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Ejercicios – Tarea 3
A continuación, se presentan los ejercicios y problemas asignados para el desarrollo de
Tarea 3 en este grupo de trabajo, debe escoger un numero de estudiante y desarrollar los
ejercicios propuestos para este estudiante únicamente. Tenga en cuenta los enunciados que
hacen referencia al uso de Geogebra para su comprobación y análisis gráfico, recuerde que
uno de los elementos a evaluar en la actividad es al análisis gráfico en Geogebra.
EJERCICIOS
- De acuerdo con la definición de derivada de una función f ´
x
=lim
h → 0
f ( x + h )− f ( x )
h
Calcular la derivada de las siguientes funciones siguiendo el proceso del límite:
Ejercicio
Estudiante 3 f ( x )= 7 x
2
lim
h→ 0
f ( x + h )− f ( x )
h
f ( x )= 7 x
2
f
´
( x )=lim
h → 0
f ( x + h )− f ( x )
h
lim
h → 0
( 7 ( x + h )
2
+ 3 ( x + h ) )− 7 x
2
h
lim
h → 0
7 ( x
¿ 2 + 2 xh + h
2
)+ 3 x + 3 h ¿−( 7 x
2
− 3 x )
h
lim
h → 0
7 x
2
2
2
− 3 x
h
lim
h→ 0
14 xh + 7 h
2
h
lim
h→ 0
( 2 xh + h
2
h
lim
h→ 0
h ( 14 xh + 7 h
2
h
lim
h→ 0
¿ 14 xh + 7 h + 3
¿ 14 xh + 7 ( 0 )+ 3
¿ 14 xh + 0 + 3
f
´
x
= 14 x + 3
En los ejercicios 2, 3 y 4 calcule la derivada de las siguientes funciones aplicando las reglas
de la derivación.
Ejercicio
Estudiante
3
f
x
=( x + 5 )( 2 x
2
Aplicamos la regla de producción
( g ∗ h )
´
= g
'
∗ h + g ∗ h '
Regla de cociente
g
h
,
g
,
∗ h − g ∗ h
,
h
2
f
´
( x )=
x + 4
x
2
f
'
( x )=
x + 4
x
2
x + 4
( x
2
( x
2
2
f
'
x
x + 4
Regla de derivación
f
'
x
= g
x
≠ h ( x )
f
'
x
x
f
'
x
x
f
'
x
f
'
x
=( x ¿ ¿ 2 − 6 )¿
f
'
x
= g
x
≠ h ( x )
f
'
( x )=( x
2
f
'
x
x
2
= 2 x
f
'
x
¿ 2 x + 0 = 2 x
f
'
x
x + 4
f
'
x
=( x ¿ ¿ 2 − 6 )= 2 x ¿
f
'
( x )=
x
2
− 2 x ( x + 4 )
( x
2
2
Simplificacion
x
2
= x
2
x
2
− 6 − 2 x ( x + 4 )
( x
2
2
Expandir
x
2
− 6 − 2 x
x − 4
=− x
2
− 8 x − 6
f
'
( x )=
− x
2
− 8 x − 6
( x
2
2
Ejercicio
Estudiante 3
f ( x )=( x
2
3
. ( 4 x )
2 x
Regla de la cadena
( u
n
'
= n ∗ u
n − 1
u
,
( ( x
2
3
)
'
x
2
2
∗ 2 x
(( 4 x )
2 x
'
=( 4 x )
2 x
∗( 2 ∗¿ ( 4 x )+ 2 )
Regla del producto
( f ∗ g )
'
= f
'
g + f ∗ g
'
f
'
( x )=[ 3 ( x
2
2
∗ 2 x ]∗( 4 x )
2 x
+ ( x
2
3
[
( 4 x )
2 x
∗( 2 ∗¿ ( 4 x ) + 2 )
]
- Calcule las siguientes derivadas de orden superior.
Ejercicio Derivada de orden superior
Estudiante 3
f ( x )= 9 x
3
' ' '
( x )=?
f
x
= 9 x
3
f
' ( x )
= 27 x
2
f
' ' ( x )
= 27 x
2
f
' '' ( x )
= 27 x
2
- En cada uno de los siguientes ejercicios debe realizar los siguientes pasos:
Realice el cálculo de la primera derivada de la función.
compruebe en Geogebra que graficando las pendientes de las rectas tangentes En dos
puntos (escogidos por el estudiante) de la función original, obtendrá la función derivada
calculada en los puntos escogidos (ver contenido derivadas en Geogebra).
Estudiante
3
a. f
x
= 4 x
2
− 8 x
b. f ( x )= 2 tan ( x ) − 2
f
x
= 4 x
2
− 8 x
f ' ( x )= 8 x − 8
3. PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS
Asignación Problemas
Estudiante 3
A
Una partícula se mueve en línea recta con posición relativa al origen dado
por
x
t
= 30 − 3 t
2
donde x
se da en metros y t
está dado en segundos con t ≥ 0
,
a. Encuentre una expresión para la aceleración de la partícula.
b. Encuentre la aceleración de la partícula cuando t = 4 s
B
Calcular máximos, mínimos y puntos de inflexión de la función
f
x
= 7 x
3
− 9 x + 6
B
Calcular máximos, mínimos y puntos de inflexión de la función
f
x
= 6 x
3
− 12 x + 5
Una partícula se mueve en línea recta con posición relativa al origen dado por
x
t
= 30 − 3 t
2
donde x se da en metros y t está dado en segundos con t ≥ 0 ,
a. Encuentre una expresión para la aceleración de la partícula.
x
t
= 30 − 3 t
2
x
' ( t )
= 30 − 6 t + 9
x ' ' ( t )= 30 − 6 t
b. Encuentre la aceleración de la partícula cuando t = 4 s
x
s
s
x
'
s
s
x
'' (
4
s
)
s
Calcular máximos, mínimos y puntos de inflexión de la función
f
x
= 7 x
3
− 9 x + 6
f
' ( x )
= 21 x
2
27 x
2
− 7 = 0 x =− 0 ±
2
x
1
x
1
x
1
x
2
x
2
x
2
f
x
= 7 x
3
− 9 x + 6
f ( x )= 7
3
f ( x )=−1.96+5.89+ 6
f ( x )=9.
f
x
= 7 x
3
− 9 x + 6
f
x
3
f ( x )=1.96−5.89+ 6
f ( x )=2. 07
f
' ( x )
= 21 x
2
f
' ' ( x )
= 42 x + 0
42 x = 0
x = 0
f ( x )= 7 ¿
f ( x )= 0 − 0 + 6
f ( x )=0.
f ( x )=11. 53
f ( x )= 6 x
3
− 12 x + 5
f
x
3
f ( x )=3.30−9.83+ 5
f ( x )=−1.
f
' ( x )
= 18 x
2
f
' ' ( x )
= 36 x + 0
36 x = 0
x = 0
f ( x )= 6 ¿
f ( x )= 0 − 0 + 5
f ( x )=0. 5
