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EJEMPLO 1
Se calculan los posibles errores que pueden cometerse con las hipótesis. Vamos a
realizarlo para un ejemplo de la media poblacional = .
De los posibles cuatro planteamientos de hipótesis:
I
SIMPLE
Bilateral
0 0
1 0
H
H
θ θ
θ θ
II
Unilateral a la
izquierda
0 0
1 0
H
H
θ θ
θ θ
o
0 0
1 0
H
H
θ θ
θ θ
III
Unilateral a la
derecha
0 0
1 0
H
H
θ θ
θ θ
o
0 0
1 0
H
H
IV
COMPUESTA
Bilateral
0 1 2
1 1 2
H
H o
Nos quedamos con el caso más sencillo:
Para una población normal (, 10) de media poblacional desconocida y desviación
típica poblacional conocida igual a 10, se plantan las hipótesis:
Esto es, la hipótesis nula es que la media poblacional es 10, y la alternativa es que no es 10, sino que es 20. Son hipótesis simples. Otras posibles hipótesis con las que trabajaremos son:
I. SIMPLE Bilateral: : = 10
II. Unilateral IZQUIERDA: : = 10
II. Unilateral DERECHA: : = 10
Si es la izquierda o a la derecha lo fija, como puede comprobarse, la hipótesis alternativa.
NO ENTRAREMOS EN HIPÓTEISIS COMPUESTAS.
Volviendo a las hipótesis:
Para poder contrastar si el cierto o no que la media poblacional sea 10, se hace uso de una muestra aleatoria simple m.a.s ( = 100): = , , … ,
El contraste de significación consistirá en medir si la diferencia entre la hipótesis ( = 10) y el estadístico de la muestra, en este caso la media muestral ̅, es muy grande, en concreto, significativamente grande. Ese punto en el que se divide si es grande o no, si se puede aceptar o no la hipótesis es el punto de separación o el valor crítico del contraste. Vamos a suponer en este ejemplo que ese valor crítico es 16, entonces: o Si ̅ < 16 aceptamos la hipótesis nula = 10: Región de aceptación (R.A) o Si ̅ > 16 rechazamos la hipótesis nula = 10 y aceptamos la alternativa = 20: Región crítica o de rechazo (R.C)
Recordamos los errores posibles:
Estados de la naturaleza (realidad)
Decisión H 0 cierta H 0 falsa
Aceptar H 0
(Rechazar H 1 )
Decisión correcta 1-α (Nivel de confianza)
Error de Tipo II
β = P Aceptar H ( 0 (^) / H (^) 0 falsa )
Rechazar H 0
(Aceptar H 1 )
Error de Tipo I
α = P (Re chazar H (^) 0 / H cierta 0 )
Decisión correcta 1-β (Potencia del contraste)
Vamos a calcular los posibles errores que se pueden cometer y cómo no son independientes.
En nuestro caso, el error tipo I, cuando se rechaza la hipótesis nula , en este caso
cuando ̅ > 16 y luego es cierta, es decir la media poblacional es 10, = 10, se escribe
como:
= ( > 16 ⁄( = 10,10)^ )
Y el error tipo II, es cuando se acepta la hipótesis nula , aquí cuando ̅ < 16, y luego es falsa
porque la media poblacional sea 20, = 20. Se define como:
Estos errores quedan representados con la población Normal, con media de la hipótesis
nula = 10 o media de la hipótesis altenativa = 20, y recordando que como los
errores son probabilidades son las áreas del gráfico:
EN AZUL EL ERROR TIPO I
EN ROJO EL ERROR TIPO II.
EJEMPLO 2
El gasto por término medio en ocio cultural es de 150 € ( = 150 al mes para cada unidad familiar sigue una distribución normal con una desviación típica conocida de 20 € ( 20. Para contrastar esta hipótesis se extrae una muestra m.a.s de 25 unidades familiares 25 preguntado su gasto en ocio cultural y la media de gasto de dicha muestra es 138 € ̅ 138. Se fija un nivel de significación del 5% 0,05 , para estos tres supuestos de hipótesis alternativa: a) El gasto es diferente de150 € 150 b) El gasto es superior a 150 € c) El gasto es inferior a 150 €
1. Estadístico de prueba (caso): Para de ; ( con (^ conocida.
Estadístico de contraste d: ,
-̅./ 0 1 (^4) √
- Hipótesis: 150
a) BILATERAL b) UNILATERAL DERECHA c) UNILATERAL IZQUIERDA
: 150^ : 150^ : 150
- Región crítica con nivel de significación
a) BILATERAL $. 7 8|,| 6 42 :
Si 0,05 , entonces ; 0,025 y el valor de z es el que corresponde en la tabla de la N(0,1)
es 6 ; (^4) 1,96. Y la región crítica son los dos extremos (por ello se divide el error del nivel de
significación entre 2 ó
; ), ya que la hipótesis alternativa contiene que pueda ser menor o mayor,
dado que : 150. Gráficamente:
La región crítica es, por tanto, |,| 1,96 , como está en valor absoluto, porque puede ser menor o mayor es $. 7. , 1,96 ó , "1,96 . Esto es la zona sombreado en verde, y la zona central en blanco es la región de aceptación.
b) UNILATERAL DERECHA $. 7 = , > 6
Como ahora la hipótesis alternativa es que la media es superior (^) : 150 , la región crítica estará a la derecha, calculada con el nivel de significación . Entonces, si 0,05 el valor de z es el que corresponde en la tabla de la N(0,1) es (^6) ; 1,645.
La región crítica es, por tanto, $. 7 , 1,645 . Esto es la zona sombreado en gris, y la
zona de la izquierda en blanco es la región de aceptación.
c) UNILATERAL IZQUIERDA $. 7 , "6
Al contrario que el caso anterior la hipótesis alternativa es que la media es inferior a (^) : 150, entonces la región crítica está a la izquierda calculada con el nivel de significación . Entonces, si 0,05 el valor de z es el que corresponde en la tabla de la N(0,1), recordando que la distribución es simétrica, es "6; "1,645.
La región crítica es, por tanto, $. 7 , "1,645 . Esto es la zona sombreado en amarillo,
y la zona de la derecha en verde es la región de aceptación.
- Valor del estadístico , y decisión
Ya tenemos definidas las regiones críticas y de aceptación para cada uno de los tres distintos tipos de hipótesis alternativa. Sólo queda comprobar, para cada uno de los tipos, si la diferencia , con los datos de nuestra muestra concreta con ̅ 138 y 25 está dentro de la zona de aceptación o de la zona de rechazo o crítica. En el primer caso se aceptaría la hipótesis nula : 150 y en el segundo caso se rechazaría la nula y se aceptaría la alternativa. Lo comprobamos. Primero se calcula la diferencia para la muestra concreta, en este ejemplo con ̅ 138 y 25:
Se comprueba que la diferencia de , = "3 es grande, suficientemente significativa para estar en la región crítica, por tanto, se rechaza la hipótesis nula de que el gasto medio es de 150 € y se acepta la alternativa (^) : 150. Finalmente, puede concluirse con un nivel de significación del 5% que el gasto medio en ocio cultural es inferior a 150 € mensuales por unidad familiar.
Toma de decisión con el p-valor: p-valor es la probabilidad de obtener una discrepancia o diferencia superior a la que da la muestra. Esto es:
p − valor = P d ( ≥ d (^) 0 / H 0 )
Dependiendo de las distintas posibilidades de hipótesis alternativa, por ejemplo:
- Para el caso c) unilateral a la izquierda: @ " ABCDE , "3 6 "3 0,0013 0,13%
- Para el caso a) bilateral, como es a los dos lados se multiplica por 2: @ " ABCDE 2 ∙ , "3 2 ∙ 6 "3 2 ∙ 0,0013 0,0026 0,26%
Ya hemos visto que el caso b) no tendría sentido. Con el p-valor también se puede tomar la decisión de aceptar o rechazar la hipótesis nula, comparando con el nivel de significación de este modo: o Si @ " ABCDE se rechaza la hipótesis nula o Si @ " ABCDE se acepta la hipótesis nula
En nuestro ejemplo, para el caso c), como @ " ABCDE 0,13% 5%, al igual que antes, se rechaza que el gasto medio sea 150 € y se acepta que es inferior a esos 150 € mensuales.
La ventaja de utilizar el @ " ABCDE es que permite la toma de decisiones para cualquier nivel de significación . Por ejemplo, si ahora cambiáramos el nivel de significación del 5% al 1% (porque se quiera menor error tipo I) sin tener que volver a obtener las nuevas regiones críticas, ya puede concluirse que se sigue rechazando pues @ " ABCDE 0,13% 1%.
EJEMPLO 3
Para el ejemplo anterior obtener el intervalo de confianza al 95% para gasto medio en ocio cultural de una unidad familiar con una desviación típica conocida poblacional de 20 € (( = 20. Comparar el intervalo de confianza con las regiones del contraste de hipótesis.
Intervalo de confianza y contraste de hipótesis:
Caso: Para de ; ( , con (^ conocida
Desde que ̅ 138 y 25:
H I J ∓ 6 ; 4 ∙
√^
L
M
I138 ∓ 1,96 ∙
L
NO%
P130,16; 145,84QNO%
Y recordando, el cálculo según el gráfico, para
; 0,025^ de una N(0,1)
Entonces, el cálculo para el intervalo de confianza coincide con el de la región de aceptación de un contraste de hipótesis bilateral. Por tanto, el intervalo de confianza nos da los valores de la media poblacional dentro de la región de aceptación.
La hipótesis del ejemplo anterior es que : 150, ese valor no está dentro del intervalo
de confianza, pues 150 ∉ P130,16; 145,84Q95%, entonces no está dentro de la región de
aceptación y, por tanto, está en la región crítica por lo que se rechaza para el caso bilateral la hipótesis nula que indica que el gasto medio es de 150 €.
