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Soluciones de los ejercicios de la relaci´on 3
Isabel M. Tienda Luna
En este documento presento las soluciones finales de los ejercicios prop- uestos de la relaci´on 3 que dej´e indicados para que vosotros hici´erais los c´alculos. Es recomendable que intent´eis hacer los c´alculos vosotros antes de mirar las soluciones
- Ejercicio 25
z (^1)
z (^2)
4A I^1 I^2 z^3 I^3 0.5e -j^ /2^ A
V 1 V 2
Figura 1: Circuito del ejercicio 25 tras simplicar las asociaciones en paralelo.
En el ejercicio 25 se ped´ıa usar el m´etodo de nudos en el circuito de la figura 1 para calcular V 1 y V 2. En la figura 1, se presenta el ejercicio del problema 25 tras emplear el m´etodo de simplificaci´on en el que se han asociado en paralelo algunas de las impedancias del circuito. Como resultado de aplicar las asociaciones de paralelo las impedancias Z 1 , Z 2 y Z 3 son:
Z 1 = (4 − 2 j) Ω Z 2 = (− 10 j) Ω Z 3 = (2 + 4j) Ω
Adem´as, en la figura 1 se han se˜nalado las distintas intensidades de rama que se han usado para aplicar el m´etodo de nudos. En particular, estas intensidades tienen las siguientes expresiones en funci´on de las inc´ognitad
del problema (V 1 y V 2 ):
I 1 =
V 1
Z 1
I 2 =
V 1 − V 2
Z 2
I 3 =
V 2
Z 3
Usando las expresiones anteriores, las ecuaciones resultantes de aplicar el m´etodo de nudos a los nudos 1 y 2 del circuito de la figura 1 son:
Nudo 1 → 4 A =
V 1
Z 1
V 1 − V 2
Z 2
Nudo 2 →
V 1 − V 2
Z 2
V 2
Z 3
sustituyendo los valores de las impedancias, el sistema de ecuaciones a re- solver es:
Nudo 1 → 4 A =
V 1
(4 − 2 j) Ω
V 1 − V 2
(− 10 j) Ω Nudo 2 →
V 1 − V 2
(− 10 j) Ω
V 2
(2 + 4j) Ω
Al resolver el sistema de ecuaciones anterior se obtiene:
V 1 = (7 − 8 j) V = 10, 63 e−j^0 ,^85 V V 2 = (−2 + 10j) V = 10, 20 ej^1 ,^77 V
Nota: En este ejercicio no nos dan los valores de la frecuencia angular ω de las fuentes y por eso el resultado se expresa a trav´es de fasores. Como no sabemos el valor de ω, no podemos dar los valores de v 1 (t) y v 2 (t) en forma de funci´on seno o coseno.
- Ejercicio 27
El ejercicio 27 es muy interesante porque se basa en el mismo circuito que el 25 pero esta vez piden calcular el equivalente Thevenin visto por el condensador de − 10 jΩ. Como piden calcular el equivalente Thevenin visto por el condensador de − 10 jΩ, para calcular tanto Vth como Zth tenemos que quitar dicho condensador de nuestro circuito, dicho en otras palabras, ese
z (^1)
z (^2)
4A I^1 I^2 z^3 I^3 0.5e -j^ /2^ A
A
B
Figura 4: C´alculo de la Vth usando el m´etodo de mallas en el ejercicio 27.
potencial entre los puntos A y B. Para ello, de nuevo, tenemos que eliminar del circuito el condensador de − 10 jΩ por lo que Z 1 = (5) Ω. El circuito a resolver es el que aparece en la figura 4. Para calcular la diferencia de potencial entre los puntos A y B usaremos ahora el m´etodo de mallas. En la figura 4 se han pintado los sentidos de las intensidades de cada una de las mallas. El resultado de aplicar dicho m´etodo es el siguiente:
Malla 1 → I 1 = 4A Malla 2 → 0 = Z 1 I 2 − Z 1 I 1 + Z 2 I 2 + Z 3 I 2 − Z 3 I 3 Malla 3 → I 3 = 0, 5 e−jπ/^2 A
Si sustituimos ahora los valores de I 1 e I 3 en la ecuaci´on para la malla 2 y despejamos I 2 ,
I 2 =
Z 1 I 1 + Z 3 I 3
Z 1 + Z 2 + Z 3
= (1,8824 + 1, 4706 j) A = 2, 39 ej^0 ,^66 A
Finalmente, para calcular la diferencia de potencial entre los puntos A y B aplicamos la Ley de Ohm a la impedancia Z 1
Vth = VA − VB = (I 1 − I 2 )Z 1 = (10, 5880 − 7 , 3530 j)V = 12, 89 e−j^0 ,^61 V
Por ´ultimo, el ejercicio nos pide comprobar que si al equivalente Thevenin le conectamos entre los puntos A y B el condensador de valor − 10 jΩ (derecha de la figura 2) y calculamos el valor de la diferencia de potencial entre sus extremos, recuperamos el valor de V 1 calculado en el ejercicio 25. Si nos fijamos en el circuito a analizar ahora (derecha de la figura 2), para calcular la diferencia de potencial entre los extremos del condensador de (Z = (− 10 j)Ω) necesitamos conocer la intensidad que circula por el circuito. Como en el circuito hay dos elementos en serie (Z = (− 10 j)Ω y Zth), la Ley de Ohm aplicada a la asociaci´on en serie de los dos nos permite calcular la intensidad que circuila por los mismos:
I =
Vth Zth + Z = (0,8 + 0, 7 j)A
Finalmente, para calcular la diferencia de potencial entre los extremos de la impedancia Z = (− 10 j)Ω, se aplica la Ley de Ohm a esa impedancia:
IZ = (0,8 + 0, 7 j)A · (− 10 j)Ω = (7 − 8 j) V = 10, 63 e−j^0 ,^85 V
como puede verse, la diferencia de potencial calculada coincide (como debe de ser) con el valor que obtuvimos en el ejercicio 25 para V 1 ya que V 1 es la diferencia de potencial entre los extremos de las impedancias de 5Ω y (− 10 j)Ω en el circuito total.
- Ejercicio 28
z 1
z 2
z 3
VC1 VC
I 1 I 2
z 1
z 2
z 3
VA1 VA
I 2
I C
I C
I C
I A
z 1
z 2
z 3
VB1 VB
I 1 I^ B
Circuito
Completo
Circuito A
anulo I 1
Circuito B
anulo I 2
Figura 5: Circuitos a analizar en el problema 28. El superior es el circuito completo, en el central se ha anulado la fuente I 1 y en el de abajo se ha anulado la fuente I 2.
En el ejercicio 28, como las dos fuentes de corriente presentes en el mismo tienen distinta ω, lo ´unico que podemos utilizar para resolver es el Principio de Superposici´on. Seg´un este principio, la intensidad que circuila por Z 2 en el circuito completo (iC 2 (t) en la figura 5) es la suma de iA 2 (t) (donde se ha anulado la fuente I 1 ) y de iB 2 (t) (donde se ha anulado la fuente I 2 ). Para hacer el c´alculo de iA 2 (t) e iB 2 (t) utilizaremos fasores. Hay distintas formas de calcular IA 2 e IB 2. En clase usamos m´etodos de simplificaci´on para asociar las impedancias de los circuitos de las figuras central e inferior de
3.3. Usamos el Principio de Superposici´on
Seg´un el Principio de Superposici´on
i 2 (t) = iA 2 (t) + iB 2 (t) = 0,08 cos(5t − 1 ,43)A + 0,49 cos(3t − 1 ,34)A
