Sea la matriz
A=0
@
0 4 2
a0a
0 2 1
1
A; a 2R
1. Sea B1=f(0;1;0) ;(1;0;0) ;(0;1;1)guna base de R3. Calcular la aplicación lineal
f:R3!R3que tiene a Apor matriz asociada respecto de la base B1en el espacio inicial
y la base canónica de R3en el …nal.
2. Demostrar que fes una aplicación lineal.
3. Calcular la imagen de fen función del parámetro a. En cada caso, estudiar su dimensión, una
base y las ecuaciones del espacio. ¿Para qué valores de apertenece el vector (2;0;1) aIm(f)?
4. Calcular la inversa de la matriz 0a
21en los casos en los que sea posible.
5. ¿Para qué valores de ason los vectores del conjunto S=f(0; a; 0) ;(4;0;2) ;(2; a; 1)glineal-
mente independientes? ¿y ortogonales?. Si a6= 0, ¿es posible dar una base de R3que contenga
a(0; a; 0) y(4;0;2)?. ¿Qué condición ha de cumplir el vector añadido?.
6. Calcular las coordenadas del vector !
u2R3, con coordenadas (2; a; 1) respecto de la base
canónica, respecto de la base B2=f(1;1;0) ;(0;0;1) ;(0;1;1)g.
7. Calcular la matriz Basociada a la aplicación frespecto de la base B1en el espacio inicial y B2
en el …nal.
8. Estudiar la compatibilidad del sistema de ecuaciones lineales
A0
@
x
y
z
1
A=0
@
0
a+ 1
0
1
A
en función del parámetro a.
9. Calcular el conjunto de soluciones en los casos en los que el sistema sea compatible. ¿Para que
valor de aes el conjunto de soluciones un subespacio vectorial de R3?
10. Estudiar, utilizando la de…nición, para que valores de ael vector (0;1;0) es autovector de f. En
ese caso, ¿a qué autovalor está asociado?.
11. Sea C=0
@
4 0 2
0a0
2 0 1
1
Ala matriz asociada a frespecto de la base canónica de R3. Comprobar
que = 3 es autovalor de Cy calcular el subespacio V(3), subespacio de autovectores de f
asociado al autovalor = 3, en función de a.
12. Estudiar para que valores de aes la matriz Cdiagonalizable.
13. Calcular el núcleo de fpara a= 3 y comprobar que es subespacio vectorial de R3.
14. Si a= 3, dar una base Bde R3formada por autovectores de ftal que la matriz asociada a f
respecto de esta base sea MBB(f) = 0
@
0 0 0
0 3 0
0 0 3
1
A. ¿Qué relación hay entre las matrices Cy
MBB(f)?
1