalment
Certes funcions, com ara
cos t i e−t
2 , no admeten una primitiva que sigui una funció ele- mental, és a dir, una combinació de funcions polinòmiques, racionals, trigonomètriques, exponencials, etc. Per tant, fins i tot en el cas de que f (t, y) sigui una funció única- ment de t, no sempre podrem trobar funcions elementals que siguin solucions de l’equació diferencial y′^ = f (t, y). En general, es considera que una equació diferencial és integrable elementalment quan és possible expressar la solució mitjançant funcions elementals, o bé primitives d’aquestes, que no tenen per què ser necessàriament funcions elementals.
Definició 3 Direm que una equació diferencial s’expressa en la seva forma diferencial si l’escrivim com M (t, y)dt + N (t, y)dy = 0 (1.6)
Evidentment, la forma estàndard d’aquesta equació s’obtindria fent f (t, y) = −M (t, y)/N (t, y) en l’Eq. 1.1.
Definició 4 S’anomenen equacions de variables separades les que, en forma diferencial, s’escriuen com M (t)dt + N (y)dy = 0
Llavors, la integració és immediata: ∫ M (t) dt = −
N (y) dy + C
També podem expressar-ho com ∫ (^) t
t 0
M (s) ds = −
∫ (^) y
y 0
N (x) dx
Exemple 7 Integrar
dy dt
t^2 − 1 y^2
Solució. Ho escrivim com y^2 dy = (t^2 − 1) dt
Llavors, y^3 3
t^3 3
− t + C; y = (t^3 − 3 t + 3C)^1 /^3
X
Exemple 8 Resoldre
dy dt
t y^2
- t.
Solució. Ho escrivim com dy dt
y^2
t
Separant variables obtenim y^2 1 + y^2
dy = t dt
10 R. Cubarsi
1.4 Equació lineal
Definició 5 Una equació lineal de primer ordre és la que es pot escriure com
y′(t) + a(t) y(t) = f (t) (1.7)
L’operador L ≡
d dt
- a(t), que associa a una funció y la funció
L[y(t)] = y′(t) + a(t) y(t) (1.8)
és lineal. És fàcil comprovar que si c 1 i c 2 són dues constants arbitràries, es té
L[c 1 y 1 + c 2 y 2 ] = c 1 L[y 1 ] + c 2 L[y 2 ] (1.9) Suposarem que a(t) i f (t) són funcions contínues en un cert interval I ⊂ R. Conside- rarem que L és una aplicació lineal de l’espai vectorial C^1 (I) al C(I). Per tant, el conjunt de solucions de l’equació L[y] = f (t) (1.10)
vindrà donat per yp + yh, on yp és una solució particular de l’Eq. 1.10, i yh és del nucli de l’operador L, ker(L), és a dir, del conjunt de solucions de
L[y] = 0 (1.11) Aquesta darrera equació s’anomena equació homogènia associada a l’Eq. 1.10, que es designa, per contrast, com equació completa. Recordem que ker(L) és un subspai vectorial de l’espai vectorial en el qual està definit l’operador L. Observem, també, que la diferència de dues solucions particulars ya i yb de l’equació completa, Eq. 1.10, verifica L[ya − yb] = f − f = 0. Per tant ya − yb ∈ ker(L).
1.4.1 Equació homogènia
Resolem ara l’equació homogènia
y′ h + a(t)yh = 0 (1.12)
Si yh 6 = 0 podem escriure y h′/yh = −a(t) i, integrant,
ln |yh| = −
a(t) dt + K; |yh| = Ce−^
∫ (^) a(t) dt
on C = eK^ és una constant positiva. Aquesta darrera equació equival a
yh = ±Ce−^
∫ (^) a(t) dt
la qual podem resumir en yh = Ce−^
∫ (^) a(t) dt , C 6 = 0
Però, en dividir per yh, hem perdut la solució yh = 0, que anomenarem solució trivial, que sempre és solució de l’equació lineal homogènia. Per tant, la solució general de l’Eq. (1.12) serà yh = Ce−^
∫ a(t) dt (^) (1.13)
per a C qualsevol. El conjunt de solucions de la part homogènia de l’equació lineal de primer ordre formen un espai vectorial de dimensió 1.
Equacions diferencials lineals 11
1.4.2 Equació completa: mètode de variació de les constants
Per a integrar l’equació completa n’hi ha prou amb determinar una solució particular. Per això utilitzarem el mètode anomenat de variació de les constants, que permet integrar l’equació completa quan es coneix una solució particular de l’equació homogènia, per exemple, fent C = 1 en l’Eq. 1.13,
φ(t) = e−^
∫ (^) a(t) dt (1.14)
Així, proposem una solució de la forma yp = K(t)φ(t) (1.15)
essent K(t) una funció a determinar. Substituïnt l’Eq. 1.15 a l’Eq. 1.10 obtenim
L[yp] = K′(t)φ(t) + K(t)φ′(t) + a(t)K(t)φ(t) = K′(t)φ(t) + K(t)[φ′(t) + a(t)φ(t)] = K′(t)φ(t) = f (t)
doncs φ′(t) + a(t)φ(t) = 0. Per tant, excepte una constant d’integració que podem suposar nul·la,
K(t) =
f (t) φ(t)
dt,
i la solució particular serà
yp = φ(t)
f (t) φ(t)
dt (1.16)
Finalment, tot sumant-li la solució general de l’homogènia, la solució general de l’equació completa és
y = φ(t)
f (t) φ(t)
dt + C
Exemple 9 Integrar l’equació
y′^ cos t + y sin t = 1, −
π 2
< t <
π 2
Solució. L’escrivim com
y′^ + (tan t) y =
cos t Integrem primer l’equació homogènia, y′ h + (tan t) yh = 0,
yh = Ce−^
∫ (^) tan t dt = C cos t
Ara busquem una solució particular de l’equació completa a partir de l’Eq. 1.16, en la forma yp(t) = K(t) cos t,
yp = cos t
dt cos^2 t
= sin t
Així, la solució general de l’equació és
y = sin t + C cos t
X
Equacions diferencials lineals 13
i d’equació completa si ens referim a
y′′^ + P (x)y′^ + Q(x)y = R(x) (2.4)
amb R(x) no nul·la. La linealitat de l’operador L garanteix que la diferència de dues solucions de l’equació completa és solució de l’equació homogènia, és a dir, pertany al subespai vectorial ker L. De la mateixa manera, per a trobar la solució general y de l’equació completa només cal conèixer una solució particular yp de l’equació completa i la solució general yh de l’equació homogènia:
y = yp + yh
2.1.1 Solució de l’equació homogènia
El càlcul de la solució general de l’equació homogènia es redueix a trobar una base del ker L. Vegem el següent teorema, que també el farem servir en equacions d’ordre superior.
Teorema 3 (Principi de superposició) Si y 1 , y 2 ,... , yk són solucions d’una equació lineal homogènia, llavors y = c 1 y 1 +c 2 y 2 +.. .+ckyk també n’és solució, ∀c 1 , c 2 ,... , ck ∈ R.
Aquest resultat ens dóna un mètode per a construir solucions, ja que amb dues solu- cions podem obtenir-ne infinites. Fixem-nos en dos casos particulars:
- Si y 1 és solució d’una equació lineal homogènia, aleshores y = ky 1 també ho és ∀k ∈ R.
- En particular, fent k = 0, la solució trivial y = 0 sempre és solució d’una equació lineal homogènia.
Exemple 11 Considerem l’equació y′′^ + y′^ = 0. Es clar que la funció y = 1 n’és solució. D’altra banda, la funció y = ex^ n’és també solució. Per tant, les funcions de la forma y(x) = c 1 + c 2 ex, en són també solució.
Exemple 12 Anem a buscar solucions no trivials de l’equació x^2 y′′^ + 2xy′^ − 2 y = 0.
Solució. Podem resoldre aquesta equació assajant solucions de la forma y = xn. Així, y′^ = nxn−^1 , y′′^ = n(n − 1)xn−^2. Si ho introduïm a l’equació, queda
n(n − 1)xn^ + 2nxn^ − 2 xn^ = [n(n − 1) + 2n − 2]xn^ = 0
Llavors, per a ser vàlida la igualtat per a valors x 6 = 0, només cal que n^2 + n − 2 = 0. Per tant, les solucions s’obtenen de n = 1, − 2 , i són x, x−^2. En general, y = c 1 x + c 2 x−^2 són solució de l’equació. X Quan estudiem sistemes d’equacions veurem que, per a un operador diferencial lineal L d’ordre n, es compleix dim ker L = n. Per tant, en l’exemple anterior ja hauriem obtingut la solució general de l’equació.
14 R. Cubarsi
2.2 Wronskià
Generalitzant el que havíem dit per les equacions de primer ordre, si l’operador diferencial L és d’ordre n, considerarem que és una aplicació lineal de l’espai vectorial Cn(I) a C(I), per a un cert interval I ⊂ R. Naturalment, els conceptes de dependència i independència lineal de vectors també s’aplicaran a les funcions pertanyents a aquests espais vectorials. No obstant, veurem un mètode específic per a estudiar la dependència o independència lineal de funcions.
Definició 6 Siguin f 1 (x), f 2 (x),... , fn(x), n funcions que suposarem derivables almenys fins a ordre n − 1 en un cert interval I. El seu wronskià es defineix com el determinant
W (f 1 , f 2 ,... , fn) =
f 1 f 2 · · · fn f 1 ′ f 2 ′ · · · f (^) n′ f 1 ′′ f 2 ′′ · · · f (^) n′′ .. .
f 1 (n −1) f 2 (n −1) · · · f (^) n(n−1)
En darrer terme, el wronskià W (f 1 , f 2 ,... , fn) és una funció de la variable x en l’in- terval I, per això, de vegades també escriurem W (x). En àlgebra haviem vist que si el wronskià d’un conjunt de funcions W (f 1 , f 2 ,... , fn) és no nul per a algun x ∈ I, llavors les funcions són linealment independents. El recíproc no és sempre cert, com ho veurem en el darrer dels següents exemples.
Exemple 13 Calcularem el wronskià d’algunes families de funcions:
- W (sin x, cos x) =
sin x cos x cos x − sin x = − sin^2 x − cos^2 x = − 1
- W (x^2 , x^3 , x^4 ) =
x^2 x^3 x^4 2 x 3 x^2 4 x^3 2 6 x 12 x^2
= 2x^6
- W (sin^2 x, 1 − cos 2x) = sin^2 x 1 − cos 2x 2 sin x cos x 2 sin 2x
= 2 sin^2 x sin 2x − 2 sin x cos x(1 − cos 2x) = = sin 2x(2 sin^2 x − 1 + cos^2 x − sin^2 x) = 0
- W (sin^2 x, 1 − cos 2x) = sin^2 x 1 − cos 2x 2 sin x cos x 2 sin 2x
= 2 sin^2 x sin 2x − 2 sin x cos x(1 − cos 2x) = = sin 2x(2 sin^2 x − 1 + cos^2 x − sin^2 x) = 0
- Les funcions f 1 (x) = x^3 i f 2 (x) = |x|^3 són linealment independents en tot R. És fàcil veure que, per a x < 0 , W (f 1 , f 2 ) = W (x^3 , −x^3 ) = 0, ja que les seves columnes són proporcionals. Igualment, per a x ≥ 0 , W (f 1 , f 2 ) = W (x^3 , x^3 ) = 0. Per tant, que el wronskià sigui nul no és sempre equivalent a que les funcions siguin linealment dependents.
16 R. Cubarsi
Teorema 4 Si y 1 (x), y 2 (x),... , yn(x) són n solucions linealment independents en un in- terval I de l’equació lineal homogènia d’ordre n,
an(x)y(n)^ + an− 1 (x)y(n−1)^ + · · · + a 1 (x)y′^ + a 0 (x)y = 0, x ∈ I
llavors y = c 1 y 1 (x) + c 2 y 2 (x) + · · · + cnyn(x)
n’és la solució general en I.
Demostració. Vegem la demostració en el cas de segon ordre. En efecte, sigui y(x) una solució qualsevol de l’equació lineal homogènia Eq. 2.3. Volem veure que existeixen c 1 , c 2 ∈ R tals que y(x) = c 1 y 1 (x) + c 2 y 2 (x)
Sabem que una solució queda unívocament determinada pel coneixement del valor de la solució i la seva derivada en un mateix punt. Per tant, només caldrà trobar els valors c 1 i c 2 tals que en algun punt x 0 ∈ I verifiquin
c 1 y 1 (x 0 ) + c 2 y 2 (x 0 ) = y(x 0 ) c 1 y′ 1 (x 0 ) + c 2 y′ 2 (x 0 ) = y′(x 0 )
Per a que aquest sistema tingui solució caldrà que el determinant
W (x 0 ) = y 1 (x 0 ) y 2 (x 0 ) y 1 ′(x 0 ) y 2 ′(x 0 )
sigui diferent de zero. El teorema quedarà doncs demostrat si veiem que, per a dues solu- cions independents, aquest determinant és no nul. Però, això és cert pels lemes anteriors i, a més, és vàlid per a qualsevol punt x 0 ∈ I.
Exemple 14 Veure que les funcions de la forma y = c 1 sin x + c 2 cos x són la solució general de l’equació y′′^ + y = 0. Calcular la solució que compleix y(0) = 2, y′(0) = 3.
Solució. Vegem primer que y = sin x i y = cos x satisfan l’equació. En efecte, si y = sin x, llavors y′^ = cos x, y′′^ = − sin x i y′′^ + y = 0. Així mateix, si y = cos x, llavors y′^ = − sin x, y′′^ = − cos x i també verifica l’equació. En general, les combinacions de la forma y(x) = c 1 sin x + c 2 cos x són també solució de l’equació. Ara, per a comprovar que totes les solucions són d’aquesta forma, només caldrà veure que W (sin x, cos x) 6 = 0. En efecte, W (sin x, cos x) = − 1. Si volem que la solució compleixi les condicions inicials, imposem
c 1 sin 0 + c 2 cos 0 = 2 c 1 cos 0 − c 2 sin 0 = 3
Llavors c 1 = 3, c 2 = 2, i la solució que busquem és y = 3 sin x + 2 cos x. X Una altra aplicació interessant del wronskià és la de trobar l’equació diferencial lineal i homogènia de grau mínim satisfeta per una família determinada de funcions linealment independents. Ho veiem tot continuant l’exemple anterior.
Exemple 15 Calcular l’equació lineal i homogènia que té per solucions sin x, cos x.
Equacions diferencials lineals 17
Solució. Ja hem vist que W (sin x, cos x) 6 = 0. Per tant, aquestes són dues solucions linealment independents, en tot R, d’una equació de segon ordre. Qualsevol altra solució y(x) que sigui solució de l’equació buscada haurà de ser linealment dependent de les solucions anteriors. Per tant, hauran de verificar
W (sin x, cos x, y(x)) =
sin x cos x y(x) cos x − sin x y′(x) − sin x − cos x y′′(x)
Ara només hem de calcular el determinant, per exemple, per adjunts de la tercera columna,
sin x cos x cos x − sin x y′′^ −
sin x cos x − sin x − cos x y′^ +
cos x − sin x − sin x − cos x y = −y′′^ + 0 y′^ − y = 0
L’equació d’ordre mínim és, doncs, y′′^ + y = 0. X
2.4 Equacions homogènies a coeficients constants
En general, no és fàcil trobar solucions particulars d’una equació diferencial, encara que sigui lineal i homogènia, però quan l’equació té coeficients constants, veurem que és molt senzill. Primer ho resoldrem per a segon ordre. Suposem l’equació
y′′(x) + py′(x) + qy(x) = 0
amb p, q ∈ R. Podem escriure l’equació en la forma de l’operador diferencial
L ≡
d^2 dx^2
- p
d dx
- q; L[y(x)] = 0 (2.6)
Provem ara solucions de la forma y = emx, on m és una incògnita a determinar. Com y′^ = memx, y′′^ = m^2 emx, tindrem
L[emx] = (m^2 + pm + q) emx^ = 0
Per tant, les funcions de la forma emx^ són solucions de l’Eq. 2.6 sempre que m sigui arrel del polinomi característic P (m) = m^2 + pm + q (2.7)
L’equació P (m) = 0 s’anomena equació característica associada a l’equació diferencial.
En la resolució d’aquesta equació convé distingir diversos casos.
(i) Cas p^2 − 4 q > 0. L’equació característica admet dues solucions reals diferents m 1 6 = m 2. A més, es compleix W (em^1 x, em^2 x) 6 = 0. Per tant, y 1 = em^1 x^ i y 2 = em^2 x són dues solucions independents de l’equació diferencial. Així doncs, la solució general serà y(x) = c 1 em^1 x^ + c 2 em^2 x; c 1 , c 2 ∈ R
Equacions diferencials lineals 19
Exemple 17 Trobar la solució general de l’equació y′′^ + 2y′^ + y = 0.
Solució. L’equació característica m^2 + 2m + 1 = 0 té arrel m = − 1 doble. Llavors, la solució general serà y(x) = (c 1 + c 2 x) e−x X
Exemple 18 Resoldre l’equació y′′^ + y′^ + y = 0.
Solució. L’equació característica és m^2 + m + 1 = 0, amb arrels complexes m = −^12 ±
√ 3 2 i. Per tant, la solució general és
y = c 1 e−^
x 2 cos
x + c 2 e−^
x 2 sin
x
X
2.5 Equacions d’ordre superior
Generalitzem els resultats anteriors a ordre n. Considerem l’equació lineal homogènia a coeficients constants y(n)^ + an− 1 yn−^1 + · · · + a 1 y′^ + a 0 y = 0 (2.10)
amb constants a 0 , a 1 ,... , an− 1 ∈ R. L’equació característica és
mn^ + an− 1 mn−^1 + · · · + a 1 m + a 0 = 0
que pot tenir arrels reals i complexes amb diferents multiplicitats. Vegem quina és la contribució de cada una d’elles a la solució general.
- Per a cada arrel real m amb multiplicitat k hi ha k solucions linealment independents de la forma emx, x emx,... , xk−^1 emx Aleshores la solució general serà
(c 1 + c 2 x + · · · + ckxk−^1 ) emx
En particular, si l’arrel és simple (k = 1), només caldrà un sol terme c emx.
- Per a cada parella d’arrels complexes conjugades, α±iβ, amb multiplicitat k tindrem 2 k solucions linealment independents de la forma
eαx^ cos βx, eαx^ sin βx, x eαx^ cos βx, x eαx^ sin βx,... , xk−^1 eαx^ cos βx, xk−^1 eαx^ sin βx
Aleshores, cada parella d’arrels complexes contribuirà a la solució general amb
(c 1 + c 2 x + · · · + ckxk−^1 ) eαx^ cos βx + (ck+1 + ck+2x + · · · + c 2 kxk−^1 ) eαx^ sin βx
En particular, si la parella d’arrels complexes és simple (k = 1), tindrem dos termes,
(c 1 cos βx + c 2 sin βx)eαx
20 R. Cubarsi
Exemple 19 Resoldre y(3)^ + 3y(2)^ + 3y′^ + y = 0.
Solució. L’equació característica és
m^3 + 3m^2 + 3m + 1 = (m + 1)^3 = 0
L’arrel real m = − 1 és triple. Aleshores la solució general és
y = (c 1 + c 2 x + c 3 x^2 ) e−x
X
Exemple 20 Resoldre y(4)^ + 4y(3)^ + 8y(2)^ + 8y′^ + 4y = 0.
Solució. L’equació característica és m^4 + 4m^3 + 8m^2 + 8m + 4 = (m^2 + 2m + 2)^2 = 0. Les arrels complexes m = − 1 ± i són dobles. Per tant, la solució general és
y = (c 1 + c 2 x) e−x^ cos x + (c 3 + c 4 x) e−x^ sin x
X
Exemple 21 Resoldre y(4)^ − 2 y(3)^ + 2y(2)^ − 2 y′^ + y = 0.
Solució. Escrivim l’equació característica, m^4 − 2 m^3 + 2m^2 − 2 m + 1 = 0, que té les arrels m = 1 doble i m = ±i simples. Obtenim, doncs, la solució general
y = (c 1 + c 2 x) ex^ + c 3 cos x + c 4 sin x
X
Exemple 22 Resoldre y(7)^ = 0.
Solució. L’equació característica és m^7 = 0, que té una única arrel m = 0, de multiplicitat
- La solució general és
y = c 1 + c 2 x + c 3 x^2 + c 4 x^3 + c 5 x^4 + c 6 x^5 + c 7 x^6
X
2.6 Equacions lineals no homogènies
Recordem que per a resoldre l’equació completa cal conèixer una solució particular i la solució general de l’homogènia. Vegem com obtenir una solució particular de l’equació completa. Ho farem pel cas de l’equació d’ordre 2, Eq. 2.1, que és generalitza fàcilment a ordres superiors. Considerarem dos mètodes:
- Mètode de variació de les constants. És un mètode general que serveix tant per a equacions amb coeficients constants com no constants.
- Mètode dels coeficients indeterminats. És un mètode ràpid que ens estalvia la inte- gració, però que només es pot aplicar a equacions amb coeficients constants i per a uns tipus particulars d’equacions.