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Es decir la longitud de onda juega el mismo papel en el dominio espacial que el periodo de una señal en el dominio temporal Ejemplo 1 Una onda plana con una frecuencia de 1 GHz se propaga por un medio infinito con permitividad dieléctrica relativa, (^) r 9 y permeabilidad magnética relativa, (^) r 4_. Calculad la longitud de onda, velocidad de fase e impedancia de onda._ La velocidad de fase se calcula a partir de (70) simplemente incluyendo las constantes de permitividad y permeabilidad del medio: 1 1 3·10^8 0,5·10 m/s p o r o r r r 9· v c
Donde observamos que es 6 veces menor que la velocidad de propagación de la luz en el vacío. La longitud de onda se calcula igualmente a partir de (71): 8 9
3·10 (^) 0, 05 m · 6·1·
p r r
v (^) c f (^) f
Mientras que la impedancia de la onda (69) se calcula de nuevo contemplando las constantes de permitividad y permeabilidad del medio:
(^4) 251,3 Ω 9
o r (^) o r o o r r
^
Ejemplo 2
Obtened la expresión del campo eléctrico para una onda que viaja en el vacío, propagándose en la dirección de z , sentido positivo, con el campo eléctrico orientado en la dirección y de amplitud Eo y frecuencia 600 MHz. Así como la expresión del campo eléctrico instantáneo.
La longitud de onda en el vacío de una onda a frecuencia 600 MHz es, (71): 8 8
3·10 0,5 m
v p c
f f
Con lo cual la constante de fase o número de onda, (71), en el vacío resulta tener el valor:
ko (76)
El campo eléctrico tendrá orientación en y , amplitud constante y se propaga en la dirección de z , sentido positivo.
Así, en notación fasorial, la expresión del campo eléctrico es:
E z ( ) yE e o jk zo yE e o j 4 z (77)
Mientras que la expresión del campo eléctrico instantáneo (66) resultante es:
( , ) Re ( ) Re 4 Re (^4 )
Re (cos( 4 ) sin( 4 ))
cos( 4 )
j t j z j t j t z o o o o
z t E z e yE e e yE e
yE t z j t z
yE t z
^ ^ ^ ^ ^
^
E
(78)
Donde se ha hecho uso de la relación de Euler e j^ ^ cos( ) j sin( )
6.2.2. APLICACIÓN. EFECTO DOPPLER.
Imaginemos un terminal de telefonía móvil que se encuentra en reposo y separado una distancia ( d ),
Ejemplo 3
Dada la existencia de dos ondas planas que se propagan en la dirección z ^ :
1 / 4 2 / 4
o^ j^ kz j kz o
E r yE e e E r x y E e e
Demostrad que la suma de ambas resuelve una nueva onda plana.
Calculamos la suma de las dos expresiones del campo eléctrico en notación fasorial sumando componente a componente.
1 2 / 4^ / 4 / 4 / 4 / 4 / 4 / 4
o j^ kz^ o j^ kz j j kz o j j j kz o
E r E r E r yE e e x y E e e E ye x y e e E xe y e e e
^
^
(130)
Mediante la relación de Euler, podemos simplificar
Apuntes de Radiación y Ondas Guiadas
/ 4
/ 4 / 4
cos( ) sin( )
cos( / 4) sin( / 4) 2 2 2 2
2 sin( ) 2 sin( / 4) 2
j
j
j j j j
e j
e j j y e e j e e j j
(131)
De forma que obtenemos.
( ) ^ (1 ) 1 2 2
kz E r Eo x j y j e ^
(132)
Donde fácilmente comprobamos que el vector polarización campo eléctrico y el vector dirección de propagación siguen siendo perpendiculares al demostrar que el producto escalar de los dos vector es cero.
Ejemplo 4 El campo eléctrico de una onda plana uniforme tiene la expresión E r ( ) (^) Eo (^) x (^) j y j z e (^) j 8 ( y z ) , Obtened el vector dirección de propagación, el
número de onda y la longitud de onda. Calculad la expresión del campo magnético asociado y la expresión del campo eléctrico instantáneo.
Conocida la expresión general de la solución de onda plana: ( ) (^) (^) j k r ( ) E r E eo (133) Podemos identificar términos comparando la expresión con la expresión de la onda plana del enunciado, de forma que la amplitud del campo eléctrico es: E (^) (^) o Eo (^) x (^) j y j z (^) (134)
Que como vemos es uniforme y no depende del vector posición. El vector dirección de propagación resultante:
cos( t )^2 , y la potencia en un periodo
viene dada por:
Aunque usando voltios y amperios eficaces el factor ½ también desaparece. Ejemplo 6 Sabemos que una onda electromagnética de frecuencia 3 GHz se propaga por el vacío. El campo eléctrico asociado tiene una amplitud Eo 1V/m , orientado en la dirección x y que se propaga en la dirección z. Obtened la expresión fasorial de la onda para el campo eléctrico, para el campo magnético y la densidad de flujo de potencia asociada. La expresión general de la solución de onda plana (122) para el caso general de propagación en una dirección genérica del espacio es E r ( ) eE eo j k r
(150) Por construcción el campo eléctrico tiene la amplitud de 1 V/m. Y está orientado en la dirección x Como se propaga en la dirección de z , el vector dirección de propagación es k^ ^ ko^ ·(0, 0,1) k ko
Y el número de onda (71) es: 9 8
o 310 k f c
Así la expresión del campo eléctrico es E r^ ( )^ ^ x e^1 j^20^^ z (152)
La orientación del campo magnético debe ser en y , podéis obtenerlo aplicando la regla del sacacorchos o matemáticamente calculando el producto vectorial h ^ kxe ^ ^ zxx ^ y
( ) ^1 j^^20 z o
H r y e^
Por último, la densidad de potencia es
(^2 2 2 ) ( ) 1 1 1 ·^1 1 0.001326 W/m^2 2 2 2 2 240
o j k r^ o j k r o o o o o
E E e E e E P r k
^ ^
10.1. ENERGÍA Y POTENCIA.
En general una fuente de energía electromagnética crea unos campos que almacenan energía eléctrica y magnética y transportan potencia que puede ser transmitidam o disipada en forma de pérdidas. En régimen permanente sinusoidal, el valor medio de la energía eléctrica almacenada en un volumen V viene dado según:
02 01
arctan( E ) E
. Observad la Figura 27, sería
la situación donde los vectores se suman para dar un vector resultante que llamamos ET
.
Figura 27 Representación en un plano fijo de la orientación del vector campo eléctrico en función del tiempo.
Ejemplo 7
Analizad la polarización de una onda para los siguientes casos: E xE e^ o jkz
y E ( x^ y E e ) (^) o jkz
.
La onda plana definida según E xE e^ o jkz
se trata de una única onda, con polarización lineal según x.
La onda plana definida según E ( x^ y E e ) (^) o jkz
se trata de dos ondas planas con orientación x e y respectivamente. La suma será una onda plana cuya polarización vamos a resolver a partir de la definición de una base donde aplicar el criterio. Tomaremos: e 1^ x y e 2^ y y comprobaremos que se cumple
que el vector dirección de propagación de la nueva base está bien definido según k ^ e xe 1 ^2 z ^.
Como la diferencia de fases entre componentes es 0 podemos asegurar que la onda sigue siendo una onda plana con polarización lineal. Pero además podemos decir que tendrá un plano de orientación inclinado a
45º ya que podemos calcular 1 2
arctan( ) arctan( )^1 45º 1
o o
E
E
multiplicando la densidad de potencia por el área efectiva (unidades m ), obtenemos la potencia captada por la antena. Obtenemos el área efectiva de una antena de la directividad, que es un dato que proporciona el fabricante. Ejemplo 8 Calculad las expresiones completas de dos ondas planas y uniformes de igual frecuencia, que se propagan en la dirección z ^ , sentido positivo, una con polarización helicoidal negativa y la otra con polarización helicoidal positiva y que cumplen con las siguientes condiciones:
o o
r t E x r t E y
E
E
(176)
La expresión fasorial del campo eléctrico con la condición de polarización circular a derechas, que viaja en la dirección de z ^ , en sentido positivo es: E ( ) z Eo (^) e 1 je 2 (^) e jkz (^)
(177)
Sabemos que el campo eléctrico instantáneo está orientado según x , sentido positivo, en el origen, E (^) (0, 0) E xo , así pues podemos, por ejemplo, tomar por igualación e (^1) x , y calcular la orientación de e (^2) ,
por perpendicularidad, ya que ambos tienen que estar orientados en la dirección transversal a la dirección de propagación.
1 2 2 1 det^0 0 1 1 0 0
x y z e xe k e kxe y
^
Así pues E^ ^ ( ) z Eo (^) x^ j y e jkz
Equivalentemente para la onda con polarización circular a izquierdas E ( ) z Eo (^) e 1 (^) je 2 (^) e jkz (^)
(178)
Por igualación tomamos e ^1 y , obtenemos entonces e ^2 :
1 2 2 1 det 0 0 1 0 1 0
x y z e xe k e kxe x
Obteniendo:
E^ ^ ^ ( ) z Eo (^) y^ j x e jkz (179) Es interesante observar que si sumamos las dos ondas que se propagan en la misma dirección obtenemos: ^ ^ (^) / 4
jkz jkz o o jkz j jkz o o
E z E z E z E x j y e E y j x e
E x y j e E x y e^ e
(^)
(180)
Y se trata de una onda plana polarizada linealmente,
e ^ x^ y
Utilizando la expresión (126) podemos obtener directamente la expresión del campo magnético de la expresión del campo eléctrico simplemente calculando el producto vectorial del vector dirección de propagación por el vector
