Teorema del límite central – Fórmulas
Si la variable aleatoria 𝑿 tiene distribución normal
𝑋1,…,𝑋𝑛 es una m.a. 𝑋𝑖 ~𝑖𝑖𝑑 𝑁(𝜇,𝜎2) 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑖 = 1, … ,𝑛
Distribución de la media de la muestra 𝑋
~ 𝑁 (𝜇 , 𝜎2
𝑛 ) 𝑥−𝜇
𝜎
√𝑛≈𝑁(0,1)
Distribución de la varianza de la muestra 𝐸[𝑆2]= 𝜎2 𝑉[𝑆2]=2𝜎4
𝑛−1
(𝑛−1)𝑆2
𝜎2~𝜒2(𝑛 −1) chi-cuadrado, 𝑛 − 1 grados de libertad
Teorema del límite central
Si 𝑋1,…,𝑋𝑛 es una m.a. de una población con media 𝜇 varianza 𝜎2
𝐸(𝑋𝑖)= 𝜇 𝑉(𝑋𝑖)= 𝜎2 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑖 = 1, … ,𝑛
𝑛 ≥ 30, entonces 𝑥−𝜇
𝜎
√𝑛≈𝑁(0,1)
Distribución binomial
𝑋 ~𝑏𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑎𝑙(𝑛, 𝜋) 𝑛 𝜋 ≥ 5 𝑛 (1 − 𝜋) ≥ 5
𝑿 es la cantidad de éxitos observados en 𝑛 repeticiones
Proporción de éxitos en la muestra 𝜋 = 𝑋
𝑛 E[𝜋] = E [𝑋
𝑛] = 𝜋 V[𝜋] =
𝜋(1−𝜋)
𝑛
𝑛 𝜋 ≥ 5 𝑛 (1 − 𝜋) ≥ 5 entonces 𝜋
−𝜋
√𝜋(1−𝜋)
𝑛≈𝑁(0,1)
Teorema del límite central, no se conoce la varianzade la población
Si 𝑋1,…,𝑋𝑛 es una m.a. de una población con media 𝜇
No se conoce la varianza de la población 𝜎2
En cualquiera de las dos situaciones siguientes:
• El tamaño de la muestra 𝑛 > 30 , sin importar cuál es la distribución de
la población.
• El tamaño de la población 𝑛 ≤ 30 y la población es normal.
𝑋
−𝜇
𝑆
√𝑛≈𝑇(𝑛 − 1)