Suponga que cierto tipo de pequeñas empresas de procesamiento de datos están
especializadas qué algunas tienen dificultades para obtener utilidades durante su primer año
de operación. La función de densidad de probabilidad que caracteriza la proporción y se
obtiene utilidades está dada por.
f
(
y
)
=
{
k y4,0≤∧y ≤ 1
0, en otrocaso
a) ¿Cuál es el valor de k que hace de la anterior una función de densidad válida?
ky 4es>0si y solo si k >0
Entonces:
∫
−∞
+∞
f
(
y
)
dy =1
∫
0
1
k y 4
(
1−y
)
3dy=1
k∫
0
1
y4
(
1−3y+3y2−y3
)
dy
k∫
0
1
(
y4−3y5+3y6−y7
)
dy
k
(
1
5y5−1
2y6+3
7y7−1
8y8
)
|
0
1
k
(
1
5−1
2+3
7−1
8
)
→k
280 =1→ k =280
b) Calcula la probabilidad de que al menos 50 % de las empresas tenga utilidades durante
el primer año.
P
(
y<0.5
)
=P(0≤ y ≤ 0.5)
∫
0
0.5
280 y4
(
1−y
)
3dy
280∫
0
0.5
y4
(
1−3y+3y2−y3
)
dy
280∫
0
0.5
(
y4−3y5+3y6−y7
)
dy
¿280
(
1
5y5−1
2y6+3
7y7−1
8y8
)
|
0
0.5
¿280
(
1
5
0.5
5
−1
2
0.5
6
+3
7
0.5
7
−1
8
0.5
8
)
=93
256
c) Calcula la probabilidad de que al menos 80 %de las empresas tenga utilidades durante
el primer año.
P
(
y ≥ 0. 8
)
=1−P(y<0. 8)
P
(
y ≥ 0.8
)
=1−P(0≤ y ≤ 0.8)
