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Ejercicios resueltos de ecuaciones diferenciales
Hugo Lombardo Flores
13 Abril 2011
1 Ecuaciones diferenciales de primer orden
1.1 Ecuaciones lineales y reducibles a estas.
dy dx + 2y^ = 0 Definimos el factor integrante. p(x) = 2 factor integrante: e
´ (^) 2dx = e^2 x multiplicamos la ecuacion por el factor integrante. e^2 x^ ddyx + 2e^2 x^ = 0 el lado izquierdo de la ecuacion se reduce a: d^ dx [e^2 xy] = 0 separamos variables e integramos. ´ (^) d dx [e^2 xy] = 0^
dx + c e^2 xy = c y = ce−^2 x
dy dx = 3y forma lineal. dy dx −^3 y^ = 0 p(x) = − 3 Factor integrante: e
´ (^) −3dx =e−^3 x multiplicamos por factor integrante.
e−^3 x^ d dyx − 3 e−^3 xy = 0 ´ (^) dy dx [e−^3 xy^ = 0^
dx + c e−^3 xy = c y = ce^3 x
3 d dyx + 12y = 4
pasamos la ecuacion a la forma lineal. dy dx + 4y^ =^43 p(x) = 4
Factor integrante: e
´ (^) 4dx =e^4 x e^4 x^ d dyx + 4e^4 xy = 43 e^4 x ´ (^) d dx [e^4 xy] =^
e^4 xdx + c e^4 xy = 14 e^4 x^ + c y = 14 + ce−^4 x
y′ = 2y + x^2 + 5
forma lineal
y′ − 2 y = x^2 + 5
Factor integrante: e
´ (^) −2dx = e−^2 x e−^2 xy′ − 2 e−^2 xy = e−^2 xx^2 + 5e−^2 x ´ (^) d dx [e−^2 xy] =^
e−^2 xx^2 + 5
e−^2 x^ + c e−^2 xy = − 52 e−^2 x^ − 14 e−^2 x(2x^2 + 2x + 1) + C
y = − x 22 − x 2 − 14 + 52 + ce^2 x
ydx − 4(x + y^6 )dy = 0 ydx = 4(x + y^6 )dy d dyx = 4(x+ y y^6 ); d dxy = (^4) yx + 4 y y^6
Sustituimos en la ecuacion diferencial 1. 1 3 u−^2 /3 d u dx +^ u^1 /^3 x =^
2(u^1 /^3 )^2 x
Acomodamos a la forma lineal, multiplicando toda la ecuacion por 13 u^2 /^3.
d dux + 3 ux = (^6) x
Esta es una ecuacion lineal. De nimos el factor integrante.
e^3
´ (^1) x dx^ = e3 log^ x^ = elog^ x^3 = x^3
Multiplicamos por factor integrante.
x^3 dudx + 3x^3 ux = x3 6 x
dxd [x^3 u] = 6x^2
integramos. ´ (^) d dx [x^3 u] = 6^
x^2 + c x^3 u = 2x^3 + c u = 2 + cx−^3
Sustituimos u = y^3
y^3 = 2 + cx−^3
- y^1 /^2 dydx + y^3 /^2 = 1; condicion y(0) = 4 dy dx +^ y^3 /^2 y^1 /^2 =^ 1 y^1 /^2 ↔^ dy dx +^ y^ =^ y−^1 /^2 u = y^1 −n; n = − 1 / 2 ; u = y^1 −(−^1 /2)^ = y^3 /^2 u^2 /^3 = y (^23) u− 1 / 3 dudx = dydx
Sustituimos. 2 3 u−^1 /^3 du dx +^ u^2 /^3 = (u^2 /^3 )−^1 /^2
Multiplicamos la ecuacion por 23 u^1 /^3
dudx + 32 u = (^32)
La ecuacion se redujo a una lineal. Factor integrante: e 32
´ (^) dx = e 32 x
e 32 x dudx + e 32 x^32 u = e 32 x^32
dx^ d [e^32 xu] =^32 e^32 x ´ (^) d dx [e^
(^32) xu] = ´^3 2 e^
(^32) xdx + c
e 32 xu = e 32 x^ + c u = 1 + ce−^32 x
Sustituimos u = y^3 /^2
y^3 /^2 = 1 + ce−^32 x^ Solucion general.
Ahora aplicamos las condiciones iniciales. y(0) = 4 43 /^2 = 1 + ce−^32 8 − 1 = c c = 7 Sustutuimos el valor de c en la ecuacion general.
y^3 /^2 = 1 + 7e−^32 x Solucion particular.
y′ +^2 x y = − 2 xy^2
u = y^1 −n; donde n = 2 entonces: u = y^1 −^2 ; u = y−^1 ; u−^1 = y
−u−2 d dux = d dyx
sustituimos en la ecuacion.
−u−2 d dux + (^2) x u−^1 = − 2 x(u−^1 )^2
multiplicamos por −u^2
d dux − (^) x (^2) u = 2x
esta es una ecuacion lineal con p(x) = − (^2) x obtenemos el factor integrante.
e−^2
´ (^1) x dx^ = elog^ x−^2 = x−^2 x−2 d dux − x−2 2 x u = x−^22 x d dx [x−^2 u] = 2x−^1
integramos.
1.2 Ecuaciones exactas y reducibles a exactas.
1 .(2x − 1)dx + (3y + 1)dy = 0 M (x, y) = 2x − 1; N (x, y) = 3y + 1 Comprobamos que la ecuacion sea exacta, esto es si secumple la condicion ∂M ∂y =^ ∂N ∂x ∂M∂y = 0 ; ∂N∂x = 0
son iguales, por lo tanto la ecuacion es exacta. Ahora tomamos una funcion fx(x, y) = M (x, y) fx(x, y) = 2x − 1 integramos respecto a x, y la constante de integracion sera una funcion g(y) ´ (^) ∂M ∂x = 2^
xdx −
dx + g(y) f (x, y) = x^2 − x + g(y)... (1) Esta funcion la derivamos con respecto de y. ∂f∂y = g′(y)
igualamos con N(x,y) g′(y) = 3y + 1 integramos respecto a y ´ g′(y) = 3
ydy +
dy + c g(y) = 32 y^2 + y + c sustituimos la funcion en (1). x^2 − x + 32 y^2 + y = c esta es una solucion en forma implicita de la ecuacion.
(seny − ysenx)dx + (cosx + xcosy − y)dy = 0 M (x, y) = seny − ysenx; N (x, y) = cosx + xcosy − y ∂M ∂y =^ cosy^ −^ senx ∂N∂x = −senx + cosy
∂M∂y = ∂N∂x por lo tanto es una ecuacion exacta. tomamos fx(x, y) = seny − ysenx integramos con respecto a x ´ fx(x, y)dx =
(seny − ysenx)dx f (x, y) = xseny − y(−cosx) + g(y)...(1) derivamos esta ecuacion respecto a y, e igualamos con N(x,y) fy (x, y) = cosx + xcosy + g′(y) = cosx + xcosy − y g′(y) = −y integramos respecto de y ´ g′(y) = −
ydy + c g(y) = − 12 y^2 + c sustituimos en (1) f (x, y) = xseny + ycosx − 12 y^2 nos queda la solucion implicita. xseny + ycosx − 12 y^2 = c
(3x^2 y + ey^ )dx = −(x^3 + xey^ − 2 y)dy M (x, y) = 3x^2 y + ey^ ; N (x, y) = x^3 + xey^ − 2 y My (x, y) = 3x^2 + ey Nx(x, y) = 3x^2 + ey My (x, y) = Nx(x, y) entonces es una ecuacion diferencial exacta. Integramos fx(x, y) con respecto de x, y obtenemos una funcion g(y) de constante de integracion.
f (x, y) =
(3x^2 y + ey^ )dx f (x, y) = x^3 y + xey^ + g(y)... (1) Derivamos con respecto de y (1) e igualamos con N(x,y) fy (x, y) = x^3 + xey^ + g′(y) = x^3 + xey^ − 2 y g′(y) = − 2 y
derivamos respecto a y: fx(x, y) = 2x − 3 x^2 y^2 + g′(y) igualamo con N (x, y) 2 x − 3 x^2 y^2 + g′(y) = 2x − 3 x^2 y^2 − 1 g′(y) = − 1 integramos: g(y) = −y + c sustituimos en (1) 2 xy − x^2 y^3 + 2x^2 + 6x − y = c... solucion implicita. para y(−1) = 0 2(−1)^2 + 6(−1) = c c = − 4 entonces la solucion particular al caso y(-1)=0 es: 2 xy − x^2 y^3 + 2x^2 + 6x − y = − 4
(−xy sin x + 2y cos x)dx + 2x cos xdy = 0;
Use el factor integrante μ(x, y) = xy
My (x, y) = −x sin x + 2 cos x Nx(x, y) = − 2 x sin x + 2 cos x NX 6 = My la ecuacion es no exacta, en este ejemplo se nos dio el factor integrante, por lo tanto procedemos a multiplicar toda la ecuacion por el factor integrante.
xy(−xy sin x + 2y cos x)dx + xy(2x cos x)dy = 0 (−x^2 y^2 sin x + 2xy^2 cos x)dx + (2x^2 y cos x)dy = 0 comprobamos que esta ecuacion sea exacta. My (x, y) = − 2 yx^2 sin x + 4xy cos x NX (x, y) = 4xy cos x − 2 x^2 y sin x MY = NX por lo tanto esta ecuacion es exacta y la resolvemos como tal.
fx(x, y) = −x^2 y^2 sin x + 2xy^2 cos x integramos respecto a x: f (x, y) =
(−x^2 y^2 sin x + 2xy^2 cos x)dx f (x, y) = x^2 y^2 cos x + g(y)...(1) derivamos respecto a y: fy (x, y) = 2x^2 y cos x + g′(y) igualamos con Nx 2 x^2 y cos x + g′(y) = 2x^2 y cos x g′(y) = 0 integramos respecto a y: g(y) = c sustituimos en (1) f (x, y) = x^2 y^2 cos x + c
2 Ecuaciones de orden superior
2.1 Ecuaciones diferenciales de orden superior reducibles
a primer orden.
- y′′ = 2x^2 Integramos ambos lados de la ecuacion: ´ y′′ = 2
x^2 dx + c y′ = 23 x^3 + c 1 Volvemos a integrar: ´ y′ = (^23)
(x^3 + c 1 )dx + c 2 y = ( 23 )( 14 )x^4 + xc 1 + c 2 Solucion: y = 16 x^4 + c 1 x + c 2
2.2 Reducibles a primer orden
- xy′′ + y′ = 0 De niendo: p(x) = dydx dpdx = ddx^2 y 2 xp′ + p = 0 nos queda una ecuacion lineal homogenea de orden 1 de variables separables. (^1) x dx = − (^1) p dp ´ (^1) x dx^ =^ −^
p dp^ +^ c^1 log x = − log p + log c 1 log x = log( c p^1 ) Aplicando exponencial a ambos lados de la ecuacion. x = c p^1 hacemos p(x) = dydx x = (^) dy/dxc! x = c 1 dxdy integrando: ´ (^1) x dx^ =^ c^11
dy + c 2 log x = (^) c^11 y + c 2 y = c 1 log x + c 2. La constante de integracion conviene que tome valor positivo. 2.(x − 1)y′′ − y′= De nimos: p(x) = dydx dpdx = ddx^2 y 2 (x − 1)p′ − p = 0 Dividimos entre (x − 1) x x−− (^11) p′ − (^) x− (^11) p = 0 p′ − (^) x−^11 p = 0 nos queda una ecuacion lineal homogenea. dp dx −^ x^1 − 1 p^ = 0 dp dx =^ 1 x− 1 p (^1) p dp = (^) x− (^11) dx integrando: ´ (^1) p dp^ =^
x− 1 dx^ +^ c^1
log(p) = log(x − 1) + log(c 1 ) log(p) = log[c 1 (x − 1)] p = c 1 (x − 1) haciendo p = dydx dy dx =^ c^1 (x^ −^ 1) dy = c 1 (x − 1)dx integrando: ´ dy = c 1
(x − 1)dx + c 2 y = c 1 12 x^2 − x + c 2
2.3 Ecuaciones lineales homogeneas.
1.y′′ + y′ − 2 y = 0 Resolvemos la ecuacion caracteristica asociada. m^2 + m − 2 = 0 (m + 2)(m − 1) = 0 m 1 = − 2 m 2 = 1 Suponemos una solucion y = emx y 1 = e−^2 x y 2 = ex y(x) = c 1 e−^2 x^ + c 2 ex
y′′ − 2 y′ + y = 0 Ecuacion caracteristica asoiada m^2 − 2 m + 1 = 0 (m − 1)^2 = 0 m 1 , 2 = 1 solucion y = emx y 1 = ex y 2 = y 1 ´ (^) e^ ´^ p(y)dy y 12 dx y 2 = ex^ ´ (^) e 2 x e^2 x^ dx y 2 = exx solucion. y(x) = c 1 ex^ + c 2 xex
- 4 y′′ − 8 y′ + 5y = 0
m 1 , 2 = −^4 ±
√− 36 2 m 1 , 2 = − 2 ± 3 i Solucion: y(x) = e−^2 x(c 1 cos 3x + c 2 sin 3x) y′(x) = e−^2 x(− 3 c 1 sin 3x + 3c 2 cos 3x) − 2 e−^2 x(c 1 cos 3x + c 2 sin 3x) Resolveremos para los casos y(0) = 2 y y′(0) = − 3 particularmente. Para y(0) = 2 2 = e^0 (c 1 cos 0 + c 2 sin 0) 2 = c 1 Para y′(0) = − 3 −3 = e^0 (− 3 c 1 sin 0 + 3c 2 cos 0) − 2 e^0 (c 1 cos 0 + c 2 sin 0) −3 = 3c 2 − 2 c 1 −3 = 3c 2 − 2(2) −3 + 4 = 3c 2 c 2 = (^13) Por lo tanto la solucion para el caso en general es: y(x) = e−^2 x(2 cos 3x + 13 sin 3x)
- ddx^4 y 4 − 7 ddx^4 y 2 − 18 y = 0 Ecuacion caracteristica: m^4 − 7 m^2 − 18 = 0
2.4 Ecuaciones no homogeneas de segundo orden
2.4.1 Coe cientes indeterminados.
y′′ + 3y′ + 2y = 6 Resolvemos la ecuacion homogenea asociada yh = y′′ + 3y′ + 2y = 0 Ecuacion caracteristica: m^2 + 3m + 2 = 0 (m − 1)(m − 2) m 1 = 1 m 2 = 2 yh = c 1 ex^ + c 2 e^2 x Ahora resolvemos la parte no homogena suponiendo una solucion particular.
en este caso la parte no homogenea es 6, lo que nos sugiere usemos una solucion de la forma A yp = A y′p = 0 y′′p = 0 Sustituimos en la ecuacion original. 0 + 3(0) + 2A = 6 A = 3 Entonces la solucion es y(x) = yh + yp y(x) = c 1 ex^ + c 2 e^2 x^ + 3
- y′′ + y = sin x Resolvemos primer la ecuacion homogenea asociada. y′′ + y = 0 La ecuacion caracteristica de esta ecuacion es. m^2 + 1 = 0 m^2 = − 1 m 1 , 2 = ±
− 1 m 1 , 2 = α ± βi donde α = 0 y β = 1 m 1 , 2 = ±i yh = c 1 eαx^ cos βx + c 2 eαx^ sin βx yh = c 1 cos x + c 2 sin x Ahora buscamos una solucion particular, para sin x nos proponen una solucion de la forma A sin x + B cos x, sin embargo podemos observar que esta ya es una solucion de la ecuacion homogenea asociada y′′ + y = 0, entonces segun la regla de multiplicacion para este caso, debemos multiplicar por xndonde n es el numero de enteros positivos que elimina la duplicacion. yp = Ax sin x + Bx cos x y′p = A sin x + Ax cos x + B cos x − Bx sin x y′′p = A cos x + A cos x − Ax sin x − B sin x − Bx cos x − B sin x = 2 A cos x − 2 B sin x − Ax sin x − Bx cos x Sustituimos en la ecuacion original 2 A cos x − 2 B sin x − Ax sin x − Bx cos x + Ax sin x + Bx cos x = sin x 2 A cos x − 2 B sin x = sin x 2 A = 0 entonces A = 0 − 2 B = 1 entonces B = − (^12) Sustituyendo yp = − 12 x cos x
A = 1
2 A + B = 2
B = 2 − 2 = 0
12 A + B + C = 0
12 A + C = 0
C = − 12 A = − 12
yp = x^2 − (^12) y(x) = yh + yp y(x) = c 1 e−^2 x^ + c 2 xe−^2 x^ + x^2 − (^12)
- y′′ + 3y = − 48 x^2 e^3 x Se resuelve la parte homogenea. y′′+3y= m^2 + 3 = 0 m 1 , 2 =
− 3 m 1 , 2 =
3 i yh = c 1 cos
3 x + c 2 sen
3 x suponemos una solucion particular para − 48 x^2 e^3 x yp = e^3 x(Ax^2 + Bx + C) y′p = 3e^3 x(Ax^2 + Bx + C) + e^3 x(2Ax + B) y′′p = 9e^3 x(Ax^2 + Bx + C) + 3e^3 x(2Ax + B) + 3e^3 x(2Ax + B) + e^3 x(2A) = 9e^3 x(Ax^2 + Bx + C) + 3e^3 x(4Ax + 2B) + e^3 x(2A) Susituimos en la ecuacion. 9 e^3 x(Ax^2 + Bx + C) + 3e^3 x(4Ax + 2B) + e^3 x(2A) + 9e^3 x(Ax^2 + Bx + C) + 3e^3 x(2Ax + B) = − 48 x^2 e^3 x 9 e^3 xAx^2 + 9e^3 xBx + 9e^3 xC + 12e^3 xAx + 6e^3 xB + 2e^3 xA + 9e^3 xAx^2 + 9 e^3 xBx + 9e^3 xC + 6e^3 xAx + 3e^3 xB = − 48 x^2 e^3 x 9 A + 9A = − 48 18 A = − 48 A = − (^83) B = 0 C = 0 6.y′′ − y′ = − 3 y′′-y′= m^2 − m = 0 m(m − 1) = 0 m 1 = 0 m 2 = 1
yh = c 1 e^0 x^ + c 2 ex^ = c 1 + c 2 ex En este caso podemos ver claramente que existe ya una solucion que es c 1 igual con − 3 entonces por la regla de multiplicidad. la solucion propuesta yp = Ax yp = Ax y′p = A y′′p = 0 Sustituyendo en la ecuacion. 0 − A = − 3 entonces, A = 3 yp = 3x y(x) = yh + yp y(x) = c 1 + c 2 ex^ + 3x
- y′′′ − 6 y′′ = 3 − cosx Ecuacion homogenea asociada yh = y′′′ − 6 y′′ = 0 m^3 − 6 m^2 = 0 m^2 (m − 6) = 0 m 1 , 2 = 0 m 3 = 6 yh = c 1 + c 2 x + c 3 e^6 x La solucion particular propuesta para 3 − cosx es yp 1 = A yp 2 = Bcosx + Csenxsin embargo en la solucion yp 1 se repite la con- stante, entonces la multiplicamos por x de acuerdo a la ley de multiplicidad nos queda.yp 1 = Ax^2 yp = Ax^2 + Bcosx + Csenx y′p = 2Ax − Bsenx + Ccosx y′′p = 2A − Bcosx − Csenx y′′′p = Bsenx − Ccosx Susituyendo en la ecuacion original. Bsenx − Ccosx − 12 A + 6Bcosx + 6Csenx = 3 − Cosx − 12 A = 3 ; A = − (^14) 6 B − C = 1...(1) 6 C + B = 0...(2) Igualando 1 y 2 B = 376 C = 371 yp = 12 x^3 + 376 cosx + 371 senx y(x) = c 1 + c 2 x + c 3 e^6 x^ − 14 x^2 + 376 cosx + 371 senx
