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Tema 1 – NOCIONES BÁSICAS DE ÁLGEBRA
1.1.- ÁLGEBRA MATRICIAL
1.1.1. Matriz. Tipos de matrices 1.1.2. Operaciones con matrices 1.1.3. Determinantes 1.1.4. Matriz Inversa
1.2.- SISTEMAS DE ECUACIONES
1.2.1. Sistemas de ecuaciones lineales 1.2.2. Sistemas de ecuaciones no lineales
Definición - Matriz
Una matriz de orden mxn es una tabla A de números reales ordenados en m filas y n
columnas.
A=
m m mn
n
n
a a ... a
a a ... a
a a ... a
1 2
21 22 2
11 12 1
1.1. ÁLGEBRA MATRICIAL
1.1.1. MATRIZ. TIPOS DE MATRICES
fila 1
fila m columna 2
TIPOS DE MATRICES
- Matriz cuadrada: m=n. Es decir nº columnas=nº filas La diagonal principal de una matriz cuadrada son los elementos aii
- Matriz nula: Matriz mxn cuyos elementos son todos 0
- Matriz fila: Matriz 1xn
- Matriz columna: Matriz mx
- Matriz diagonal: Matriz cuadrada A=(a (^) ij ) con a (^) ij =0 para i≠j
- Matriz identidad de orden n, I (^) n: Matriz diagonal nxn con todos los elementos de la diagonal
igual a 1. A·I n = I n·A = A
- Matriz simétrica: Una matriz cuadrada es simétrica si coincide con su traspuesta: A = A t^2
Toda matriz cuadrada A tiene asociado un número real llamado determinante, que serepresenta por |A| o también por det(A) y que se obtiene de la siguiente manera:
Matrices 1x1:
|A| =|a 11 | = a 11
Matrices 2x2:
|A| = = a 11 a 22 – a 12 a 21
Matrices 3x3: (Regla de Sarrus)
|A| = = a 11 a 22 a 33 + a 21 a 32 a 13 + a 31 a 12 a 23 – a 13 a 22 a 31 – a 23 a 32 a 11 – a 33 a 12 a 21
1.1.3. DETERMINANTES
21 22
aa^11 aa^12
3121 3222 3323
11 12 13 aa aa aa
a a a
21 22 23
11 12 13
31 32 33
21 22 23
11 12 13
a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
|A| =^ =
31 32 33
21 22 23
11 12 13 a a a
a a a
a a a
Matrices nxn (n ≥ 4): (Método de adjuntos)
Menor complementario del elemento a ij es el determinante de la matriz de orden n-
obtenida al eliminar la fila i y la columna j de A.
Aij Adjunto del elemento a ij es el producto de (-1)i+j^ por el menor complementario de a ij.
Desarrollo de |A| por la fila i
|A| = ai1A i1 + a i2A i2 + … + ainA in
Desarrollo de |A| por la columna j
|A| = a1j A 1j + a 2j A 2j + … + anj A nj
Propiedades de los determinantes:
Si una fila o columna de A es de ceros, entonces el determinante vale 0.
Si dos filas o columnas son iguales (o proporcionales), entonces el
determinante vale 0.
Si intercambiamos dos filas (o columnas) el determinante de la matriz
obtenida es igual a -|A|.
Si a una fila (o columna) le sumamos otra multiplicada por un número, el
determinante de la matriz obtenida es igual a |A|.
Sea A una matriz cuadrada de orden n.
Si |A| ≠ 0, ∃ una matriz A -1^ / A -1^ A = A A -1^ = In
Se dice, en ese caso, que A es una matriz INVERTIBLE o REGULAR
A la matriz A -1^ se le llama INVERSA de A.
1.1.4. MATRIZ INVERSA
Definición- Matriz Inversa
Definición- Sea A una matriz cuadrada de orden n. Se llama matriz ADJUNTA de A, y se representa por Matriz Adjunta
Adj(A), a la matriz cuadrada de orden n cuyos elementos son los adjuntos de los elementos de A.Es decir, si A=(a ij)^ Adj(A) =(Aij)
Ejemplo Calcula la matriz adjunta de la matriz
1 3 1
2 - 1 1
4 0 1 A
A 11 = (− 1 )^1 +^1 − 31 11 =− 4
1 - 2 - 4
3 3 - 12
-4 -1 7 Adj(A)
A 12 = (− 1 )^1 +^21211 =− 1 A 13 = (− 1 )^1 +^312 − 31 = 7
A 21 = (− 1 )^2 +^13011 = 3 A 22 = (− 1 )^2 +^21411 = 3 A 23 = (− 1 )^2 +^31430 =− 12
A 31 = (− 1 )^3 +^1 −^0111 = 1 A 32 = (− 1 )^3 +^22411 =− 2 A 33 = (− 1 )^3 +^324 −^01 =− (^48)
ECUACIÓN LINEAL con incógnitas x 1 , …, xn
a 1 x 1 + a 2 x 2 + … + an xn = b a 1 , …, an , b ∈ ℝ
SISTEMA DE m ECUACIONES LINEALES con n incógnitas
a 11 x 1 + a 12 x 2 + … + a1n xn = b 1
am1 x 1 + am2 x 2 + … + amn xn = bm^ }
Expresión Matricial: Ax = b
m1 mn
11 1n a ..... a:
A a: ..... a
n
1 x:
x x:
m
1 b:
b b:
Matriz de coeficientes Matriz de incógnitas Matriz de términosindependientes Matriz ampliada
1.2. SISTEMAS DE ECUACIONES
1.2.1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
m1 mn m
11 1n 1
a ..... a b
a ..... a b (Ab)
10
CLASIFICACIÓN (según el número de soluciones)
Sistema Compatible si tiene solución
Compatible Determinado si la solución es única
Compatible Indeterminado si posee infinitas soluciones
Sistema Incompatible si no tiene solución
SISTEMAS EQUIVALENTES
Dos sistemas son equivalentes si tienen las mismas soluciones.
Para pasar de un sistema a otro equivalente pueden realizarse alguna/s de las siguientes
operaciones:
Cambiar el orden de las ecuaciones
Multiplicar alguna ecuación por un escalar distinto de cero
Sumarle a una ecuación otra multiplicada por un escalar
Ejemplo
x +2y + z = 4
2x + y − z = 2
7x + 8y + z = 16
El sistema anterior es equivalente al sistema: x + 2y + z = 4
y + z = 2
que es compatible indeterminado, con solución general la siguiente (expresada de
dos formas distintas):
x = 4-2y-z = 4-2(2-z)-z = z
y = 2 - z
Ejemplo
2x − y + 3z = 2
x + y − z = 1
4x + y + z = 6
El sistema anterior es equivalente al sistema: x + y − z = 1
-3y + 5z = 0
que, obviamente, es incompatible. 0 = 2
x = α
y = 2 – α ∀α∈R
z = α
Ejercicio
x + y − 2z +w = 4
2x + 2y + z +2w = 3
Ejercicio
2x + y − z = 1
x + y + z = 2
En este caso, la segunda ecuación es y(y – 2) = 0, que sólo se cumple
- xy - 4x = - xy + y^2 – 2y = 0 x(y – 4) = 0 y(x + y – 2) =
- La primera ecuación x(y – 4) = 0 sólo se cumple si x = 0 o bien y =
- Caso 1: x =
- si y = 0 o y =
- Caso 2: y =
- si x = - En este caso, la segunda ecuación es 4(x + 2) = 0, que sólo se cumple - x = - y – 4 = 0 y =
- x(y – 4) = - Solución 1: x = 0 y = Luego, el sistema tiene 3 soluciones:
- Solución 2: x = 0 y =
- Solución 3: x = -2 y =
