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Formulario de corriente alterna
Tipo: Apuntes
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cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa. Representando los catetos por “a” y “b” y la hipotenusa por “c”:
Ejercicio 1: Sea un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 3 y 4 cm. respectivamente, ¿cuánto mide su hipotenusa?
definen las siguientes funciones. Representando la hipotenusa por H, el cateto contiguo por CC y el cateto opuesto por CO:
sen α = o bien CO = H ⋅ sen α
α arcsen
cos α = o bien CC = H ⋅cos α
α arccos
tg α =
α arctg
EJERCICIOS V.A: Trigonometría
Alumno: Grupo:
1.- Aplica el teorema de Pitágoras para obtener la medida del lado del triángulo que falta: a) a=8m b=5m c=
b) a=2m b= c=2,5m
c) a= b=6m c=10m
d) a=15 b= c=81m
e) a=0,2m b=0,3m c=
2.- Si un barco se desplaza 220 km en dirección este y luego 180 km en dirección norte, calcula la distancia y el ángulo con el punto de partida.
3.- Una hora después del amanecer el sol se ha levantado 20º sobre el horizonte. Si en ese momento un árbol hace una sombra de 20m, ¿cuál es la altura real del árbol?
4.- Un palo de 2m de longitud está apoyado sobre una pared vertical formando un ángulo de 60º respecto a la horizontal. ¿A qué altura de la pared se apoya? ¿Qué distancia separa el punto de apoyo del palo con el suelo y la base de la pared?
5.- Un tocadiscos gira a 33 rpm (revoluciones por minuto). Calcula la velocidad angular en vueltas/seg, rad/seg y º/seg.
Existen dos formas de representar un mismo vector , mediante coordenadas cartesianas o mediante coordenadas polares. Ambas formas de representación requieren de un sistema de referencia ortogonal, es decir, de un eje X horizontal que se cruza en el origen con un eje Y vertical.
En coordenadas cartesianas , un vector se representa mediante su coordenada horizontal vx y su coordenada vertical vy.
En coordenadas polares , un vector se representa mediante su módulo o magnitud V y su ángulo o argumento α.
Para pasar de un tipo de coordenadas a otro utilizaremos las relaciones trigonométricas aprendidas en el capítulo anterior.
2 2 V = vx + v y
x
y v
v α arctg
vx = V ⋅cos α vy = V ⋅ sen α
Ejercicio 1 : Convierte los siguientes vectores.
V = 7300 =
r V =
r (4 , 6)=
V = (^20) − 900 =
r V =
r (-5 , 9)=
V = (^5) π/ 3 rad =
r V =
r (0 , 2)=
Sean dos vectores
U = U α = ( u (^) x , uy )
r
V = V β= ( vx , vy )
r
U + V = ( u (^) x + vx , uy + vy )
r r
U − V =^ ( u^ x − vx , uy − vy )
r r
se suman sus argumentos,
U ⋅ V = U ⋅ V α + β
r r
argumentos,
α − β
r r
Ejercicio: Realiza las siguientes operaciones vectoriales (ángulos medidos en grados).
Nota: por defecto, a cualquier escalar se le asigna ángulo 0.
EJERCICIOS V.C: Operaciones vectoriales
Alumno: Grupo:
1.- Suma los siguientes vectores (ángulo en grados). a) 2 0 + 3 90 = b) 10-90 + 10 90 = c) 1 45 + 1 115 = d) 5 45 + 5 (^) -45 = e) 3 30 + 2 30 =
2.- Resta los siguientes vectores: a) 2 0 - 3 90 = b) 10-90 - 10 90 = c) 1 45 - 1 115 = d) 5 45 - 5 (^) -45 = e) 3 30 - 2 30 =
3.- Multiplica los siguientes vectores: a) 2 0 · 3 90 = b) 10-90 · 10 90 = c) 1 45 · 1 115 = d) 5 45 · (^5) -45 = e) 3 30 · 2 30 =
4.- Divide los siguientes vectores: a) 2 0 ÷3 90 = b) 10-90 ÷ 10 90 = c) 1 45 ÷ 1 115 = d) 5 45 ÷ 5 (^) -45 = e) 3 30 ÷ 2 30 =
5.- Realiza la siguiente operación:
a) 12 ⋅ 2300 ⋅ 1 , 840 ⋅ 3 =
b) + + = 30 0 290
Los valores que toman estas funciones se alternan entre positivos y negativos, cambiando de sentido dos veces cada ciclo. Primero empieza siendo nula cuando la fase es cero (sen 0º=0), alcanza su valor máximo en 90º (sen 90º=1), para volver a pasar por cero en 180º (sen 180º=0), pasa a tomar valores negativos, llegando al mínimo en 270º (sen 270º=-1) para volver a cero al acabar la vuelta completa (sen 360º=0).
Ejercicio 1: Representa la función fem(t)=25·sen (45·t) (fase en grados) o fem(t)=25·sen (π/4·t) (en radianes).
Al aplicar una fuerza electromotriz senoidal a una resistencia, aparece sobre él una corriente alterna senoidal. Aplicando la ley de Ohm, obtenemos la función temporal de la intensidad, que es otra función senoidal periódica de igual pulsación pero de diferente amplitud.
( ) sen ( wt ) I sen ( w t ) R
V senw t R
V t I t = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅
= = max max max
Ejercicio 2: Representa la función de la intensidad del circuito con el generador del ejercicio anterior y una resistencia de 5Ω.
EJERCICIOS V.1: Generación de CA
Alumno: Grupo:
1.- Dibuja la gráfica de la siguiente f.e.m.: fem ( t ) = 5 ⋅ sen ( 30 ⋅ t )(ángulo medido en grados) Dibuja ahora la corriente eléctrica si la conectamos a una resistencia de 3Ω. t φ=ω·t fem I 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
2.- Dibuja la gráfica de: fem ( t ) = 325 ⋅ sen ( 314 , 16 ⋅ t ) (ángulo medido en
radianes) t φ=ω·t fem 0 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,0 30
3.- Indica para la intensidad de corriente del ejercicio 1, los ángulos de fase que dan: a) el valor máximo de corriente.
b) el valor mínimo de corriente.
c) el valor cero.
Ejercicio 3: Sea una corriente definida por (^) I ( t ) = 10 ⋅ sen ( 50 ⋅ π⋅ t )A. Obtén el
valor eficaz de la corriente y la frecuencia.
El valor eficaz es en la práctica el único valor que se utiliza en corriente alterna, de esa forma no evitamos tener que trabajar con funciones temporales senoidales. De hecho, la lectura de los instrumentos de medida, así como en los catálogos de los fabricantes, o en la placa de características de los receptores, siempre se hablan de los valores eficaces. En Europa, la tensión de red doméstica es 230V de valor eficaz y 50 Hz de frecuencia.
Ejercicio 4: Calcula la tensión máxima, mínima y media de una red de 230V/50Hz.
Ejercicio 5: Obtén la función temporal de la tensión de una red 230V/50Hz.
EJERCICIOS V.2: Características de la CA
Alumno: Grupo:
1.- En EEUU la frecuencia de la red eléctrica es de 60Hz. Obtén la pulsación y el periodo.
2.- Si la pulsación de una CA es de 200·π rad/seg. Obtén la frecuencia, el periodo y determina a cuántas vueltas por segundo gira la espira del generador.
3.- ¿Cuántas veces ha obtenido la f.e.m. el valor cero si se han producido 200 ciclos? ¿Cuántas veces por segundo obtiene la f.e.m. el valor cero si su frecuencia es de 50Hz?
4.- Obtén la pulsación, frecuencia y periodo de la siguiente f.e.m.:
fem ( t ) = 325 ⋅ sen ( 100 ⋅ π⋅ t ) (ángulo medido en radianes)
5.- Obtén la función temporal que representa la fem instantánea, si su valor máximo alcanza 350 voltios y su frecuencia es de 25 Hz.
6.- ¿Cuál es el valor de la tensión eficaz de una CA cuyo valor máximo es de 525 V y cuyo valor mínimo es de -525 V?
7.- Antiguamente se utilizaba en España una tensión de red de 127V de valor eficaz. Calcula el valor máximo y mínimo de la tensión.
8.- La tensión eficaz de una línea aérea de Media Tensión es de 20KV. Si el aislamiento de la línea ha de ser superior al valor de la tensión en todo momento, ¿qué aislamiento elegirías y porqué? a) 15,5 KV b) 20,5 KV c) 25,5 KV d) 28,5 KV
Con el fin de simplificar los cálculos de los circuitos de corriente alterna, y puesto que las corrientes y las tensiones oscilan a la misma frecuencia, vamos a representar las funciones temporales senoidales mediante vectores , donde el módulo del vector es igual al valor eficaz, y el ángulo del vector es igual al desfase.
Ejercicio 2: Dibuja los vectores correspondientes a la tensión y corrientes del ejercicio 1.
Observamos que tanto las resistencias, las bobinas como los condensadores hacen un efecto similar a una resistencia en corriente continua. Definimos la impedancia como la magnitud vectorial equivalente a la resistencia en CC, y la medimos en Ohmios. Definimos por tanto la ley de Ohm vectorial como: V = I ⋅ Z donde^ V^ es el vector tensión,^ I^ es el vector intensidad, y^ Z^ es la impedancia
La impedancia de cada receptor queda definida según la siguiente tabla:
Receptor Impedancia Desfase Resistencia (Ω) Resistencia (R) R 0º
Bobina(H) Reactancia Inductiva (XL) Lw 90º
Condensador(F) Reactancia Capacitiva (XC) 1/Cw -90º
Ejercicio 3: Calcula el valor eficaz de la corriente que circulará por una resistencia de 25Ω, una bobina de 45 mH de inductancia o un condensador de 150μF, conectada a la red de 230V/50Hz.
EJERCICIOS V.3: Receptores ideales
Alumno: Grupo:
1.- Dibuja la función temporal (a la izquierda) y los vectores (a la derecha) de la tensión e intensidad de:
2.- Dibuja la función temporal (a la izquierda) y los vectores (a la derecha) de la tensión e intensidad de:
En corriente alterna, los receptores (resistencias, bobinas o condensadores) se pueden acoplar en serie o en paralelo. En ambos casos las fórmulas son las mismas que las utilizadas en corriente continua salvo que utilizaremos notación vectorial: Serie: Paralelo:
VT = V 1 + V 2 + V 3 +... VT = V 1 = V 2 = V 3 =...
IT = I 1 = I 2 = I 3 = ... IT = I 1 + I 2 + I 3 +...
ZT = Z 1 + Z 2 + Z 3 + ... ...
1 2 3
Vamos a analizar tres tipos de circuitos serie, RL (resistencia+bobina) y RC (resistencia+condensador) y RLC (resistencia+bobina +condensador).
Circuitos RL: Sumaremos vectorialmente las impedancias y nos queda
0 0 0 0
2 2 Z (^) T = ZR + ZL = R ∠ 0 + Lw ∠ 90 = R +( Lw ) ∠ arctgLwR = Z ∠ ϕ
2 2 Z (^) T = R + X L
Entonces, al aplicar la ley de Ohm vectorial:
V = I ⋅ Z = I ∠ 0 0 ⋅ Z ∠ϕ 0 =( I ⋅ Z )∠ ϕ 0
Es decir, que la tensión se adelanta φº a la intensidad, estando φ entre 0º y 90º. Este valor coincide con el ángulo de la impedancia.
Ejercicio 1: Calcula las tensiones en un circuito serie con una resistencia de 50Ω y una bobina de 0,5 H, si circula una corriente de 3A. Dibuja el triángulo de impedancias, la tensión y la intensidad.
Circuitos RC: Sumaremos vectorialmente las impedancias y nos queda
0
0 (^00) (^221) (^0 )
(^1) ( (^1) ) − ∠ ϕ ∠ (^) ∠− ∠ Z = Z + Z = R + Cw = R + Cw = Z arctgCwR T R C
2 2 Z (^) T = R + X C
Entonces, al aplicar la ley de Ohm vectorial: V = I ⋅ Z = I ∠ 0 0 ⋅ Z ∠ϕ 0 =( I ⋅ Z )∠ ϕ 0
Es decir, que la tensión se atrasa φº a la intensidad, estando φ entre 0º y -90º. Este valor coincide con el ángulo de la impedancia.
Ejercicio 2: Calcula las tensiones en un circuito serie con una resistencia de 50Ω y un condenador de 50 μF, si circula una corriente de 3A. Dibuja el triángulo de impedancias, la tensión y la intensidad.
Circuitos RLC: Sumaremos vectorialmente las impedancias y nos queda
0 0 0 1 0 0
2 2 0 90 90 )
Z = Z + Z + Z = R ∠ + Lw ∠− + Cw ∠− = R + Lw − Cw ∠ − = Z ∠ ϕ CwR T R L C arctgLw
Z (^) T = R^2 + ( XL − X C )^2
Entonces, al aplicar la ley de Ohm vectorial:
V = I ⋅ Z = I ∠ 0 0 ⋅ Z ∠ϕ 0 =( I ⋅ Z )∠ ϕ 0
En este caso, el signo del desfase dependerá del valor de la reactancia inductiva y capacitiva (XL y XC). Si la reactancia inductiva es mayor que la capacitiva, el desfase será positivo, y el circuito se dice que es inductivo. Y viceversa, si la reactancia capacitiva es mayor que la inductiva, el desfase será negativo, y el circuito es capacitivo.
Ejercicio 3: Calcula las tensiones en un circuito serie con una resistencia de 50Ω, una bobina de 0,5 H y un condenador de 50 μF, si circula una corriente de 3A. Dibuja el triángulo de impedancias, la tensión y la intensidad. Calcula el desfase y determina se el circuito es inductivo o capacitivo.
