Análisis de Inversiones: Rendimiento, Covariancia y Correlación de Dos Títulos Financieros, Ejercicios de Administración de Empresas

¡Descarga Análisis de Inversiones: Rendimiento, Covariancia y Correlación de Dos Títulos Financieros y más Ejercicios en PDF de Administración de Empresas solo en Docsity!

SUPÒSIT 21

T. INV. Curs 2014/ Elaborat per la professora Ángeles Soler

Dades:

 Mercat financer amb dos títols X i Y

 Decisions d’acord amb el criteri mitjana-variància

 Tots els inversors tenen la mateixa informació:

Estat de la naturalesa

Probabilitat d'ocurrència

Rendibilitat del títol X

Rendibilitat del títol Y I 60% 25% 15% II 40% 10% 11%

a) Calculeu la rendibilitat esperada i el risc de cada títol. Calculeu la covariància i la correlació lineal de les rendibilitat d’ambdós títols.

Existeix una correlació lineal perfecta positiva entre aquests dos títols X i Y.

𝜎𝑋𝑌 = � 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑖 × 𝑅𝑋𝑖 − 𝐸 𝑅�^ 𝑋 × 𝑅𝑌𝑖 − 𝐸 𝑅�^ 𝑌 = 0,6 × 0,25 − 0,19 × (0,

2

𝑖= − 0,134) + 0,4 × 0,1 − 0,19 × 0,11 − 0,134 = 0,

0,07348 × 0,

b) Calculeu la composició pressupostària , la rendibilitat esperada i el risc de la Cartera de Mínima Variància Global (CMVG).

Pes pressupostari del títol X en la CMVG:

𝜎𝑦^2 − 𝜎𝑥𝑦

𝜎𝑥^2 + 𝜎𝑦^2 − 2 𝜎𝑥𝑦

(0,0054 + 0,000384 − 2 × 0,00144)

Pes pressupostari del títol Y en la CMVG:

La CMV és, entre totes les carteres eficients, la de menor risc

Venda en descobert

c) Determineu la rendibilitat esperada i el risc d’una cartera C integrada de forma equiponderada pels títols X i Y.

𝐸 𝑅�^ 𝐶 = 0,5 × 𝐸 𝑅�^ 𝑥 + 0,5 × 𝐸(𝑅�^ 𝑦)

𝐸 𝑅�^ 𝐶 = 0,5 × 0,19 + 0,5 × 0,134 = 0,162 (16,2%)

Rendibilitat esperada d’una cartera C equiponderada:

Risc (variància) d’una cartera C equiponderada:

𝜎^2 𝐶 = 0,5 2 𝜎^2 𝑥 + 0,5^2 𝜎^2 𝑦 + 2 × 0,5 × 0,5𝜎𝑥𝑦

𝜎^2 𝐶 = 0,25 × 0,0054 + 0,25 × 0,000384 + 2 × 0,5 × 0,5 × 0,00144 = 0,

Risc (desviació típica) d’una cartera C equiponderada:

𝜎𝐶 = 𝜎^2 𝐶 = 0,002166 = 0,04654031 (4,654031%)

c) Amb relació a la dita cartera, calculeu la mitjana ponderada del risc (desviació típica) d’ambdós títols i indiqueu si coincideix o no amb el risc (desviació típica) de l’esmentada cartera.

Hem comprovat que quan el coeficient de correlació lineal és igual a 1: El risc (desviació típica) de la cartera és igual a la mitjana ponderada del risc (desviació típica) dels títols que la integren.

Conseqüència: l’efecte avantajós de la diversificació no es produeix.

Mitjana ponderada del risc (desviació típica) dels títols X i Y:

0,5 × 𝜎𝑋 + 0,5 × 𝜎𝑌 = 0,5 × 0,07348469 + 0,5 × 0,01959592 = 0,04654031 (4,6540%)

𝜎^2 𝑝^ = 𝑤^2 𝑥 𝜎^2 𝑥 + 𝑤^2 𝑦 𝜎^2 𝑦 + 2𝑤𝑥 𝑤𝑦 𝜎𝑥𝑦 = 𝑤^2 𝑥 𝜎^2 𝑥 + 𝑤^2 𝑦 𝜎^2 𝑦 + 2𝑤𝑥 𝑤𝑦 𝜌𝑥𝑦𝜎𝑥 𝜎𝑦

Remarca: La variància d’una cartera p formada per dos títols té l’expressió:

Com que entre els títols X i Y, el coeficient de correlació lineal 𝜌𝑥𝑦 = 1, l’expressió d’abans queda: (^) 𝜎^2 𝑝 (^) = 𝑤^2 𝑥 𝜎^2 𝑥 + 𝑤^2 𝑦 𝜎^2 𝑦 + 2𝑤𝑥 𝑤𝑦 𝜎𝑥 𝜎𝑦

Com es pot observar, es tracta del desenvolupament del quadrat del binomi: 𝜎^2 𝑝^ = (𝑤𝑥 𝜎𝑥 + 𝑤𝑦 𝜎𝑦) 2 Traient l’arrel quadrada: 𝜎𝑝^ =^ 𝑤𝑥 𝜎𝑥 +^ 𝑤𝑦 𝜎𝑦 La desviació típica de la cartera = mitjana ponderada de les desviacions típiques dels títols.

Correlació lineal perfecta i positiva ( ρ 12 = 1)

Sempre: w 1 + w 2 = 1.

 Si no considerem vendes en descobert : w 1 ≥0 i w 2 ≥0.

 Amb vendes en descobert (línia blava)

w (^) x =-36’365 i w (^) Y =136’36%.

Si ρ=1: la diversificació NO té avantatges:

només podem augmentar la rendibilitat augmentant el risc.

La combinació de risc mínim és l’actiu Y.

Representació del conjunt de possibilitats d’inversió:

 Donat que el rendiment i la desviació típica són combinacions lineals: Totes les carteres estaran situades en una línia recta.

σ y σ x σ p

E ( R ~ y )

E ( R ~ x )

E ( R ~ p )

X

Y

wx = 0’ wy = 0’

C

La combinació de risc mínim és la CMVG.

d) Calculeu la composició pressupostària, la rendibilitat esperada i el risc de la cartera òptima S d’un inversor racional que no desitge suportar cap risc. ¿Seria eficient dita cartera?

Sent 𝜌𝑥𝑦 = 1, un inversor que no desitge suportar cap risc formarà la Cartera de Mínima Variància Global (CMV), aleshores:

Pes pressupostari del títol X a la cartera S: wx = -0, Pes pressupostari del títol Y a la cartera S: wy = 1, Rendibilitat esperada de la cartera S: E(𝑅�S ) = 0,11363636 (11,363636 %) Risc (desviació típica) de la cartera S: 𝜎𝑆 = 0 (0 %)

La cartera S és eficient donat que coincideix amb la CMV, no hi ha cap altra cartera amb major rendibilitat esperada per a eixe nivell concret de risc.

e) Calculeu la composició pressupostària i la rendibilitat esperada de la cartera òptima P d’un inversor racional que desitge suportar un risc del 5,192918%. ¿Seria eficient dita cartera?

Rendibilitat esperada d’una cartera P:

𝐸 𝑅�^ 𝑝 = 0,6 × 0,19 + 0,4 × 0,134 = 0,1676 (16,76%)

La cartera P és “eficient” ja que : La seua rendibilitat esperada és major que la de CMV: E 𝑅�^ 𝑝 = 16,76% > E(𝑅�cmv) = 11,363636%

Tot i que també el seu risc és major que el de la CMV: σ 𝑅�^ 𝑝 = 5,1929% > σ(𝑅�cmv) = 0 %

On wX = 60% y wY = 40%

Una vegada coneguda la composició de la cartera que desitgem, podem calcular la seua rendibilitat esperada:

14

f) Calculeu la rendibilitat esperada i el risc d’una cartera Q en què el pes pressupostari del títol Y siga el 120% del pressupost d’inversió. ¿Seria eficient dita cartera?

1.- Rendibilitat esperada de la cartera Q: 𝐸 𝑅�^ 𝑄 = −0,2 × 0,19 + 1,2 × 0,134 = 0,1228 (12,28%)

2.- Risc (variància) de la cartera Q:

𝜎^2 𝑄 = 0,04 × 0,0054 + 1,44 × 0,000384 + 2 × (−0,2) × 1,2 × 0,00144 = 0,

Risc (desviació típica) de la cartera Q:

Ens donen el pes de l’actiu Y. Per tant podem calcular directament:

La cartera Q és “eficient” ja que : La seua rendibilitat esperada és major que la de la CMV: E 𝑅�^ 𝑄 = 12,28% > E(𝑅�cmv) = 11,363636%

Tot i que també el seu risc és major que el de la CMV: σ 𝑅�𝑄 = 0’88% > σ(𝑅�cmv) = 0 %

h) Dibuixeu a l’espai rendibilitat esperada-risc (desviació típica) el Conjunt Factible de Carteres, assenyalant els títols X i Y així com totes les carteres esmentades

0%

5%

10%

15%

20%

25%

0% 2% 4% 6% 8% 10% 12%

Rendibilitat esperada

Risc Total (desviació típica)

CONJUNT DE CARTERES FACTIBLES

Frontera eficiente sin ventas a descubierto Frontera eficiente con ventas a descubierto Frontera ineficiente sin ventas a descubierto Frontera ineficiente con ventas a descubierto Título X Título Y CMV Cartera P Cartera Q Cartera K