Estadística Empresarial I: Temas de Estadística Descriptiva - Prof. 1758, Ejercicios de Estadística Empresarial

¡Descarga Estadística Empresarial I: Temas de Estadística Descriptiva - Prof. 1758 y más Ejercicios en PDF de Estadística Empresarial solo en Docsity!

Descargado en:

patatabrava .com

ESTADÍSTICA EMPRESARIAL I - GRADO EN A.D.E

(URJC)

ESTADISTICA EMPRESARIAL I - TEMARIO

COMPLETO (TEORIA + PRACTICA)

DÍAZ CHAO, ÁNGEL 15-

Estadística Empresarial I.

Tema 1. A. E. Unidimensional.

1. Medidas de posición: media, mínimo, máximo y moda.
2. Medidas de dispersión: varianza y rango.

Medidas de posición. La media.

o Media aritmética: o Media geométrica: o Media aritmética:

Medidas de dispersión. La varianza.

o Sx = A – A Sx = Raíz cuadrada de Sx

o A = xn / N

o A =

Coeficiente de Variación: es la relación entre la desviación típica de una muestra y su media. C.V.= S /

Tipificar:

Zi =

Asimetría:

Coeficiente de asimetría de Fisher

El coeficiente de asimetría de Fisher CAF evalúa la proximidad de los datos a su media x. Cuanto mayor sea la suma (xi–x)3, mayor será la asimetría. Sea el conjunto X = (x1, x2, …, xN), entonces la fórmula de la asimetría de Fisher es:

CA =

Si CAF<0: la distribución tiene una asimetría negativa y se alarga a valores menores que la media.

Si CAF=0: la distribución es simétrica.

Si CAF>0: la distribución tiene una asimetría positiva y se alarga a valores mayores que la media.

Coeficiente de asimetría de Pearson

El coeficiente de asimetría de Pearson CAP mide la diferencia entre la media y la moda respecto a la dispersión del conjunto X= (x1, x2, xN).

Este procedimiento, menos usado, lo emplearemos solamente en distribuciones unimodales y poco asimétricas.

CA =

Si CAP<0: la distribución tiene una asimetría negativa, puesto que la media es menor que la moda.

Si CAP=0: la distribución es simétrica.

Si CAP>0: la distribución tiene una asimetría positiva, ya que la media es mayor que la moda.

Tema 2. Variables Bidimensionales.

Ejemplo:

x

y

1 3 5 n Xn

Sy = 3 + 4 + 5 + 8 + 9 + 11 / 6 - = 8.

Sxy = 91* 3 + 94* 4 + 98* 5 + 102* 8 + 106* 9 + 109* 11 / 6 – 100* 6.6 = 18

c. r = = 18 / (40.3 * 8.2) = 0.9770 Hay un 97.70% de bondad en el ajuste. Predicción fiable.

a. Sy = 8.2 = Sxerror = r * Sy = 0.9770* 8.2 = 8.

= Syerror = (1 - r ) * Sy = 0.0230* 8.2 = 0.

b. Hacer la recta de regresión para predecir la regresión de y sobre x.

y - = Sxy / Sx * (x - ) y – 6.6 = (18/ 40.3)* (x – 100)

Índice de Precios.

El índice más conocido es el IPC. Índice de Laspeyres. La ponderación es la valoración de los bienes o servicios a precios del año base y cantidades del año base.

Lp = P * q / P * q

Índice de Paasche. El cociente entre lo que consumimos cada año a precio de cada año entre lo consumido cada año a precios del año base.

Pp = P * q / P * q

Inflación: variación del índice de precios.

• Inflación intermensual: variación en un mes respecto al mes anterior.
• Inflación interanual: variación en un mes cualquiera del IPC respecto al mismo mes del año anterior.

La deflación tiene un efecto negativo en bienes de preparación a largo plazo y en las expectativas.

Índice de Cantidades.

Lq = P * q/ P * q

Pq = P * q / P * q

Deflactar Índices de Precios. Paso de Precios Corrientes a Precios Constantes.

Ejemplo

Año Precio Bien Í n d i c e P r e c i o s

Precio cts. Año 0

Í n d i c e P r e c i o s

P r e c i o s c o r r i e n t e s 0 10 100 10/1 = 10 100 10 * 1 1 11 101 11/1.01 = 10.9 101 10.9 * 1. 2 12 103 12/1.03 = 11.2 103 11.2 * 1. 3 13 105 13/1.05 = 12.1 105 12.1 * 1.

Calcular el incremento medio anual de los precios en términos constantes del año 0.

Media Geométrica: Raíz de X (dependiente del número de datos): – - 1.

PROBABILIDAD.

Es la medida de la incertidumbre asociada a un método aleatorio. Experimento : observación de una característica a propiedad de interés. Experimento aleatorio : proporciona distintos resultados sin que pueda precisar cuál de ellos aparecerá. Al conjunto de todos los resultados lo llamaremos Espacio Muestra (E).

Suceso elemental (A, B) cada uno de los resultados posibles de un experimento aleatorio que verifican que siempre ocurren uno de ellos y que son mutuamente excluyentes.

1. Concepto de Probabilidad :

Según Laplace: solo válida para sucesos equiprobables

P(A)= nº casos favorables / nº casos posibles.

La limitación es que todos los casos son igualmente probables; requiere que el número de casos posibles sean finitos.

Definición Frecuentista (Mises)

Es una definición “a posteriori” de la probabilidad.

P (A) =

Limitaciones: no puede aplicarse a sucesos que no pueden repetirse. Aunque los sucesos se repitan, la experimentación indefinida es imposible. No se puede fijar, a priori, un numero de repeticiones n tal que, a partir de él, la diferencia de frecuencia relativa y probabilidad son menor que una cantidad prefijada.

Probabilidad Subjetiva: basada en la creencia personal.

Definición Axiomática (Kolmogorov):

o La probabilidad de cualquier suceso es siempre mayor o igual a 0.P (S) 0

o La probabilidad del espacio muestral es 1: P () = 1

o La probabilidad de la unión de sucesos incompatibles es la suma de las probabilidades de cada suceso: S, S, = P (SS … S) = P (S) + P (S) + … + P (S)

Resumen de fórmulas:

Caso General Sucesos independientes

Sucesos incompatibles Condicionadas P(A/B) = P(A) P(B/A) = P(B)

P(A/B) = 0

P(B/A) = 0

Unión P(AB) = P(A) + P(B) – P(AB)

P(AB) = P(A) + P(B) –

P(A) * P(B)

P(AB) =

P(A) + P(B)

Intersección P(AB) = P(A) * P(B/A) = P(B) * P(A/B)

P(AB)

= P(A) * P(B)

P(AB) = 0

5. Teorema de la probabilidad total.

P(x) = P(A) * P(X/A) + P(A) * P(x/A) + … + P(A) * P(x/A)

Ejemplo (1):

En la entrada de una Universidad hay 3 fotocopiadoras (A, B y C). El porcentaje de fallo de cada impresora es del 3% en A, del 5% en B y del 4% en C. Un alumno elige al azar una de las impresoras. Al llegar a clase, se da cuenta de que una de las fotocopias ha salido mal.

Ejercicio:

Un ingeniero químico es el responsable de un determinado proceso en una refinería de petróleo. Experiencias previas indican que un 10% de las interrupciones del proceso son debidas solamente a fallos del equipo, un 5% debidas a combinaciones de fallo del equipo y error de operador; y un 40% en las que se involucra el error del operador. Bajo la hipótesis de que el proceso se interrumpa, calcúlese la probabilidad de que sea debido a:

a) Fallo del equipo o error del operador.

b) Solo error del operador.

c) Causa distinta a fallo del equipo o error del operador.

d) Error del operador supuesto que el equipo fallo previamente

e) Error del operador supuesto que el equipo no fallo previamente.

f) Fallo del equipo supuesto que el operador cometió un error.

g) ¿Son los sucesos “error de operador” y “fallo del equipo” independientes?

E: “fallo del equipo” O: “error del operador”

P(E) = 0.10 P(EO) = 0.05 P(O) = 0.

a.

P(EO) = P(E) + P(O) - P(E) = 0.15 + 0.40 – 0.05 = 0.

• P(E) = P(E) + P(E) = 0.10 + 0.05 = 0.

b.

P(O) = P(O) - P (E) = 0.40 – 0.05 = 0.

c.

P() = 1 - P(EO) = 0.

d.

P(O/E) = = 0.05 / 0.15 = 0.

e.

P(O) = = 0.35 / 1 -0.15 = 0.

f.

P(E/O) = = 0.05 / 0.40 = 0.

g. P(E/O) = 0. P(E) = 0. E y O son DEPENDIENTES

VARIABLES ALEATORIAS UNIDIMENSIONALES.

_1. VARIABLES CONTINUAS Y VARIABLES DISCRETAS. Función de densidad.

• Variables continuas:_ todas las probabilidades concretas en un punto (elementales) son iguales a 0; pi =

1. Integrales.

• Variables discretas.

Variables continuas.

= xn /N = xp

Propiedades de la función de densidad.

La suma de todas las probabilidades elementales en una continua es = 1.

La función de densidad es siempre definida positiva. f(x) 0.

Ejemplo:

f(x )

Kx si x e [0 , 1] 0 en otros casos

con k > 0

a. ¿k?

1 = P |a

K = 2.

b. P (, = ½) = 0 Todos las probabilidades elementales en un punto concreto son igual a 0.

P (, > 2/3).

2. VARIABLES CONTINUAS Y VARIABLES DISCRETAS. Función de distribución.

Se define como la probabilidad acumulada hasta un punto y se denota como F(x), F(x) = P ( X).

• Variables continuas. F(x) =
• Variables discretas. F(x) = P ( X).

Propiedades de la Función de Distribución.

P (a < 1) = F(b) – F(a)

La probabilidad de que una variable aleatoria tome un valor en el intervalo (a, b) es igual a la función de distribución evaluada en b menos la función de distribución evaluada en a.

La derivada de la función de distribución es la función de densidad. F’(x) = f(x)

La función de distribución evaluada en + es igual a 1. La función de distribución evaluada en - es igual a 0.

F () = 1; F (-) = 0.

La función de distribución es siempre una función monótona NO decreciente. La función de distribución es siempre continua por la derecha.

3. MEDIDAS CARACTERISTICAS DE UNA VARIABLE AEATORIA.

3. La esperanza de la suma de dos variables aleatorias cualesquiera es siempre la suma de las

esperanzas. E ( + ) = E () + E ()

4. La esperanza del producto de dos variables aleatorias es el producto de sus experiencias si son

independientes entre sí. E ( * ) = independientes = E () * E ()

Propiedades de la V ():

1. La varianza de una variable aleatoria es SIEMPRE mayor o igual a 0. Siendo 0 exclusivo cuando la

variable aleatoria tome un único valor con probabilidad 1. V () 0

2. La varianza del producto de una constante por una variable es el producto de la constante elevada al

cuadrado por la varianza de la variable aleatoria. V (K) = K V ()

3. La varianza de la suma de una constante y una variable aleatoria es igual a la varianza de una variable

aleatoria. V (k + ) = V().Ejemplo: V (3000 + ) = V ().

4. La varianza de una suma o diferencia de dos variables aleatorias es la suma de sus varianzas si son

INDEPENDIENTES entre sí.V ( ) = independientes = V () + V ()

Tipificar.

= E (), r

= - E () / r

= “eta” = y

DISTRIBUCIONES DE VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS.

1. Binomial B (0,1):

= B (0, 1)

Sea un experimento aleatorio en el que sólo puedan darse dos posibilidades: que ocurra un determinado suceso A, que llamaremos éxito, o que no ocurra dicho suceso, o sea que ocurra su complementario, que llamaremos fracaso A. Se conoce la probabilidad de ocurrencia del suceso A, y por lo tanto la de su complementario: P (A) = P; P (A) = 1 – p = q

Esperanza: E () = xp = 1p + 0q = p

Varianza: E () = = 1p + 0q = p, V() = p – p= pq

- Binomial B (n, p) Se repite el experimento n veces en las mismas condiciones (independencia). Se define la variable aleatoria Binomial. X: “nº de veces que ocurre el suceso A (nº éxitos) en n realizaciones independientes del experimento”

Por lo tanto, X: 0, 1, 2, 3, ……n X B (n, p)

La función de probabilidad es la siguiente:

P (=x) = ( ) p q = n! / x! (n – x)! * p (1 – p)

Esperanza: E () = E ( + + + ) = E () + E () + … + E () = p + p + p + p = np

Varianza: V () = V () + V () + V () + V () = pq + pq + pq + pq = npq

La Binomial B (n, p) sigue la propiedad aditiva.

Ejemplo Binomial B (n, p)

Por una carretera pasan un total de 1000 coches al día. La probabilidad de tener un accidente es 0.01. Calcular: a. El nº. esperado de accidentes cualquier día. b. La probabilidad de que no haya ningún accidente. c. La probabilidad de que haya más de 2 accidentes.

1000 coches. Probabilidad de 0.01.

a.

= nº. accidentes / día.

B (1000, 0.01)

E () = n * p = 1000 * 0.01 = 10.

b.

P ( = 0) = no accidentes.

P ( = 0) = ( ) * 0.01 * 0.99 = * 1 * 0.99 = 0.

c.

P ( > 2) = P ( = 3) + P ( = 4) + … + P ( = 1000).

Mejor esto:

1- P ( 2) = 1 – [P ( = 2) + P ( = 1) + P ( = 0)]

P ( = 0) = 0.

P ( = 1) = ( ) * 0.01 * 0.99 = * 0.01 * 0.99 = 10 * 0.

P ( = 2) = ( ) * 0.01 * 0.99 = * 0.01 * 0.99 = * 0.01 * 0.99.

2. Distribución de Poisson. = P ()

= Promedio de distribución

Función de cuantía: P ( = x) =

Ejemplo:

Probabilidad de ningún accidente.

Ejemplo:

P ( > 3) = P ( > ) = 0.

N (2, 2)

4. Distribución t – student.

La distribución t – student se diferencia de la distribución normal N (, en que:

- Se compone de variables aleatorias normales con esperanza 0 y con desviación típica

desconocida.

- En la función de densidad no es necesario conocer la desviación típica para obtener la

probabilidad, al contrario que la distribución normal, que necesita ambas.

La distribución normal se distingue de la distribución t – student en que está más contraída.

t (n) ‘’n’’ es el número de grados de libertad (nº. de normales N (0, 1) que se suman. A medida que aumenta la “n”, disminuye la dispersión. A partir de 100 grados de libertad, es prácticamente una normal N (0, 1). La t – student no cumple la propiedad aditiva.

5. Distribución Xn(Chi – cuadrado)

Es la suma de variables aleatorias normales N (0, 1) al cuadrado. Es muy utilizada, principalmente porque no toma valores negativos. E () = n; V () = 2n.

CONVERGENCIA.

Convergencia significa estudiar el comportamiento asintóticamente, en el infinito, de las

variables aleatorias. Calcular cuando tenemos un nº. de valores muy grandes.

• Tipos de convergencia.

1. Convergencia Casi Segura (Cs)

Una sucesión de variables aleatorias que converge casi seguras si: P (

Implica la convergencia de la variable aleatoria, es decir, a partir de una cierta “n”, dos

variables aleatorias a , salvo como mucho para ciertos grupos.

2. Convergencia en probabilidad (p)

P = valor mínimo

Ahora calculamos el límite de la probabilidad. Es la primera diferencia entre esta y Cs.

Implica la convergencia de la sucesión de probabilidad, no de las variables aleatorias.

3. Convergencia de distribución (d)

Sea una sucesión de variables aleatorias, con función de distribución Fn (x).

Esta sucesión converge a la variable aleatoria con distribución F (x) si y sólo si:

= F (x)

4. Convergencia en media de orden r (Mr)

Una sucesión de variables aleatorias converge en medio de orden r si y sólo si:

e

Como particular, se da como convergencia en media cuadrática:

e

Relación entre los tipos de convergencia.

Cs

P d

Mr

No hay relación en dirección contraria.

TEOREMA CENTRAL DEL LIMITE (TCL)

Una sucesión de variables aleatorias cumple el TCL, si las variables aleatorias n = + + … +

cumplen la convergencia.

Deben de ser suficientemente grandes.

No necesitan cumplirse la independencia entre las variables.

¿Cuánto es “n”? A partir de una suma de 100 V.A. o mayor de 30.

Ejemplo:

p = 0.

n = 1000

= nº de aprobados.

Calcular la probabilidad de aprobar más de 700.

P ( > 700) = P (500 + 250 > 700) = P ( > ) = P ( > 12.6) = 0