ALE- 0511 ÁLGEBRA
LINEAL
I PARCIAL
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Resolución de sistemas de ecuaciones y matrices, Ejercicios de Matemáticas Orientadas a las Enseñanzas Académica
Un curso sobre la resolución de sistemas de ecuaciones lineales a partir de matrices y determinantes. Se abordan conceptos como determinantes, operaciones con vectores y matrices, eliminación de gauss jordán y gaussiana, entre otros. El objetivo es que el estudiante pueda resolver ejercicios complejos y aplicar estas técnicas a sistemas de ecuaciones lineales.
Tipo: Ejercicios
2023/2024
1 / 60
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ALE- 0511 ÁLGEBRA
LINEAL
I PARCIAL
OBJETIVO GENERAL DE LA ASIGNATURA
Al finalizar la asignatura el estudiante será capaz de:
- Resolver sistemas de ecuaciones e inecuaciones a
partir de matrices, determinantes, Regla de
Cramer, Operaciones de matrices. Graficar vectores
en R 2 , R 3 , Rn y evaluarlos. Resolución de
Problemas de programación lineal por el método
gráfico y por el Método Simplex y Dual.
Al finalizar la asignatura se observará que el estudiante:
- Resuelve ejercicios complejos y de resolución a sistemas de ecuaciones
lineales aplicando matrices y determinantes.
- Comprende la conceptualización de determinantes y sus diferentes
aplicaciones como técnica para el cálculo de matrices.
- Identifica las diferencias al realizar operaciones con vectores R 2 y R 3.
- Aplica correctamente el uso de la programación lineal y las técnicas de
Álgebra Lineal.
COMPETENCIAS A ALCANZAR
INTRODUCCIÓN DE LA ASIGNATURA
Álgebra Lineal es la rama de las matemáticas
encargada del estudio de vectores, matrices, sistemas
de ecuaciones lineales y mucho más. Por eso, es una
asignatura fundamental en la formación universitaria.
En el primer parcial de esta asignatura se da a conocer
de forma detallada sobre el tema de los sistemas de
ecuaciones lineales y matrices.
TEMAS
1.4. Vectores y matrices.
1.4.8. Matriz cuadrada.
1.4.9. Matriz cero.
1.4.10. Tamaño de una matriz.
1.4.11. Localización de las
componentes de una
matriz.
1.4.12. Matrices iguales y
matrices distintas.
1.4.13. Suma de matrices.
1.4.14. Multiplicación de una
matriz por un escalar.
1.4.15. Múltiplos escalares de
matrices.
1.4.16. Suma de múltiplos
escalares de dos vectores.
1.4.17. Ley asociativa para la
suma de matrices.
1.5. Productos
vectorial y matricial.
1.5.1. Producto escalar.
1.5.2. Producto de dos
matrices.
1.5.3. Ley asociativa
para la multiplicación
de matrices.
1.5.4. Leyes
distributivas para la
multiplicación de
matrices.
1.5.5. Multiplicación de
matrices como una
combinación lineal
de las columnas de A.
1.6. Matrices y
sistemas de
ecuaciones lineales.
1.6.1. Cómo escribir
un sistema
mediante su
representación
matricial.
1.7. Inversa de
una matriz
cuadrada.
1.7.1. Matriz
identidad.
1.7.2. La inversa
de una matriz.
(2x2, 3x3)
1.7.3. Matriz que
no es
invertible.
1.7.4.
Determinante
de una matriz
2x2.
1.7.5. Matrices
equivalentes
por renglones.
1.8. Transpuesta
de una matriz.
1.8.1. Matriz
simétrica.
Tema 1 : Sistema de
ecuaciones lineales y
matrices.
1.1. Dos ecuaciones lineales con dos incógnitas
1.1.3 Sistema sin solución.
- 2 Sistema con un número
infinito de soluciones.
1.2. m ecuaciones con n incógnitas: Eliminación de Gauss Jordán y Gaussiana
En esta sección se describe un método para
encontrar todas las soluciones (si es que
existen)de un sistema de m ecuaciones lineales
con n incógnitas. Al hacerlo se verá que, igual
que en el caso de 2 x 2 , tales sistemas o bien
no tienen solución, tienen una solución o tienen
un número infinito de soluciones.
2 𝑥
1
- 4 𝑥
2
- 6 𝑥
3
= 18
4 𝑥
1
- 5 𝑥
2
- 6 𝑥
3
= 24
3 𝑥
1
- 𝑥
2
− 2 𝑥
3
= 4
𝑥
1
- 2 𝑥
2
- 3 𝑥
3
= 9
4 𝑥
1
- 5 𝑥
2
- 6 𝑥
3
= 24
− 4 𝑥
1
− 8 𝑥
2
− 12 𝑥
3
= − 36
4 𝑥
1
- 5 𝑥
2
- 6 𝑥
3
= 24
−𝟑𝒙
𝟐
− 𝟔𝒙
𝟑
= −𝟏𝟐
𝑥
1
- 2 𝑥
2
- 3 𝑥
3
= 9
3 𝑥
1
- 𝑥
2
− 2 𝑥
3
= 4
− 3 𝑥
1
− 6 𝑥
2
− 9 𝑥
3
= − 27
3 𝑥
1
- 𝑥
2
− 2 𝑥
3
= 4
−𝟓𝒙
𝟐
− 𝟏𝟏𝒙
𝟑
= −𝟐𝟑
−𝟑𝒙
𝟐
− 𝟔𝒙
𝟑
= −𝟏𝟐
−𝟓𝒙
𝟐
− 𝟏𝟏𝒙
𝟑
= −𝟐𝟑
𝒙
𝟐
- 𝟐𝒙
𝟑
= 𝟒
−𝟓𝒙
𝟐
− 𝟏𝟏𝒙
𝟑
= −𝟐𝟑
𝟓𝒙
𝟐
- 𝟏𝟎𝒙
𝟑
= 𝟐𝟎
−𝟓𝒙
𝟐
− 𝟏𝟏𝒙
𝟑
= −𝟐𝟑
−𝒙
𝟑
= −𝟑
𝒙
𝟑
= 𝟑
−𝟑𝒙
𝟐
− 𝟔(𝟑) = −𝟏𝟐
−𝟑𝒙
𝟐
− 𝟏𝟖 = −𝟏𝟐
−𝟑𝒙
𝟐
= −𝟏𝟐 + 𝟏𝟖
−𝟑𝒙
𝟐
= 𝟔
𝒙
𝟐
= −𝟐
3 𝑥
1
- (− 2 ) − 2 ( 3 ) = 4
3 𝑥
1
− 2 − 6 = 4
3 𝑥
1
− 8 = 4
3 𝑥
1
= 4 + 8
3 𝑥
1
= 12
𝒙
𝟏
= 𝟒
2 𝑥
1
- 4 𝑥
2
- 6 𝑥
3
= 14
3 𝑥
1
− 2 𝑥
2
- 𝑥
3
= − 3
4 𝑥
1
- 2 𝑥
2
− 𝑥
3
= − 4
2 𝑥
1
- 4 𝑥
2
- 6 𝑥
3
= 14
3 𝑥
1
− 2 𝑥
2
- 𝑥
3
= − 3
𝑥
1
- 2 𝑥
2
- 3 𝑥
3
= 7 (− 3 )
3 𝑥
1
− 2 𝑥
2
- 𝑥
3
= − 3
− 3 𝑥
1
− 6 𝑥
2
− 9 𝑥
3
= − 21
3 𝑥
1
− 2 𝑥
2
- 𝑥
3
= − 3
−𝟖𝒙
𝟐
− 𝟖𝒙
𝟑
= −𝟐𝟒
2 𝑥
1
- 4 𝑥
2
- 6 𝑥
3
= 14
4 𝑥
1
- 2 𝑥
2
− 𝑥
3
= − 4
−𝟔𝒙
𝟐
− 𝟏𝟑𝒙
𝟑
= −𝟑𝟐
𝒙
𝟐
- 𝒙
𝟑
= 𝟑
−𝟔𝒙
𝟐
− 𝟏𝟑𝒙
𝟑
= −𝟑𝟐
𝒙
𝟑
= 𝟐
𝒙
𝟐
= 𝟏
𝒙
𝟏
= −𝟏
1.2.6. Reducción por renglones
Si se intercambian dos ecuaciones en un
sistema de ecuaciones se obtiene un
sistema equivalente. Estas tres
operaciones, cuando se aplican a los
renglones de la matriz aumentada que
representa un sistema de ecuaciones, se
denominan operaciones elementales con
renglones. Estas son:
Operaciones elementales con
renglones
1. Multiplicar (o dividir) un renglón
por un número diferente de cero.
2. Sumar un múltiplo de un renglón a
otro renglón.
3. Intercambiar dos renglones.
El proceso de aplicar las operaciones
elementales con renglones para
simplificar una matriz aumentada se
llama reducción por renglones.
1.2.7. Solución de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas:
número infinito de soluciones
Primero se escribe el sistema
como una matriz aumentada
Ejemplo
𝟏
𝟐
𝟑
𝟏
𝟐
𝟑
𝟏
𝟐
𝟑
1.2.9. Forma escalonada reducida por renglones y pivote
Una matriz se encuentra en la forma escalonada reducida
por renglones si se cumplen las siguientes condiciones:
- Todos los
renglones (si
los hay) cuyos
elementos son
todos cero
aparecen en
la par-te inferior
de la matriz.
- El primer
número
diferente de cero
(comenzando
por la izquierda)
en cualquier
renglón cuyos
elementos no
todos son cero
es 1.
- Si dos renglones
sucesivos tienen
elementos distintos
de cero, entonces el
primer 1 en el
renglón de abajo
está más hacia la
derecha que el
primer 1 en el
renglón de arriba.
- Cualquier columna
que contiene el
primer 1 en un
renglón tiene ceros
en el resto de sus
elementos. El primer
número diferente
de cero en un
renglón (si lo hay) se
llama pivote para
ese renglón.
1.2.10. Solución de un sistema mediante eliminación gaussiana
Eliminación gaussiana
Se reduce por renglón la
matriz de coeficientes a
la forma escalonada por reng
lones, se despeja el valor de
la última incógnita y después
se usa la sustitución hacia
atrás para las demás
incógnitas.