ejercicio de productos notables, Apuntes de Matemáticas Orientadas a las Enseñanzas Académica

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 (^) a  b 3 a 3  b^3 3a b a (^) b

DEFINICIÓN: Son resultados de ciertas multiplicaciones indicadas que tienen una forma determinada, las cuales se pueden recordar fácilmente sin necesidad de efectuar la operación. Reciben también el nombre de Identidades Algebraicas.

 DESARROLLO DE UN BINOMIO ELEVADO AL CUADRADO-TCP

 (^) a  b ^2  a 2  2ab b^2  (^) a  b ^2  a^2  2ab b^2

OBSERVACIÓN:  (^) a  b 2   (^) b  a ^2 , n  ¢

 IDENTIDADADES DE LEGENDRE

 (^) a  b  (^2)   (^) a  b ^2  2  (^) a 2 b^2   (^) a  b  (^4)   (^) a  b ^4  8ab a  (^2) b^2 

 (^) a  b  (^2)   (^) a  b 2 4ab  (^) a  b  (^3)   (^) a  b ^3  2a a  (^2) 3b^2 

 (^) a  b 2   (^) a  b 2  4ab  (^) a  b  (^3)   (^) a  b ^3  2b 3a  (^2) b^2 

 DIFERENCIA DE CUADRADOS

 (^) a  b   (^) a  b  (^)  a^2 b^2^ En general: ^ ^ ^  x 2n^  y 2n^  x n^  yn x n^ yn

 DESARROLLO DE UN BINOMIOM SUMA DIFERENCIA ELEVADO

AL CUBO

FORMA DESARROLLADA FORMA ABREVIADA- CAUCHY  (^) a  b 3  a 3  3a 2 b  3a b 2 b^3  (^) a  b 3  a^3  b 3  3a b a (^) b  (^) a  b ^3  a 3  3a 2 b  3a b^2 b^3

 SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS:

a 3  b^3  ^ a  b ^ ^ a 2  ab b^2  a 3  b^3  ^ a  b ^ ^ a 2  ab b^2 

 IGUALDADES CONDICIONALES:

SI SE CUMPLE: a  b  c  0 a^4  b^4  c 4  2 a b 2 2  a c^2 2 b c^2 2 

a 2  b 2   c 2   2 ab  bc ca a 5  b 5  c 5   5abc ab  bc ca

a +b +c =3abc^3 3 3 a 6  b 6  c 6  3 abc  (^2)  2 ab (^)  ac bc^3

a^7  b^7  c^7  7abc ab  bc ac^2  ab  bc  ca ^2  a b^2 2  b c^2 2 c a^2

2 2 2 2 4 4 4 a  b  c  2 a  b c

3 3 3 2 2 2 2 2 a^6 b^6 c 6 3 a^ b^ c^ a^ b^ c 3 2

   ^ ^ ^ 

a 3 b 3 c 3 a^2 b 2 c 2 a^5 b^5 c^5 3 2 5

 (^)     (^)                

a 5 b 5 c 5 a^2 b^2 c 2 a 7 b^7 c^7 5 2 7

IMPLICACIONES NOTABLES

a 2  b^2  c 2  ab  ac  bc  a  b c En general: a 2n^  b 2n^  c 2n^  a bn^ n^  a cn^ n^  b cn^ n a  b c a 3  b^3  c 3  3abc  a  b  c  a  b  c  0 Si : a 2n^  b2n  c 2n^  ...  z 2n 0  a  b  c  ...  z  0 , n   Si : 2n^ a  2n^ b  2n^ c  ...  2nz  0  a  b  c  ...  z  0 , n  

 a  b  b  c  a  c   abc   a  b  c  ab  ac bc

 ab  ac  bc  2  a b^2 2  a c^2 2  b c^2 2  2abc a  b c

DESARRROLLO DE UN TRINOMIO AL CUADRADO:

 a  b  c ^2  a 2  b 2  c^2  2ab  2ac 2bc

FORMA SEMIDESARROLLADA :^ a  b  c ^2  a 2  b 2  c 2  2 ab^  ac bc

 a  b  c ^2  a 2  b 2  c 2  2ab  2ac 2bc

 a  b  c ^2  a 2  b 2  c 2  2ab  2ac 2bc

 a  b  c ^2  a 2  b 2  c 2  2ab  2ac 2bc

DESARRROLLO DE UN TRINOMIO ELEVADO AL CUBO:

 a  b  c  3  a 3  b 3  c^3  3 a  b  a  c  b c

 a  b  c  3  a 3  b 3  c^3  3 a  b  a  c  b c

05. Si a, b son números tales que

a  b  1  a 3  b 3  2

Calcule el valor de^ a 2 b^2 

a)^1 3

 b)^5 3

c)^2 5

d)^1 3

e) 3

06. Siendo x; y son números reales que

cumplen x 2  y 2  5  2x 4y, calcule el valor de :x^ y y

a)^3 2

b)^2 3

c)

d) 3 e) 2

07. Tres números reales x, y, z verifican la igualdad: x 2  y 2  z 2  14  2(x  2y 3z) con esto, evaluar la expresión:

x 2 y 2 z^2 M xy

^ ^ 

a) – 2 b) 2 c) 1 d) – 3 e) – 1

08. Si: ^ a  b  c ^2  4 ac^ bc, donde: a,b,c  ¡ , a by c  0 , el valor de

 

a b 2 b 2 a^2 E 2 c a b c  ^  ^       ^ , es:

a) 14 b) 9 c) 8 d) 10 e) 11

09. Si se cumple que:

a+b+c 0, a^3  b^3  c 3 3abc Calcular el valor numérico de:

2024 ^ ^2023 2023 2023 2023

a b c E a b c

a) 3 b) 2 c) 1 d)^1 2

e)^1 3

10. Simplificar:       x 2 x 2 2x^2 E  a  1 a  1 a  1 a)^  2x^4 a  1 b)^  4x^ 4n a  1 c) a 2x 1 d)^  4x^2 a  1 e) a16x  1 11. Al reducir: 2 ^ ^4 ^ ^42 2 2 E 16a a^ b^ a^ b b a b

  ^ ^    resulta: a) 4a b b) 4a b c)4a d) b e)a b

12. Si se cumple que: 2n (^) a  2n (^) b  2nc  0 Calcular el valor de: C n^ a^ n^ b^ n c bc ac ab

   a) 4 b) 5 c) 2 d) 6 e) 3

13. Sabiendo que: a^3 = 1, con:a  1 Reduzca: a^5 + a + 1 a) 2 b) 1 c) 0 d) – 1 e) 4 14. Si: x 2  4x  1 , hallar x 4 x^4 a) 160 b) 180 c) 120 d) 194 e) 200 15. Efectuar:

2 2

x 2x (^1) E^25 x (^1) 5

    (^)    

a) 2 b) 4 c) 5 d) 0 e) 1

16. A partir de: m  n  5 ;mn  2 Calcular: E  m^2  m^3  m^4  n^2  n^3 n^4 a) 603 b) 573 c) 495 d) 549 e) 6 09 17. Si: m 2  n^2  m 2  n 2 n^2 Hallar el valor de:

S  m^2  n^2  m 2 n^2

a) 0 b) 1 c) n^2

d) m^2 e) 2

18. Sabiendo que: x  y  6 ; xy  3

Hallar el valor de: x 7 y^7 P 881

^ 

a) 105 b) 204 c) 123 d) 240 e) 162

19. Si: x 2  1 3x, calcular:

 8   3 2  7 E 20 x^ x^ x^ x 13x

^ ^ 

a) 50 b) 10 c) 1 d) 25 e) 4

20. Teniendo que:a  b  c  0

Simplificar:

2 2 2 2 2 2 I a^ b^ c b c a

 ^   

a) 1 b)c a c)a c

d)b c e)a b

21. A partir de: ab  ac  bc x^2 a  b  c x Reducir:

E  ^ x  a ^3  ^ x  b 3  ^ x  c ^3 3abc a) 0 b) 2x^3 c) 2x^3 d) x^3 e) x^3

22. Hallar el valor numérico de la expresión: L  x x^  1 ^ x  2 ^ x  3 ;

para:x 5 3 2

^ 

a) 1 b) 2 c) 1 d)  2 e) 4

23. Si: a 2  d^2  c^2 b^2

Reduzca:

4 4 4 4 2 2 2 2

a c b d a c b d

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

24. Siendo:

2 2 2

ab ac bc 11 a b c 14

Calcule: L  (2a  b)^2  (2b  c)^2  (2c a)^2 a) 11 b) 14 c) 26 d) 44 e) 70

25. Si se cumple que: x  2  1 ; y  2  1 calcule el valor de: 2 2 3 3 2 3

x (y 1) y (x 1) 1 x 1 y

 (^)     a) 2 b) 0,5 c) 3 d) – 1 e) 5

26. Si se verifica:

n n n n

a b (^7) b a

el valor de:

n n n n 2 2

x^ a^ b a .b

^ 

, es:

2 2 2 E c^ b^ c^ b^ a^. a a c c a b b

 ^ 

   ^ 

37. Si se sabe que:

a 1 2 b 1 2 12 a 1 b 1 3

 ^ ^ 

, halle el valor

de: E  ^ a b^2.

a) 21 b) 6 c) 18 d) 25 e) 4

38. Si se cumple:

a b , a ab^ b ab 1 a b a b

 ^   ^  

      ^ ,

calcular el valor reducido de la

expresión:

  2 2 2 4 4 2 2 E^ a^ b^ a b a b

^ ^ 

a) 4 b) 3 c) 2 d)  1 e) 2

39. Calcular el valor de: 2 2 3 3 3 3 3 3

x y 1 S xy x y

, Si:

(^3) x  3 y   1

a) 8 b) 6 c) d)  8 e) 6

40. Si: ^ a  1  ^ b  2   5 ,a  b  2 Determine el valor de:

 a  1  2   b  2 ^2.

a) 5 b) 10 c) 15 d) 20 e) 25

41. Dado la expresión: 4 n^1 n 1 4

proporcione:S 2 2n^1 2n 2

a) 5 b) 3 c) 4

d) 3 e) 5

42. Si: a  y e^4  e ^4  47 , Halle:

  e 1 7 6 e 2 1 E e e 3 e e

 ^ ^   ^  ^  

a) 33 b) 34 c) 24 d) 18 e) 2 9

43. Dado el triángulo rectángulo, reducir la expresión:

a) c b) 2 c) 1 d) b e)a 2

44. Calcule: 1  2007 1  2008 1  2009 2011 a) 2007 b) 2008 c) 2009 d) 2010 e) 2011 45. Sea:^2 1 a b a 2b

, con a y b no nulos. Calcule el valor de: 6 6 6 6 E^ a^ 17b a 52b

^ 

a)^2 3

b) 3 3 c)^3 2 d) 2 3 e) 3

b c

a

46. Si: x  y  2 , halle el valor de:

 ^ ^2 2 ^4 4 4

x y x y y M x y

a) 1 b)^1 2

c) x^2

d)^1 4

e) 4

47. Si: x 2  x  1 , Halle el valor

de:R x 1 x^212 x (^) x x

 ^   ^  

a) 1 b) x c) x^2

d) x^4 e)^14 x

48. Siendo: a, b,cnúmeros pitagóricos tales que: c  b a. Determinar el valor

de:

   

4 4 4 2 2 2 2 2 2

c a b a b a b

    

a) 1 b) – 1 c) 2

d) – 2 e)

49. Simplificar:

8 x 3 x^3 E 64 3x 8 x

 ^ 

a) 16 b) 12 c) 6 d) 4 e) 8

50. Siendo: x  5 ^37 , Evaluar:

N  x 3  125  15x 2 75x. a) 49 b) 7 c) 1

d) 343 e)^3

51. Si: ^ a  1 ^ b  1   ^ a  b ^2  1 ,

calcule: a 2 a 1 E b b 1

 ^ ^ ^  

a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1

52. Calcular el valor numérico de: S  x 9 y^9 , para:x  3  1 ; y  3  1 a) 4896 3 b) 1876 c) 4996 3 d) 4886 e) 4896 53. Si:   2 2 2 2 a  b  16 , a  b  1 , ab  2 ,

Halle:

3 6 3 2 2 3 E a^ b a a b ab b

     a) 16 b) 18 c) 20 d) 22 e) 24

54. Si se sabe que:a a 1 5 2

establezca la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F), respecto a cada una de las proposiciones: I) a 2 a 2 17 4

II)^3 a a 65 8

III)^4 a a 259 16

La secuencia correcta es: a) VVF b) VVV c) FVV d) FVF e) FFF

55. Si: a  b  1 ^33 , Determine el

valor de:

3 2 E^2 a^ b a b a b

^ ^ 

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

 (^) a  b  (^) a  c  (^) b  c  33 a) 899 b) 901 c) 900 d) 902 e) 890

69. Si: x 4  x ^4  34 Hallar el valor numérico de:

P  ^ x 6  x ^6 ^ x  x ^1 ^ x 3 x^3 

a) 3960 2 b) 1290 2 c) 44 2 d) 396 e) 4

70. Si: 2 ab^25 a b 5

, Halle

a 8 b^8 E b a

 ^ ^ ^ 

a) 23 b) 25 c) 47 d) 39 e) 95

71. Si: 1 1 1 a b a b

  

; proporcione el

equivalente de:    

6 6 6 3 T^ a^ b^ 6 a^ b ab

^ ^ ^ 

a) 7 b) – 7 c) 9 d) – 9 e) 11

72. Cumpliéndose que: ab ac bc (^) a b c c b a

Halle el valor de: 77 77 77 7 7 7 7 7 7 21

a b c (a b a c b c ).(abc)

a) 3 b) 2 c) 1 d) – 1 e) – 2

73. Si se cumple que: 2n (^) a  2n (^) b  2nc  0

Calcular el valor de:

C n a^ n b^ n c bc ac ab

a) 4 b) 5 c) 2 d) 6 e) 3

74. Efectuar:

 a  b 2  b  c  a   a  c  b   a  b  2  a  b  c  a  b c

a) 4abc b) 4a^2 bc c) 4ab^2 c d) 4abc^2 e) 0

75. Sabiendo que: a + b + c = 0 , abc =^1 4 Proporcione: ab a  b – c (^)  4  bc b  c – a (^)  4  ac c a – b a) 2 b) 3 c) 6 d) 24 e) 18 76. Si: B  3 A^3  3A  6B^2  2C 2  3 A 3  3A  6B^2 2C^2 Hallar “ C” C  3 A 3  3A  6B^2  2C^2  3 A^3  3A  6B^2 2C^2 a) 4 b) 8 c) 16 d) 32 e) 2AB 77. Proporcione: E  a 2   b^2  c^2 Si: a  b  c  0 ;      0

1 a b c

a) 2 b) 1 c) abc d) b e) c

78. Sabiendo que: a^ b^2 b a

  , donde a; b  0 , hallar el valor de:        

2 2 2 2 H^ a^1 b^3 a 3 b 1

^ ^ ^ 

a) 1 b) 2 c) 5 d) 4 e) 6

79. Si se cumple que:

3 2 3 2 3 3

a b (^1) ac bc

, a b, Hallar el valor

de:  a^ b^ c^3 E abc

a) 17 b) 27 c) 37 d) 4 7 e) 57

80. Si: x  y  3  1 ; x  z  1  2 ; y  z  2  3 , proporcione el valor de la

expresión:  x^ y^ 2z^  3  x^ 2y^ z^  3  2x^ y^ z^3 E xyz

a) 3 b) 1 c) 0 d) 2 e) 6

81. Si:  x;y  , tal que: x 2  y^2  2x  10y  26 , halle: xy S y. a) 25 b) 2 c) 10 d) 1 e) 5 82. Si: x 2  y 2  1  x  y xy; x  y , Proporcione:E x y xy y x

a) 2 b) 3 c) 4 d) 6 e) 5

83. Tres números reales x, y, z verifican la igualdad:

x 2  y 2  z 2  14  2(x  2y 3z) Entonces evaluar la expresión:^ x^2 y^2 z^2 M ^ ^ xy

a) – 2 b) 2 c) 1 d) – 3 e) – 1

84. Sean  m,n,p  , tal que: m 2  n 2  p^2  21  2 m  2n 4p, calcule “ mnp ” a) 16 b) 8 c) 4 d) 2 e) 1 85. Sea: (^)  x ;x ;x ;...;x 1 2 3 9  , tal que:

x 1 2  x 22  x 3 2  ...  x 9 2  2 x 1  x 2  x 3  ...  x (^9)  9

Proporcione el valor de la expresión: 2

1 2 3 9 1 3 9

x 2x 3x ... 9x A x x x ... x

a) 35 b) 2 c) 10

d) 55 e) 5