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t 5 r 3 F
F tan 5 F sen f
r O
l 5 r sen f 5 brazo de palanca
F rad 5 F cos f
f (^) f F
S S
S
Torca: Cuando una fuerza actúa sobre un cuerpo, la torca de esa fuerza con respecto a un punto O tiene una magnitud dada por el producto de la magnitud F de la fuerza y el bra- zo de palanca l. En términos más generales, la torca es un vector igual al producto vectorial de (el vector de posición del punto donde actúa la fuerza) y. (Véase el ejemplo 10.1.)
F
r S t^ S^ S
F
S (10.2)
t^ S^5 r^ S^3 F (10.3)
S
t 5 Fl
Dinámica rotacional: El análogo rotacional de la segunda ley de Newton dice que la torca neta que actúa sobre un cuerpo es igual al producto del momento de inercia del cuerpo y su aceleración angular. (Véanse ejemplos 10.2 y 10.3.)
a t z^^5 I a z^ (10.7)
Traslación y rotación combinadas: Si un cuerpo rígido se mueve en el espacio al tiempo que gira, su movimiento puede considerarse como la conjunción de un movimiento traslacional del centro de masa y un movimiento rotacional en torno a un eje que pasa por el centro de masa. De esta manera, la energía cinética es la suma de una energía cinética traslacional y una rotacional. En dinámica la segunda ley de Newton describe el movimiento del centro de masa y el equivalente rotacional de esa ley describe la rotación en torno al centro de masa. En el caso de un cuerpo que rueda sin resbalar, existe una relación especial entre el movimiento del centro de masa y el movimiento rotacional. (Véanse los ejemplos 10.4 a 10.7.)
(rodamiento sin deslizamiento)
v cm 5 R v
a t z^^5 I cm^ a z
a F
S ext 5 M^ a
S cm
K 5
Mv cm^2
I cm v^2
F F
Mg
n
M
R R
x
y
Trabajo efectuado por una torca: Si una torca actúa sobre un cuerpo rígido que gira, efectúa trabajo sobre el cuerpo. Ese trabajo puede expresarse como una integral de la torca. El teorema trabajo-energía dice que el trabajo rotacional total efectuado sobre un cuerpo rígido es igual al cambio de energía cinética rotacional. La potencia, o rapidez con que la torca efectúa trabajo, es el producto de la torca y la velocidad angular. (Véanse los ejemplos 10.8 y 10.9.)
v cm
v cm 5 0 v 5 0
h
R
M
v
(sólo torca constante)
(10.22)
P 5 t z v z (10.23)
W tot 5
I v 22 2
I v 12
W 5 t z 1 u 2 2 u 1 2 5 t z Du
W 5
u 2
u 1
t z d u
Momento angular: El momento angular de una partícula con respecto a un punto O es el producto vectorial del vec- tor de posición de la partícula con respecto a O y a su momento lineal Si un cuerpo simétrico gira alre- dedor de un eje de simetría estacionario, su momento angu- lar es el producto de su momento de inercia y su vector de velocidad angular Si el cuerpo no es simétrico o el eje de rotación ( z ) no es un eje de simetría, la componente del momento angular sobre el eje de rotación es I v z. (Véase el ejemplo 10.10.)
v^ S^.
p^ S^5 m v^ S.
r^ S
(partícula)
(10.28) (cuerpo rígido que gira en torno a un eje de simetría)
L
S 5 I v^ S
L
S 5 S r^3 p^ S^5 S r^3 m v^ S
F tan
S
d u R
ds
R
O
F tan
S
v^ S
L
S
CAPÍTULO 10 RESUMEN
Términos clave
movimiento traslacional, 316 línea de acción, 317 brazo de palanca (brazo de momento), 317 torca, 317 traslación y rotación combinadas, 323
rodar sin deslizar, 324 momento angular, 331 principio de conservación del momento angular, 333
precesión, 337 rapidez angular de precesión, 388
Respuesta a la pregunta de inicio de capítulo?
Cuando el acróbata está en el aire, la torca neta que actúa sobre
su centro de masa es cero. Por lo tanto, el momento angular de su
cuerpo (el producto del momento de inercia I y la rapidez angu-
lar v) en torno al centro de masa se mantiene constante. Al estirar
sus extremidades, el acróbata aumenta I , así que v disminuye; si
encoge las extremidades, I disminuye y v aumenta.
Respuestas a las preguntas de
Evalúe su comprensión
10.1 Respuesta: ii) La fuerza P actúa a lo largo de una línea ver-
tical, de manera que el brazo de palanca es la distancia horizontal
desde A hasta la línea de acción. Ésta es la componente horizon-
tal de la distancia L , que es L cosu. Por lo tanto, la magnitud de la
torca es el producto de la magnitud de la fuerza P y el brazo de pa-
lanca o
10.2 Respuesta: iii), ii), i) Para que el objeto colgante de masa m 2
acelere hacia abajo, la fuerza neta sobre él debe ser hacia abajo.
Por lo tanto, la magnitud m 2 g de la fuerza del peso hacia abajo
debe ser mayor que la magnitud T 2 de la fuerza de tensión hacia
arriba. Para que la polea tenga aceleración angular en sentido hora-
rio, la torca neta sobre la polea debe ser en sentido horario. La ten-
sión T 2 tiende a girar la polea en sentido horario, en tanto que la
tensión T 1 tiende a girar la polea en sentido antihorario. Ambas
fuerzas de tensión tienen el mismo brazo de palanca R , de manera
que hay una torca T 2 R en sentido horario y una torca T 1 R en sen-
tido antihorario. Para que la torca neta sea en sentido horario, T 2
debe ser mayor que T 1. Por consiguiente, m 2 g. T 2. T 1.
10.3 Respuestas: a ) ii), b ) i) Si usted vuelve a realizar los cálcu-
los del ejemplo 10.6 con un cilindro hueco (momento de iner-
cia I cm 5 MR^2 en vez de un cilindro sólido (momento de inercia
), usted encontrará y (en vez de
y para un cilindro sólido). Por lo tanto, la ace-
leración es menor aunque la tensión sea mayor. Usted puede llegar
a cm- y 5 23 g T 5 13 Mg
I cm 5 12 MR^2 a cm- y 5 12 g T 5 12 Mg
L cos u, t 5 PL cos u.
a la misma conclusión sin efectuar el cálculo. Mayor momento de
inercia significa que el cilindro hueco girará más lentamente y, por
consiguiente, rodará hacia abajo más lentamente. Para hacer más
lento el movimiento descendente, se requiere una mayor fuerza de
tensión hacia abajo para oponerse a la fuerza de gravedad hacia
abajo.
10.4 Respuesta: iii) Aplicamos la misma torca durante el mismo
desplazamiento angular a ambos cilindros. Entonces, por la ecua-
ción (10.21), efectuamos la misma cantidad de trabajo sobre los
dos cilindros y les impartimos la misma energía cinética a ambos.
(El que tiene menor momento de inercia desarrolla la mayor rapi-
dez angular, aunque eso no es lo que se preguntó. Compare con el
ejemplo conceptual 6.5 de la sección 6.2.)
10.5 Respuestas: a) no, b) sí Al dar vuelta al círculo la pelota, la
magnitud de no cambia (la rapidez es constante), pero su
dirección sí lo hace, así que el vector de momento lineal no es
constante. Sin embargo, sí es constante: la pelota man-
tiene una magnitud constante (la rapidez y la distancia perpendicu-
lar entre la mano y la pelota no cambian) y una dirección constante
(sobre el eje de rotación, perpendicular al plano de movimiento de
la pelota). El momento lineal cambia porque una fuerza neta
actúa sobre la pelota (hacia el centro del círculo). El momento
angular no cambia porque no hay torca neta; el vector apunta de
la mano a la pelota, y la fuerza que actúa sobre la pelota apun-
ta hacia la mano, de modo que el producto vectorial
es cero.
10.6 Respuesta: i) En ausencia de torcas externas, el momento
angular de la Tierra Lz 5 I v z permanecería constante. El hielo de-
rretido se movería de los polos al ecuador (es decir, se alejaría del
eje de rotación del planeta) y el momento de inercia I de la Tierra
aumentaría un poco. Por lo tanto, la velocidad angular v z disminui-
ría ligeramente y el día duraría un poco más.
10.7 Respuesta: iii) Aumentar al doble la masa del volante dupli-
caría tanto su momento de inercia I como su peso w , así que la ra-
zón I > w no cambiaría. La ecuación (10.33) dice que la rapidez
angular de precesión depende de esta razón, así que el valor de V
no cambiaría.
t^ S^5 S r^3 F
F S
S r
S
F
S
L
S 5 r^ S^3 p^ S
p^ S^5 m v^ S
Dinámica rotacional y momento angular:
La torca externa neta sobre un sistema es igual a la
rapidez de cambio de su momento angular. Si la torca
externa neta que actúa sobre el sistema es cero, el
momento angular total del sistema es constante
(se conserva). (Véanse ejemplos 10.11 a 10.15.)
a t^ S^5 (10.29)
d L
S
dt
342 C APÍT U LO 10 Dinámica del movimiento rotacional
344 C APÍT U LO 10 Dinámica del movimiento rotacional
F 2 5 12.0 N F 1 5 8.00 N
O
2.00 m 3.00 m
Figura 10.38 Ejercicio 10.2.
P10.26. Si usted detiene un huevo crudo en rotación durante el instante más corto que pueda y lo vuelve a soltar, el huevo comenzará a girar otra vez. Si hace lo mismo con un huevo duro, éste se quedará deteni- do. Inténtelo y explíquelo. P10.27. Un helicóptero tiene un rotor principal grande que gira en un plano horizontal y proporciona sustentación. También hay un rotor pe- queño en la cola que gira en un plano vertical. ¿Para qué sirve? ( Suge- rencia: si no hubiera rotor de cola, ¿qué pasaría cuando el piloto alterara la rapidez angular del rotor principal?) Algunos helicópteros no tienen rotor de cola pero tienen dos rotores principales grandes que giran en un plano horizontal. ¿Por qué es importante que los dos roto- res principales giren en direcciones opuestas? P10.28. En un diseño de giróscopo común, el volante y su eje se encie- rran en un marco esférico ligero con el volante en el centro. El girósco- po se equilibra entonces sobre un pivote, de modo que el volante esté directamente encima del pivote. ¿El giróscopo precesa si se suelta mientras el volante está girando? Explique su respuesta. P10.29. Un giróscopo tarda 3.8 s en precesar 1.0 revolución alrededor de un eje vertical. Dos minutos después, sólo tarda 1.9 s en precesar 1.0 revolución. Nadie tocó el giróscopo. Explique por qué. P10.30. Un giróscopo precesa como en la figura 10.32. ¿Qué sucede si agregamos suavemente peso al extremo del eje del volante opuesto al pivote? P10.31. Una bala sale de un rifle girando sobre su eje. Explique cómo esto evita que la bala dé volteretas y mantiene la punta dirigida hacia adelante. P10.32. Cierta tornamesa uniforme de diámetro D 0 tiene momento an- gular L 0. Si usted quiere volver a diseñarla de manera que conserve la misma masa, pero tenga el doble de momento angular con la misma velocidad angular que antes, ¿cuál debería ser su diámetro en términos de D 0?
Ejercicios
Sección 10.1 Torca
10.1. Calcule la torca (magnitud y dirección) alrededor del punto O debido a la fuerza en cada una de las situaciones mostradas en la fi- gura 10.37. En todos los casos, la fuerza y la varilla están en el plano de la página, la varilla mide 4.00 m de largo y la fuerza tiene magnitud F 5 10.0 N.
F
F S
S
10.3. Una placa metálica cuadrada de 0.180 m por lado pivotea sobre un eje que pasa por el punto O en su centro y es perpendicular a la pla- ca (figura 10.39). Calcule la torca neta alrededor de este eje debido a las tres fuerzas mostradas en la figura, si sus magnitudes son F 1 5 18.0 N, F 2 5 26.0 N y F 3 5 14.0 N. La placa y todas las fuerzas están en el plano de la página.
F 2 F 1
F 3
0.180 m
0.180 m^ O
Figura 10.39 Ejercicio 10.3.
40.0 8 14.6 N
0.350 m
8.50 N
11.9 N
Figura 10.40 Ejercicio 10.4.
c)
e)
d)
f)
a) b)
O
120.0 8 F
O
2.00 m
F
O
F
O
F
O
F
O
90.0 8 F
Figura 10.37 Ejercicio 10.1.
10.2. Calcule la torca neta alrededor del punto O para las dos fuerzas aplicadas como en la figura 10.38. La varilla y las dos fuerzas están en el plano de la página.
10.4. Se aplican tres fuerzas a una rueda con radio de 0.350 m, como se indica en la figura 10.40. Una fuerza es perpendicular al borde, otra es tangente a éste y la otra forma un ángulo de 40.0° con el radio. ¿Cuál es la torca neta sobre la rueda debido a estas tres fuerzas para un eje perpendicular a la rueda y que pasa por su centro?
10.5. Una fuerza que actúa sobre una pieza mecánica es El vector del origen al punto de aplicación de la fuerza es a ) Haga un dibujo que muestre y el origen. b ) Use la regla de la mano derecha para determinar la dirección de la torca. c ) Calcule el vector de la torca vec- torial producido por la fuerza. Verifique que la dirección de la torca sea la misma que obtuvo en el inciso b ).
F
S S r , ,
r^ S^5 1 2 0.450 m 2 d^ 1 1 0.150 m 2 e^.
1 2 5.00 N 2 d^ 11 4.00 N 2 e^.
F
S 5
m 5 50.0 kg
F 5 160 N
v
Figura 10.43 Ejercicio 10.13 y problema 10.53.
5.00 kg
12.0 kg
Figura 10.44 Ejercicio 10.16.
10.6. Un maquinista usa una llave inglesa para aflojar una tuerca. La llave tiene 25.0 cm de longitud y él ejerce una fuerza de 17.0 N en el extremo del mango, formando un ángulo de 37° con éste (figura 10.41). a ) ¿Qué torca ejerce el ma- quinista alrededor del centro de la tuerca? b ) ¿Cuál es la torca máxi- ma que el maquinista podría ejer- cer con esta fuerza y cómo debería orientarse la fuerza?
Sección 10.2 Torca y aceleración angular
de un cuerpo rígido
10.7. El volante de un motor tiene momento de inercia de alrededor de su eje de rotación. ¿Qué torca constante se requiere para que alcance una rapidez angular de 400 rev>min en 8.00 s, partiendo del reposo? 10.8. Un casco esférico uniforme de 8.40 kg y 50.0 cm de diámetro tiene cuatro masas pequeñas de 2.00 kg pegadas a su superficie exterior, a distancias equidistantes. Esta com- binación gira en torno a un eje que pasa por el centro de la esfera y dos de las masas pe- queñas (figura 10.42). ¿Qué torca por fric- ción se requiere para reducir la rapidez angular del sistema, de 75.0 rpm a 50.0 rpm en 30.0 s? 10.9. Una pieza de maquinaria tiene la forma de una esfera sólida uniforme con masa de 225 g y diámetro de 3.00 cm, y gira alrededor de un eje sin fricción que pasa por su centro; sin embargo, en un punto de su ecuador roza contra un metal, lo cual produce una fuerza de fricción de 0.0200 N en ese punto. a ) Calcule su aceleración angular. b ) ¿Cuánto tiempo reque- rirá para disminuir su rapidez rotacional en 22.5 rad>s? 10.10. Un cordón se enrolla en el borde de una rueda sólida uniforme de 0.250 m de radio y masa de 9.20 kg. Se tira del cordón con una fuer- za horizontal constante de 40.0 N hacia la derecha, quitándolo tangen- cialmente de la rueda, la cual está montada con cojinetes sin fricción en un eje horizontal que pasa por su centro. a ) Calcule la acelera- ción angular de la rueda y la aceleración de la parte del cordón que ya se haya retirado de la rueda. b ) Encuentre la magnitud y la dirección de la fuerza que el eje ejerce sobre la rueda. c ) ¿Por qué las respuestas a los incisos a ) y b ) cambiarían si el tirón fuera hacia arriba en vez de horizontal? 10.11. Un cilindro uniforme sólido con masa de 8.25 kg y diámetro de 15.0 cm gira a 220 rpm sobre un eje delgado sin fricción, que pasa a lo largo del eje del cilindro. Se diseña un freno de fricción sencillo para detener el cilindro empujando el freno contra el borde exterior con una fuerza normal. El coeficiente de fricción cinética entre el freno y el borde es de 0.333. ¿Qué fuerza normal debe aplicarse para detener el cilindro después de girar 5.25 revoluciones? 10.12. Una piedra cuelga del extremo libre de un cable enrollado en el borde exterior de una polea, como se muestra en la figura 10.10. La po- lea es un disco uniforme con masa de 10.0 kg y 50.0 cm de radio, que gira sobre cojinetes sin fricción. Se determina que la piedra recorre 12.6 m en los primeros 3.00 s partiendo del reposo. Calcule a ) la masa de la piedra y b ) la tensión en el cable. 10.13. Una piedra de afilar en forma de disco sólido con 0.520 m de diámetro y masa de 50.0 kg gira a 850 rev>min. Usted presiona una hacha contra el borde de la piedra con una fuerza normal de 160 N (figura 10.43), y la piedra se detiene en 7.50 s. Calcule el coeficien- te de fricción entre el hacha y la piedra. Ignore la fricción de los cojinetes.
2.50 kg #^ m^2
Tuerca
17.0 N
25.0 cm
Figura 10.41 Ejercicio 10.6.
Eje de rotación
Figura 10.
Ejercicio 10.8.
10.14. Una cubeta con agua de 15.0 kg se suspende de una cuerda lige- ra, enrollada en un cilindro sólido de 0.300 m de diámetro y masa de 12.0 kg. El cilindro pivotea en un eje sin fricción que pasa por su cen- tro. La cubeta se suelta del reposo en el borde de un pozo y cae 10.0 m al agua. a ) ¿Qué tensión hay en la cuerda mientras la cubeta cae? b ) ¿Con qué rapidez golpea la cubeta el agua? c ) ¿Cuánto tarda en caer? d ) Mientras la cubeta cae, ¿qué fuerza ejerce el eje sobre el cilindro? 10.15. Un libro de 2.00 kg descansa en una superficie horizontal sin fricción. Un cordel atado al libro pasa por una polea de 0.150 m de diá- metro, y está atado en su otro extremo a un libro colgante con masa de 3.00 kg. El sistema se suelta del reposo y se observa que los libros se mueven 1.20 m en 0.800 s. a ) Calcule la tensión en cada sección del cordel. b ) Calcule el momento de inercia de la polea con respecto a su eje de rotación. 10.16. Una caja de 12.0 kg que descansa sobre una superficie horizon- tal sin fricción está unida a un peso de 5.00 kg con un alambre delgado y ligero que pasa por una polea sin fricción (figura 10.44). La polea tiene la forma de un disco sólido uniforme con masa de 2.00 km y diá- metro de 0.500 m. Después de que el sistema se libera, calcule a ) la tensión en el alambre en ambos lados de la polea, b ) la aceleración de la caja, y c ) las componentes horizontal y vertical de la fuerza que el eje ejerce sobre la polea.
10.17. Un poste delgado uniforme de 15.0 kg y 1.75 m de longitud se mantiene vertical mediante un ca- ble y tiene unidos una masa de 5. kg (como se indica en la figura 10.45) y un pivote en su extremo inferior. La cuerda unida a la masa de 5.0 kg pasa por una polea sin masa y sin fricción, y tira perpen- dicularmente del poste. De repente, el cable se rompe. a ) Encuentre la aceleración angular del poste alre- dedor del pivote cuando el cable se rompe. b ) La aceleración angular calculada en el inciso a ) permanece constante conforme el poste cae (antes de que golpee la polea)? ¿Por qué? c ) ¿Cuál es la aceleración de la masa de 5.00 kg después de que el
Cable
0.500 m
5.00 kg
Pivote
Figura 10.45 Ejercicio 10.17.
Ejercicios 345
Figura 10.49 Ejercicio 10.41.
Sección 10.5 Momento angular
10.34. Una mujer con masa de 50 kg está parada en el borde de un dis- co grande, con masa de 110 kg y radio de 4.0 m, que gira a 0.50 rev>s alrededor de un eje que pasa por su centro. Calcule la magnitud del momento angular total del sistema mujer-disco. (Suponga que la mujer puede tratarse como punto.) 10.35. Una piedra de 2.00 kg tie- ne una velocidad horizontal con magnitud de 12.0 m>s cuando está en el punto P de la figura 10.47. a ) ¿Qué momento angular (magnitud y dirección) tiene con respecto a O en ese instante? b ) Suponiendo que la única fuerza que actúa so- bre la piedra es su peso, calcule la rapidez del cambio (magnitud y dirección) de su momento angular en ese instante. 10.36. a ) Calcule la magnitud del momento angular de la Tierra en ór- bita alrededor del Sol. ¿Es razonable considerar a la Tierra como par- tícula? b ) Calcule la magnitud del momento angular de la Tierra debida a su rotación en torno a un eje que pasa por los polos norte y sur, tratando a la Tierra como una esfera uniforme. Consulte el Apén- dice E y los datos astronómicos del Apéndice F. 10.37. Calcule la magnitud del momento angular del segundero de un reloj alrededor de un eje que pasa por el centro de la carátula, si tal manecilla tiene una longitud de 15.0 cm y masa de 6.00 g. Trate la ma- necilla como una varilla delgada que gira con velocidad angular cons- tante alrededor de un extremo. 10.38. Una esfera hueca de pared delgada con masa de 12.0 kg y diá- metro de 48.0 cm gira alrededor de un eje que pasa por su cen- tro. El ángulo (en radianes) con el que gira en función del tiempo (en segundos) está dado por donde A tiene valor nu- mérico de 1.50 y B tiene valor numérico de 1.10. a ) ¿Cuáles son las unidades de las constantes A y B? b ) En el instante t 5 3.00 s, calcule i) el momento angular de la esfera y ii) la torca neta de la esfera.
Sección 10.6 Conservación del momento angular
10.39. En ciertas circunstancias, una estrella puede colapsarse forman- do un objeto extremadamente denso constituido principalmente por neutrones y llamado estrella de neutrones. La densidad de tales estre- llas es unas 10 14 veces mayor que la de la materia sólida ordinaria. Suponga que representamos la estrella como esfera sólida rígida uni- forme, tanto antes como después del colapso. El radio inicial era de 7.0 3 10 5 km (comparable al del Sol); y el final, de 16 km. Si la es- trella original giraba una vez cada 30 días, calcule la rapidez angular de la estrella de neutrones. 10.40. Un bloque pequeño de 0.0250 kg en una superficie hori- zontal sin fricción está atado a un cordón sin masa que pasa por un agujero en la superficie (figura 10.48). El bloque inicialmente está girando a una distancia de 0.300 m del agujero, con rapidez angular de 1.75 rad>s. Ahora se tira del cordón desde abajo, acor- tando el radio del círculo que describe el bloque a 0.150 m. El bloque puede tratarse como par- tícula. a ) ¿Se conserva el momen- to angular del bloque? ¿Por qué? b ) ¿Qué valor tiene ahora la rapi- dez angular? c ) Calcule el cambio de energía cinética del bloque. d ) ¿Cuánto trabajo se efectuó al tirar del cordón?
u 1 t 2 5 At^2 1 Bt^4 ,
10.41. Patinador que gira. Los brazos estirados de un patinador que prepara un giro pueden considerarse como una varilla delgada que pi- votea sobre un eje que pasa por su centro (figura 10.49). Cuando los brazos se juntan al cuerpo para ejecutar el giro, se pueden considerar como un cilindro hueco de pared delgada. Los brazos y las manos tie- nen una masa combinada de 8.0 kg; estirados, abarcan 1.8 m; y encogi- dos, forman un cilindro con 25 cm de radio. El momento de inercia del resto del cuerpo alrededor del eje de rotación es constante e igual a Si la rapidez angular original del patinador es de 0. rev>s, ¿cuál es la rapidez angular final?
0.40 kg #^ m^2.
10.42. Una clavadista sale del trampolín con los brazos hacia arriba y las piernas hacia abajo, lo que le confiere un momento de inercia alre- dedor de su eje de rotación de Luego, ella forma una pe- queña bola, reduciendo su momento de inercia a y gira dos revoluciones completas en 1.0 s. Si no se hubiera encogido, ¿cuán- tas revoluciones habría girado en los 1.5 s que tarda en caer desde el trampolín al agua? 10.43. Una tornamesa de madera de 120 kg con forma de disco plano tiene 2.00 m de radio y gira inicialmente alrededor de un eje vertical, que pasa por su centro, a 3.00 rad>s. De repente, un paracaidista de 70.0 kg se posa suavemente sobre la tornamesa en un punto cerca del borde. a ) Calcule la rapidez angular de la tornamesa después de que el paracaidista se posa en ella. (Suponga que puede tratarse al paracai- dista como partícula.) b ) Calcule la energía cinética del sistema antes y después de la llegada del paracaidista. ¿Por qué no son iguales estas energías? 10.44. Una puerta de madera sólida de 1.00 m de ancho y 2.00 m de al- to tiene las bisagras en un lado y una masa total de 40.0 kg. La puerta, que inicialmente está abierta y en reposo, es golpeada en su centro por un puñado de lodo pegajoso con masa de 0.500 kg, que viaja en direc- ción perpendicular a la puerta a 12.0 m>s justo antes del impacto. Calcu- le la rapidez angular final de la puerta. ¿Es apreciable la aportación del lodo al momento de inercia? 10.45. Un bicho de 10.0 g está parado en el extremo de una barra del- gada uniforme que inicialmente está en reposo en una mesa horizontal lisa. El otro extremo de la barra pivotea en torno a un clavo incrustado en la mesa, y puede girar libremente sin fricción. La masa de la barra es de 50.0 g, y su longitud de 100 cm. El bicho salta en dirección hori- zontal, perpendicular a la barra, con rapidez de 20.0 cm>s relativa a la mesa. a ) Calcule la rapidez angular de la barra inmediatamente des- pués del salto del insecto retozón. b ) Calcule la energía cinética total del sistema inmediatamente después del salto. c ) ¿De dónde proviene la energía?
3.6 kg #^ m^2
18 kg #^ m^2.
Figura 10.48 Ejercicio
10.40, problema 10.92 y
problema de desafío 10.103.
v 5 12.0 m/s
8.00 m
P
O
Figura 10.47 Ejercicio 10.35.
Ejercicios 347
348 C APÍT U LO 10 Dinámica del movimiento rotacional
10.46. ¡Choque de asteroide! Suponga que un asteroide que viaja en línea recta hacia el centro de la Tierra fuera a estrellarse contra nuestro planeta en el ecuador y se incrustaría apenas por debajo de la superficie. En términos de la masa terrestre M , ¿cuál tendría que ser la masa de dicho asteroide para el día que se vuelva 25.0% más grande de lo que actualmente es como resultado del choque? Suponga que el asteroide es muy pequeño en comparación con la Tierra y que ésta es un todo uniforme. 10.47. Una barra metálica delgada y uniforme, de 2.00 m de longitud y con un peso de 90.0 N, cuelga verticalmente del techo en un pivote sin fricción colocado en el extremo superior. De repente, una pelota de 3.00 kg, que viaja inicialmente a 10.0 m>s en dirección horizontal, gol- pea la barra 1.50 m abajo del techo. La pelota rebota en dirección opuesta con rapidez de 6.00 m>s. a ) Calcule la rapidez angular de la barra inmediatamente después del choque. b ) Durante el choque, ¿por qué se conserva el momento angular pero no el momento lineal?
Sección 10.7 Giróscopos y precesión
10.48. Dibuje una vista superior del giróscopo de la figura 10.32. a ) Di- buje flechas rotuladas para y Dibuje producido por
Dibuje Determine el sentido de precesión examinando las direcciones de y b ) Invierta la dirección de la velocidad an-
gular del rotor y repita todos los pasos del inciso a ). c ) Mueva el pivote al otro extremo del eje, con la misma dirección de velocidad angular que
en el inciso b ), y repita todos los pasos. d ) Con el pivote como en el inci- so c ), invierta la velocidad angular del rotor y repita todos los pasos. 10.49. El rotor (volante) de un giróscopo de juguete tiene una masa de 0.140 kg. Su momento de inercia alrededor de su eje es 1.20 3 1024 kg · m^2. La masa del marco es de 0.0250 kg. El giróscopo se apoya en un solo pivote (figura 10.50) con su centro de masa a una distancia hori- zontal de 4.00 cm del pivote. El giróscopo precesa en un plano horizon- tal a razón de una revolución cada 2.20 s. a ) Calcule la fuerza hacia arriba ejercida por el pivote. b ) Calcule la rapidez angular en rpm con que el rotor gira sobre su eje. c ) Copie el diagrama e indique con vec- tores el momento angular del rotor y la torca que actúa sobre él.
L
S 1 d L
S L.
S
L
S 1 d L
S .
d L t^ S.
S L t^ S.
S v^ S^ ,
10.50. Un giróscopo en la Luna. Cierto giróscopo precesa a razón de 0.50 rad>s cuando se utiliza en la Tierra. Si se transportara a una ba- se lunar, donde la aceleración debida a la gravedad es de 0.165 g , ¿cuál sería su tasa de precesión? 10.51. Un giróscopo precesa alrededor de un eje vertical. Describa qué pasa con la rapidez angular de precesión si se efectúan los siguientes cambios, sin alterar las demás variables: a ) se duplica la rapidez angu- lar del volante; b ) se duplica el peso total; c ) se duplica el momento de inercia del volante alrededor de su eje; d ) se duplica la distancia del pi- vote al centro de gravedad. e ) ¿Qué sucede si se duplican simultánea- mente las cuatro variables de los incisos a ) a d )? 10.52. La Tierra precesa una vez cada 26,000 años y gira sobre su eje una vez al día. Estime la magnitud de la torca que causa tal precesión.
Quizá necesite datos del Apéndice F. Haga la estimación suponiendo que: i) la Tierra es una esfera uniforme y ii) la precesión de la Tierra es como la del giróscopo de la figura 10.34. En este modelo, el eje de pre- cesión y el de rotación son perpendiculares. En realidad, el ángulo en- tre estos dos ejes para la Tierra es de sólo esto afecta la torca calculada en un factor de casi 2.
Problemas 10.53. Una piedra de afilar de 50.0 kg es un disco sólido de 0.520 m de diámetro. Se empuja una hacha contra el borde con una fuerza nor- mal de 160 N (figura 10.43). El coeficiente de fricción cinética entre la piedra y el hacha es de 0.60, y hay una torca por fricción constante de entre el eje de la piedra y sus cojinetes. a ) ¿Qué fuerza de- be aplicarse tangencialmente al extremo de una manivela impulsora de 0.500 m para llevar la piedra del reposo a 120 rev>min en 9.00 s? b ) Una vez que la piedra alcanza esa rapidez angular, ¿qué fuerza tangencial se tendría que aplicar al extremo de la manivela impulsora para mantenerla a una rapidez angular constante de 120 rev>min? c ) ¿Cuánto tiempo tarda la piedra en detenerse, si sólo la fricción del eje actúa sobre ella y está girando a 120 rev>min? 10.54. Una rueda experimental de bicicleta se coloca en un banco de pruebas, de modo que pueda girar libremente sobre su eje. Se ejerce una torca neta constante de a la rueda durante 2.00 s, au- mentando la rapidez angular de la rueda de 0 a 100 rev>min. Luego, se deja de aplicar la torca externa y la fricción en los cojinetes de la rueda detiene a ésta en 125 s. Calcule: a ) el momento de inercia de la rueda alrededor del eje de rotación; b ) la torca de fricción; c ) el nú- mero total de revoluciones que la rueda gira en ese lapso de 125 s. 10.55. Velocímetro. El velocímetro de un automóvil convierte la ra- pidez angular de las ruedas a rapidez lineal del auto, suponiendo que los neumáticos son de tamaño estándar y no hay deslizamiento sobre el pavimento. a ) Si los neumáticos estándares de un automóvil tienen 24 pulgadas de diámetro, ¿a qué tasa (en rpm) giran las ruedas cuando se maneja en carretera a una rapidez de 60 mi>h? b ) Suponga que se ins- talan neumáticos demasiado grandes, de 30 pulgadas de diámetro, en el vehículo. ¿Qué tan rápido viajará realmente cuando el velocímetro marque 60 mi>h? c ) Si ahora los neumáticos se cambian por unos más pequeños de 20 pulgadas de diámetro, ¿cuál será la lectura del velocí- metro cuando realmente se viaje a 50 mi>h? 10.56. Un disco hueco uniforme tiene dos trozos de alambre delgado ligero que se enrollan alrededor de su borde exterior y están sujetos al techo (figura 10.51). De repente, se rompe uno de los alambres, y el alambre que queda no se desliza conforme el disco rueda hacia abajo. Utilice la conservación de la energía para calcular la rapidez del centro de este disco, después de que haya caído una distancia de 1.20 m.
5.00 N #^ m
6.50 N #^ m
4.00 cm
Rotor
Figura 10.50 Ejercicio 10.49.
50.0 cm
cm
Figura 10.51 Problema 10.56.
350 C APÍT U LO 10 Dinámica del movimiento rotacional
del disco mayor. ¿En qué caso es mayor la aceleración del bloque? ¿Es lógica la respuesta? 10.66. Se tira de un aplanador en forma de cilindro hueco con pared delgada y masa M , aplicando una fuerza horizontal constante F a un mango sujeto al eje. Si el aplanador rueda sin resbalar, calcule la acele- ración y la fuerza de fricción. 10.67. Dos pesos están conectados por un cordón flexible muy lige- ro, que pasa por una polea sin fricción de 50.0 N y radio de 0.300 m. La polea es un disco sólido uniforme y está apoyada de un gancho unido al techo (fi- gura 10.56). ¿Qué fuerza ejerce el techo sobre el gancho? 10.68. Un disco sólido rueda sin resbalar en una superficie plana con rapidez constante de 2. m>s. a ) ¿Hasta qué altura puede subir por una rampa de 30.0° an- tes de parar? b ) Explique por qué su respuesta anterior no depende de la masa ni del radio del disco. 10.69. El yoyo. Un yoyo consiste en dos discos uniformes, cada uno con masa m y radio R , conectados por un eje ligero de radio b. Un cor- dón ligero se enrolla varias veces en el eje y luego se sostiene fijo mientras el yoyo se libera del reposo, cayendo al desenrollarse el hilo. Calcule las aceleraciones lineal y angular del yoyo, y la tensión en el cordón. 10.70. Un esfera hueca de pared delgada, con masa m y radio r , par- te del reposo y rueda hacia abajo sin deslizarse por la pista que se muestra en la figura 10.57. Los puntos A y B están en la parte circu- lar de la pista, cuyo radio es R. El diámetro de la esfera es muy pe- queño comparado con h 0 y R , y la fricción de rodamiento es despreciable. a ) ¿Cuál es la altura mínima h 0 para la cual esta esfera dará una vuelta completa a la parte circular de la pista? b ) ¿Qué tan fuerte empuja la pista sobre la esfera en el punto B , que está al mis- mo nivel que el centro del círculo? c ) Suponga que la pista no tiene fricción y que la esfera se suelta desde la misma altura h 0 que usted obtuvo en el inciso a ). ¿Daría la vuelta completa al bucle? ¿Cómo lo sabe? d ) En el inciso c ), ¿qué tan fuerte empuja la pista sobre la esfe- ra en el punto A , la cima del círculo? ¿Qué tan fuerte empujó sobre la esfera en el inciso a )?
10.72. Como se muestra en la figura 10.46, un cordón está enrollado varias vueltas en el borde de un aro con radio de 0.0800 m y masa de 0.180 kg. Se tira hacia arriba del extremo libre del aro, de forma tal que el aro no se mueve verticalmente mientras el cordón se desenrolla. a ) Calcule la tensión en el hilo mientras se desenrolla. b ) Determine la aceleración angular del aro durante el desenrollado del cordón. c ) Calcu- le la aceleración hacia arriba de la mano que tira del extremo libre del cordón. d ) ¿Cómo cambiarían sus respuestas si el aro se sustituyera por un disco sólido con los mismos masa y radio? 10.73. Partiendo del reposo, se aplica una fuerza constante F 5 100 N al extremo libre de un cable de 50 m, que está enrollado en el borde ex- terior de un cilindro sólido uniforme de 4.00 kg con diámetro de 30. cm, en una situación similar a la de la figura 10.9a. El cilindro puede girar libremente en torno a un eje fijo, sin fricción, que pasa por su centro. a ) ¿Cuánto tarda en desenrollarse todo el cable y con qué rapi- dez se está moviendo éste en el instante en que termina de desenrollar- se? b ) Suponga ahora que, en vez de un cilindro, se usa un aro uniforme, pero sin alterar ninguna de las cantidades dadas. ¿Las res- puestas a la pregunta del inciso a ) serían valores más altos o más bajos en este caso? Explique su respuesta. 10.74. Una canica uniforme baja rodando sin resbalar por el trayec- to de la figura 10.59, partiendo del reposo. a ) Calcule la altura míni- ma h que evita que la canica caiga en el foso. b ) El momento de iner- cia de la canica depende de su ra- dio. Explique por qué la respuesta al inciso a ) no depende del radio de la canica. c ) Resuelva el inciso a ) para un bloque que se desliza sin fricción, en vez de una canica que rueda. Compare la h mínima en este caso con la respuesta al in- ciso a ). 10.75. Piedras rodantes. Un peñasco esférico, sólido y uniforme, parte del reposo y baja rodando por la ladera de una colina de 50.0 m de altura (figura 10.60). La mitad superior de la colina es lo bastante áspera como para que el peñasco ruede sin resbalar; sin embargo, la mitad inferior está cubierta de hie- lo y no hay fricción. Calcule la ra- pidez de traslación del peñasco al llegar al pie de la colina. 10.76. Una esfera sólida uniforme rueda sin resbalar subiendo una colina, como se muestra en la fi- gura 10.61. En la cima, se está moviendo horizontalmente y des- pués se cae por un acantilado ver- tical. a ) ¿A qué distancia del pie del acantilado cae la esfera y con qué rapidez se está moviendo jus- to antes de tocar el suelo? b ) Ob- serve que, al tocar tierra la esfera,
F
F
F
Figura 10.58 Problema 10.71.
28.0 m
25.0 m/s
Figura 10.61 Problema 10.76.
A
B
Esfera
R
h o
Figura 10.57 Problema 10.70.
10.71. La figura 10.58 muestra tres yoyos idénticos que inicialmente están en reposo en una superficie horizontal. Se tira del cordel de ca- da uno en la dirección indicada. Siempre hay suficiente fricción para que el yoyo ruede sin resbalar. Dibuje un diagrama de cuerpo libre para cada yoyo. ¿En qué dirección girará cada uno? Explique sus respuestas.
h 5?
45 m
36 m
Foso25 m
Figura 10.59 Problema 10.74.
125 N
75.0 N
Figura 10.56 Problema 10.67.
50.0 m
Áspero
Liso
Figura 10.60 Problema 10.75.
tiene mayor rapidez traslacional que cuando estaba en la base de la co- lina. ¿Implica esto que la esfera obtuvo energía de algún lado? ¡Expli- que su respuesta! 10.77. Una rueda de 42.0 cm de diámetro, consiste en un borde y seis rayos, está hecha de un material plástico rígido y delgado con una den- sidad lineal de masa de 25.0 g>cm. Esta rueda se suelta desde el reposo en la cima de una colina de 58.0 m de altura. a ) ¿Con qué rapidez rue- da cuando llega a la base de la colina? b ) ¿Cómo cambiaría su respues- ta si la densidad lineal de masa y el diámetro de la rueda se aumentaran al doble? 10.78. Una bicicleta antigua tiene una rueda delantera grande con la manivela para pedalear montada en su eje, y una rueda trasera peque- ña que gira con independencia de la delantera: no hay cadena que co- necte las ruedas. El radio de la rueda delantera es de 65.5 cm, y el de la trasera es de 22.0 cm. Una bicicleta moderna tiene llantas de 66. cm (26 pulgadas) de diámetro y ruedas dentadas delantera y trasera con radios de 11.0 cm y 5.5 cm, respectivamente. La rueda dentada trasera está unida rígidamente al eje de la llanta trasera. Imagine que monta la bicicleta moderna y gira la rueda dentada delantera a 1. rev>s. Las llantas de ambas bicicletas ruedan sin resbalar contra el suelo. a ) Calcule su rapidez lineal al montar la bicicleta moderna. b ) ¿Con qué rapidez deberá pedalear la manivela de la bicicleta anti- gua para viajar con la misma rapidez que en el inciso a )? c ) ¿Qué ra- pidez angular (en rev>s) tendrá entonces la llanta trasera pequeña de la bicicleta antigua? 10.79. En un experimento, se deja que una bola sólida uniforme baje rodando por una pista curva, partiendo del reposo y rodando sin res- balar. La distancia vertical que la bola baja es h. La base de la pista es horizontal y se extiende hasta el borde de una mesa; la bola sale de la pista viajando horizontalmente. En caída libre después de salir de la pista, la bola se mueve una distancia horizontal x y una distan- cia vertical y. a ) Calcule x en términos de h y y , despreciando el trabajo de la fricción. b ) ¿Cambiaría la respuesta al inciso a ) en la Luna? c ) Aunque el experimento se haga con mucho cuidado, el va- lor medido de x es siempre un poco menor que el calculado en el inciso a ). ¿Por qué? d ) ¿Cuánto valdría x con las mismas h y y del in- ciso a ), si lo que rodara por la pista fuera una moneda? Puede des- preciarse el trabajo de la fricción. 10.80. En un rifle de resorte, un resorte con constante de fuerza de 400 N>m se comprime 0.15 m. Al dispararse el rifle, el 80.0% de la energía potencial elástica almacenada en el resorte se convierte, finalmente, en energía cinética de una esfera uniforme de 0.0590 kg que rueda sin res- balar hasta la base de una rampa. La bola sube rodando sin resbalar por la rampa, hasta que el 90.0% de la energía cinética que tenía en la base se convierte en un aumento de la energía potencial gravitacional en el instante en que se detiene. a ) ¿Qué rapidez tiene el centro de masa de la bola en la base de la rampa? b ) En esta posición, ¿qué rapidez tiene un punto en la parte superior de la bola? c ) ¿Y un punto en la parte in- ferior? d ) ¿Qué altura vertical máxima alcanza la bola en la rampa? 10.81. Una rueda está rodando sobre una superficie horizontal con rapi- dez constante. Las coordenadas de cierto punto del borde de la rueda son y donde R y T son constantes. a ) Dibuje la trayectoria del punto entre t 5 0 y t 5 2 T. Una curva con esta forma se llama cicloide. b ) ¿Qué sig- nifican las constantes R y T? c ) Calcule las componentes x y y de la ve- locidad y de la aceleración del punto en cualquier instante t. d ) Calcule los instantes en que el punto está instantáneamente en reposo. ¿Qué componentes x y y tiene la aceleración en esos instantes? e ) Calcule la magnitud de la aceleración del punto. ¿Depende del tiempo? Compáre- la con la magnitud de la aceleración de una partícula en movimiento circular uniforme, a rad 5 4 p^2 R > T^2. Explique su resultado para la mag-
x^1 t^2 5 R^312 p t / T^2 2 sen 12 p t / T 2 4 y^1 t^2 5 R^31 2 cos 12 p t / T 2 4,
nitud de la aceleración del punto en la rueda usando la idea de que el ro- damiento es una combinación de movimientos rotacional y traslacional. 10.82. Una niña empuja un balón de baloncesto de 0.600 kg para que suba rodando por una rampa larga. El balón puede considerarse como esfera hueca de pared delgada. Cuando la niña suelta el balón en la ba- se de la rampa, éste tiene una rapidez de 8.0 m>s. Cuando el balón vuelve a ella después de subir por la rampa y regresar rodando, tiene una rapidez de 4.0 m>s. Suponga que el trabajo efectuado por la fric- ción sobre el balón es el mismo cuando sube o baja por la rampa, y que el balón rueda sin resbalar. Calcule el aumento máximo en la altura vertical del balón al subir por la rampa. 10.83. Un cilindro sólido uniforme de masa M y radio 2 R descansa en una mesa horizontal. Se ata un cordón mediante un yugo a un eje sin fricción que pasa por el centro del cilindro, de modo que éste puede gi- rar sobre el eje. El cordón pasa por una polea con forma de disco de masa M y radio R , que está montada en un eje sin fricción que pasa por su centro. Un bloque de masa M se suspende del extremo libre del hilo (figura 10.62). El hilo no resbala en la polea, y el cilindro rueda sin res- balar sobre la mesa. Si el sistema se libera del reposo, ¿qué aceleración hacia abajo tendrá el bloque?
M
M
R
M
2R
Figura 10.62 Problema 10.83.
10.84. Un puente levadizo uniforme de 8.00 m de longitud está unido al camino en un extremo mediante una articulación sin fricción, y puede levantarse con un cable unido al otro extremo. El puente está en reposo, suspendido 60.0° sobre la horizontal, cuando el cable se rom- pe repentinamente. a ) Calcule la aceleración angular del puente inme- diatamente después de romperse el cable. (La gravedad se comporta como si actuara en el centro de masa.) b ) ¿Podría usar la ecuación para calcular la rapidez angular del puente levadizo en un instante posterior? Explique por qué. c ) ¿Qué rapidez angular tiene el puente en el momento de quedar horizontal? 10.85. Una esfera de 5.00 kg se deja caer desde una altura de 12.0 m arriba de un extremo de una barra uniforme que está pivoteada en su centro. La masa de la barra es de 8.00 kg y su longitud es de 4.00 m. Sobre el otro extremo de la barra descansa otra esfera de 5.00 kg, no sujeta a la barra. La esfera que cae se queda pegada a la barra después del choque. ¿Qué altura alcanzará la otra esfera después del choque? 10.86. Una varilla uniforme de 0.0300 kg y 0.400 m de longitud gira en un plano horizontal alrededor de un eje fijo que pasa por su centro y es perpendicular a la varilla. Dos anillos pequeños con masa de 0.0200 kg cada uno se montan de modo que pueden deslizarse a lo largo de la varilla, aunque inicialmente están sujetos con broches en posiciones a 0.0500 m del centro de la varilla a cada lado, y el sistema está girando a 30.0 rev>min. Sin alterar de otro modo el sistema, los broches se sueltan y los anillos se deslizan hacia afuera por la varilla, saliendo despedidos por los extremos. a ) ¿Qué rapidez angular tiene el sistema en el instante en que los anillos llegan a los extremos de la varilla? b ) ¿Qué rapidez angular tiene la varilla una vez que los anillos se salen?
v 5 v 0 1 a t
Problemas 351
llll lll l l llll l lll l
llll llll ll llll ll llll
x
v
0.900 m
0.600 m
cm
Figura 10.64 Problema 10.98.
gración de la ecuación (10.29) da (véase el proble- ma 10.88).] El punto encontrado en el bate se denomina centro de per- cusión. Si se golpea una bola lanzada con ese punto se reduce al mínimo la “punzada” que el bateador siente en las manos.
D L 5 ∫ t t^21 1 gt 2 dt 10.101.^ Cuando un objeto rueda sin resbalar, la fuerza de fricción de
rodamiento es mucho menor que la fuerza de fricción cuando el obje- to resbala; una moneda rueda sobre su borde con mucha mayor rapi- dez que si resbala sobre su cara plana. (Véase la sección 5.3.) Si un objeto rueda sin resbalar sobre una superficie horizontal, podemos suponer que la fuerza de fricción es cero, de modo que a (^) x y a z son aproximadamente cero, y vx y v z son aproximadamente constantes. Rodar sin resbalar implica que vx 5 r v z y a (^) x 5 r a z. Si un objeto se pone en movimiento en una superficie sin estas igualdades, la fric- ción de deslizamiento (cinética) actuará sobre el objeto mientras se desliza, hasta que se establece el rodamiento sin deslizamiento. Un cilindro sólido de masa M y radio R , girando con rapidez angular v 0 alrededor de un eje que pasa por su centro, se coloca en una super- ficie horizontal para la que el coeficiente de fricción cinética es μ k. a ) Dibuje un diagrama de cuerpo libre del cilindro en la superficie. Medite bien la dirección de la fuerza de fricción cinética que actúa sobre el cilindro. Calcule las aceleraciones a (^) x del centro de masa y a z de rotación alrededor del centro de masa. b ) Inicialmente, el cilindro está resbalando totalmente, ya que v z 5 v 0 pero vx 5 0. El rodamien- to sin deslizamiento se inicia cuando vx 5 R v z. Calcule la distancia que el cilindro rueda antes de que deje de resbalar. c ) Calcule el tra- bajo efectuado por la fuerza de fricción sobre el cilindro, mientras éste se movió desde el punto donde se colocó, hasta el punto donde comenzó a rodar sin resbalar. 10.102. Se construye una rueda de giróscopo para demostración qui- tando el neumático de una rueda de bicicleta de 0.650 m de diámetro, enrollando alambre de plomo en el borde y pegándolo con cinta. El eje se proyecta 0.200 m a cada lado de la rueda y una mujer sostiene los extremos del eje en sus manos. La masa del sistema es de 8.00 kg; pue- de suponerse que toda la masa se encuentra en el borde. El eje es hori- zontal y la rueda está girando alrededor del eje a 5.00 rev>s. Calcule la magnitud y la dirección de la fuerza que cada mano ejerce sobre el eje a ) cuando el eje está en reposo; b ) cuando el eje gira en un plano hori- zontal alrededor de su centro a 0.050 rev>s; c ) cuando el eje está giran- do en un plano horizontal alrededor de su centro a 0.300 rev>s. d ) ¿Con qué rapidez debe girar el eje para que pueda sostenerse sólo en un extremo? 10.103. Un bloque con masa m gira con rapidez lineal v 1 en un círculo de radio r 1 sobre una superficie horizontal sin fricción (véase la figura 10.48). Se tira del cordón lentamente desde abajo, hasta que el radio del círculo descrito por el bloque se reduce a r 2. a ) Calcule la tensión T en el cordón en función de r , la distancia entre el bloque y el agujero. Su respuesta estará en términos de la velocidad inicial v 1 y el radio r 1. b ) Use para calcular el trabajo efectuado por cuando r cambia de r 1 a r 2. c ) Compare los resultados del inciso b ) con el cambio en la energía cinética del bloque.
T
S
W 5 ∫ r r^21 T
S 1 r 2 #^ d^ S r
Problemas de desafío 353
10.99. Considere un giróscopo, cuyo eje está inclinado con respecto a la horizontal un ángulo b. Demuestre que la frecuencia angular de pre- cesión no depende del valor de b, sino que está dado por la ecuación (10.33).
Problemas de desafío
10.100. Una esfera uniforme de radio R rueda sin resbalar entre dos rieles, de modo que la distancia horizontal entre los dos puntos de con- tacto de los rieles con la esfera es d. a ) Haga un dibujo y demuestre que, en cualquier instante, Analice esta expre- sión en los límites d 5 0 y d 5 2 R. b ) En el caso de una esfera unifor- me que parte del reposo y desciende una distancia vertical h mientras baja una rampa rodando sin resbalar, Sustituyendo la rampa por los dos rieles, demuestre que
En ambos casos, se despreció el trabajo efectuado por la fricción. c ) ¿Cuál rapidez del inciso b ) es menor? ¿Por qué? Conteste en térmi- nos de la forma en que la pérdida de energía potencial se divide entre las ganancias de energías cinética traslacional y rotacional. d ) ¿Para qué valor del cociente d > R las dos expresiones del inciso b ) para la rapidez difieren en 5.0%? ¿Y en 0.50%?
v cm 5
Å
10 gh
5 1 2/ 1 1 2 d^2 /4 R^2
v cm 5 " 10 gh /.
v cm 5 v" R^2 2 d^2 /4.
