Ejercicios Algebra Upc, Ejercicios de Álgebra

¡Descarga Ejercicios Algebra Upc y más Ejercicios en PDF de Álgebra solo en Docsity!

`

Algebra i C`alcul Multivariable

Problemes

A. Carmona, A.M. Encinas, F. Ikhouane, A. Mas, M. Mitjana, J. Trias.

Departament de Matem`atiques (UPC)

EEBE 2022

Qu`adriques i corbes de nivell

Taula 2.1: Relaci´o entre videos i exercicis

Video Exercicis

2.1 Qu`adriques i corbes de nivell

1. Trobeu les corbes que s’obtenen en fer la intersecci´o de la superf´ıcie z = x

2

• y

2 amb

plans paral

lels als plans de coordenades. Representeu la superf´ıcie i classifiqueu-la.

2. Identifiqueu i dibuixeu les corbes de nivell per a les seg¨uents funcions

a) 4 x − 5 y + z

2 = 1

b) 4 z + 2y

2 − x = 0

c) y

2 = 2x

2

• z

3. Representeu gr`aficament algunes corbes de nivell dels camps escalars seg¨uents i feu

una gr`afica aproximada de la superf´ıcie que representen

a) f (x, y) = x

2 − y

2

b) f (x, y) = xy

c) f (x, y) = 9x

2

• 4y

2

d) f (x, y) =

x

2

• y

2

e) f (x, y) = x

2

− 3 y

2

f) f (x, y) = 2x − y

4. Trobeu les corbes de nivell de la superf´ıcie z =

x

2

y

2

que s’obtenen en fer intersecci´o

de la superf´ıcie amb plans paral

lels als plans de coordenades. Representeu la superf´ıcie

i identifiqueu-la.

5. Trobeu les corbes de nivell de la superf´ıcie x

2

• y

2 − z

2 = 1 que s’obtenen en fer

intersecci´o de la superf´ıcie amb plans paral

lels als plans de coordenades. Representeu

la superf´ıcie i identifiqueu-la.

6. Les corbes de nivell (que s’obtenen per z = k) de la superf´ıcie de R

3 , donada per

x

2

• 9y

2 − z

2 = 3, s´on

A Circumfer`encies de centre (0, 0) i radi r =

3 + k

2

B El

lipses de semieixos a =

3 k b =

k

per a

C El

lipses de semieixos a =

3 + k

2 b =

3 + k

2

`

ALGEBRA I C

`

ALCUL MULTIVARIABLE – EEBE

11. [2019-2020-Q1] Considereu la superf´ıcie S definida per

(x − 3)

2

y

2

z

2

a) Trobeu i representeu gr`aficament la intersecci´o de S amb cadascun dels plans de

coordenades XY, XZ, YZ.

b) Trobeu i representeu gr`aficament les corbes que s’obtenen en fer intersecci´o de S

amb plans paral

lels al pla XY ´es a dir, per z = k, i amb paral

lels al pla Y Z ´es

a dir, x = h, on k, h, ∈ R s´on constants.

c) Representeu la superf´ıcie S i indiqueu quina superf´ıcie ´es.

12. El gr`afic Fig.2.2 correspon a les corbes de nivell de quina de les seg¨uents superf´ıcies

Figura 2.2: Corbes de nivell (problema 12)

A x

2

− y

2

− z

2

= 2 B x

2

• y

2

− z

2

= 2 C x

2

• y

2

• z

2

= 2

13. Considereu la superf´ıcie S definida per

36 x − 4 y

2

• 9z

2

− 8 y − 18 z = 31.

Llavors, S ´es

A un hiperboloide de dos fulls amb eix de simetria paral

lel a OZ.

B un paraboloide hiperb`olic amb pla de simetria paral

lel a XZ.

C un paraboloide hiperb`olic amb pla de simetria paral

lel a Y Z.

`

ALGEBRA I C

`

ALCUL MULTIVARIABLE – EEBE

Funcions de v`aries variables

Taula 2.2: Relaci´o entre videos i exercicis

Video Exercicis

2.2 Continu¨ıtat

1. Trobeu el domini de les funcions seg¨uents

a) f (x, y) =

x

2 − 2 y

b) f (x, y) = ln(2x − 3 y + 1)

c) f (x, y, z) =

x

2

• y

2

• 4z

d) f (x, y) =

x

2

• y + 3

(1 + 5x − y

2 )

2

e) f (x, y) =

1 + 2x

2 − 4 y

f) f (x, y) = ln

1 − 2 cos(x + y)

g) f (x, y) =

ln(1 + |x| + |y|), e

x−y

,

2 + x + y

1 + 3x − 2 y

2. Calculeu lim

(x,y)→(0,0)

f (x, y) on f : R

2 → R ´es definida per:

a)

f (x, y) =

xy

x

2

• y

2

sin

xy

, xy 6 = 0,

f (x, y) = 0, xy = 0.

b) f (x, y) =

x

5 − 2 x

2 y

3

(x

2

• y

2 )

2

c)

f (x, y) = xy cos

x − y

, x − y 6 = 0,

f (x, y) = 0, x − y = 0.

3. Calculeu els seg¨uents l´ımits de funcions de variable vectorial:

a) lim

(x,y)→(0,0)

xy

x

2

• y

2

b) lim

(x,y)→(0,0)

xy

2

x

2

• y

4

c) lim

(x,y)→(0,0)

f (x, y) on f (x, y) =

x

3

y

2

si

y 6 = 0, i f (x, y) = 0 si y = 0.

`

ALGEBRA I C

`

ALCUL MULTIVARIABLE – EEBE

2.3 Diferenciabilitat

1. Considereu la funci´o f : R

2

−→ R definida com

f (x, y) =

x

2

• y

2

• 3, xy 6 = 0

2 x + 9y, xy = 0

Demostreu que existeixen les derivades parcials de f en (0, 0) per`o que f no ´es cont´ınua

a (0, 0).

2. Considereu la funci´o f : R

2 −→ R definida com

f (x, y) =

x sin(ln(x

2

• y

2 )) (x, y) 6 = (0, 0)

0 (x, y) = (0, 0)

a) Proveu que la funci´o ´es cont´ınua a tot R

2 .

b) Estudieu la diferenciabilitat de f i calculeu les derivades parcials de f en qualsevol

punt de R

2

\ {(0, 0)}.

3. Trobeu les derivades parcials de les funcions reals de variable vectorial seg¨uents:

a) f (x, y) = x

3

• y

3 − 3 axy

b) g(x, y) = xy +

x

y

c) f (x, y) = e

sin y

x

d) h(x, y, z) = e

xyz

e) f (x, y) =

x

2

• y

2

f) z(x, y) = ln

sin(x + 1)

y

g) f (x, y) = x

y

4. Considereu f : R

3 −→ R definida per

f (x, y, z) = arcsin(xy)e

3 z

• (x + z)

y+z

.

a) Trobeu el domini de f.

b) Calculeu les derivades parcials de primer ordre de f.

5. Donada la funci´o f : R

2 −→ R definida per

f (x, y) =

(x − y)

2 sin

x − y

si x 6 = y

0 si x = y

a) Calculeu les derivades parcials de primer ordre de f. S´on cont´ınues?

b) Proveu que f ´es diferenciable en el punt (0, 0).

`

ALGEBRA I C

`

ALCUL MULTIVARIABLE – EEBE

6. Donada la funci´o

f (x, y) =

x

2 +y

2

xy

, xy 6 = 0

x + y, xy = 0.

Calculeu les derivades parcials de f (x, y) en (0, 0) i doneu la interpretaci´o geom`etrica.

Raoneu, a m´es, si s´on certes o falses les afirmacions seg¨uents:

a) Existeix ∇f (0, 0) = (1, 1).

b) ∀~v = (v 1

, v 2

) ∈ R

2 amb ‖~v‖ = 1 , D ~v

f (0, 0) = v 1

• v 2

7. Calculeu les derivades direccionals de les funcions seg¨uents en els punts i direccions

indicades:

a) z(x, y) = ln

x

2

• y

2 en (x, y) = (1, 1), ~v = (2, 1)

b) f (x, y, z) = xy + xz + yz en (x, y, z) = (− 1 , 1 , 7), ~v = (3, 4 , −12)

c) g(x, y, z) = z − e

x

sin y en (x, y, z) = (ln 3, 3 / 2 , −3), ~v = (1, 1 , 2)

d) h(x, y, z) = x

2 − y

2

• xyz

2 − xz en (x, y, z) = (1, 1 , 0), ~v = (1, − 1 , 2)

8. Donada la funci´o

f (x, y) = (2 + x − 3 y)e

2 x

2 y

3

a) Proveu que f ´es diferenciable en el punt (1, 1).

b) En quina direcci´o la derivada direccional de f en el punt (1, 1) pren el seu valor

m`axim.

c) En aquest cas, quin ´es el valor de la derivada direccional.

9. Donada la funci´o f (x, y) = (x − 2)e

xy

2

• y, el punt P (1, −1) i el vector ~v = (1, 1), el

valor de la derivada direccional D~vf (P ) ´es

A

(1 + 2e)

B 2 e + 1

C −

(1 − 2 e)

10. Donada la funci´o f (x, y) = x

2

cos(xy

2

)+sin(xy

2

), el punt P (1, −1) i el vector ~v = (4, 1),

el valor de la derivada direccional D ~v

f (P ) ´es

A D

~v

f (P ) =

2(5 cos(1) − sin(1))

B D

~v

f (P ) = 10 cos(1) − 2 sin(1)

C D

~v

f (P ) =

112 sin(4) + cos(4)

`

ALGEBRA I C

`

ALCUL MULTIVARIABLE – EEBE

Aleshores,

A M ´es la matriu Jacobiana de la funci´o g ◦ f en el punt (2, 1)

B M ´es la matriu Jacobiana de la funci´o f ◦ g en el punt (2, 1)

C M ´es la matriu Jacobiana de la funci´o f en el punt (2, 1)

16. Suposem que f : R → R ´es una funci´o que ´es constant a l’interval (0, 2) ⊂ R.

Considerem F : R

2 → R

2 donada per F (x, y) =

y, f (x)

i ~v = (1, 0) ∈ R

2 .

Aleshores,

A F

′ (1, 5)~v = D ~v

F (1, 5) =

B F podria no ser diferenciable al punt (1, 5) ∈ R

2

C F

′ (1, 5)~v = D ~v

F (1, 5) =

17. Considereu f : R → R una funci´o de classe C

1

tal que f (1) = e, f

′

(1) = 1, i ∀x ∈

R, f (x) > 0. Definiu la funci´o h : R

2 → R tal que ∀(x, y) ∈ R

2 ´es

h(x, y) = [f (2y − x)]

f (xy)

Calculeu

∂h

∂x

18. Sabem que la derivada direccional de la funci´o f (x, y, z) = axy

2

• byz + cz

2 x

3 en el

punt (1, 2 , −1) ´es maxima en la direcci´o OX. Si el valor del maxim ´es igual a 64,

llavors

A (a, b, c) = (4, 16 , 16) i (a, b, c) = (− 4 , − 16 , −16)

B (a, b, c) = (1/ 2 , 2 , 2) i (a, b, c) = (− 1 / 2 , − 2 , −2)

C (a, b, c) = (2, 8 , 8) i (a, b, c) = (− 2 , − 8 , −8)

19. El valor m`axim de la derivada direccional de la funci´o f (x, y) =

x

4

• 2y

3 − 4 x − 2 y

cos(x

2 y)

en el punt P (0, 3) ´es

A 4

B 48

C (− 1 , 13)

20. Calculeu el pla tangent i la recta normal a la superf´ıcie definida per z = x + y + 2x

2 y

3

en el punt (1, − 1 , −2).

`

ALGEBRA I C

`

ALCUL MULTIVARIABLE – EEBE

21. Calculeu el pla tangent i la recta normal a les superf´ıcies seg¨uents en el punt indicat:

a) x

2

• xy

2

• z = 26 en P = (2, − 3 , 4)

b) z = sin(xy) en P = (1, π, 0)

c) z =

x √

x

2 +y

2

en P = (3, − 4 , 3 /5)

Sigui f : R

3

→ R diferenciable i considerem la superf´ıcie de nivell S = {(x, y, z) ∈

R

3 |f (x, y, z) = k, k ∈ R}, diem que S ´es una superf´ıcie definida en foma impl´ıcita. El

pla tangent a la superf´ıcie S en el punt (a, b, c) ∈ S ´es

∂f

∂x

(a, b, c) (x − a) +

∂f

∂y

(a, b, c) (y − b) +

∂f

∂z

(a, b, c) (z − c) = 0.

d) x

2

y

2

• xz − 2 y

3

= 10 en P = (2, 1 , 4)

e) z = y + ln(x/z) en P = (1, 1 , 1)

22. Calculeu el pla tangent i la recta normal a la superf´ıcie z = f (x, y) en el punt (1, 0) on

f ´es la funci´o definida en el problema 2.

23. Demostreu que tots els plans tangents a la superf´ıcie z = yf (x/y), on f ´es una funci´o

derivable, es tallen en un punt en com´u.

24. Donada la funci´o f : R

2 → R definida per f (x, y) = ln(3x + y − 3) el valor aproximat

de f (1. 1 , 0 .8) fent servir el polinomi de Taylor d’ordre 1 en el punt (1, 1) ´es

A 0. 1 B 0. 2 C 0. 5

25. Donada la funci´o f : R

2 → R definida per f (x, y) = xe

y−x

2

, el valor aproximat de

f (− 0. 8 , 0 .8) fent servir el polinomi de Taylor d’ordre 1 en el punt (− 1 , 1) ´es

A − 1. 0 B − 0. 94 C − 0. 93

26. Calculeu el polinomi de Taylor d’ordre dos de la funci´o f (x, y) = xe

x+2y

en el punt

27. Desenvolupeu mitjan¸cant la f´ormula de Taylor les funcions seg¨uents, en el punt P

indicat i fins a l’ordre n = 2. Aproximeu els valors de les funcions en els punts Q que

s’indiquen.

a) f (x, y) = x

3

• y

2

• xy

2

; P = (1, 2), Q = (1. 1 , 2 .1)

b) f (x, y, z) = x

3

• y

3

• z

3 − 3 xyz; P = (1, 1 , 1), Q = (1. 1 , 1. 1 , 1 .2)

c) f (x, y) = sin(x

2

• y

2

); P = (0, 0), Q = (− 0. 1 , 0 .1)

d) f (x, y) = cos x cos y; P = (0, 0), Q = (0. 2 , 0 .2)

e) f (x, y, z) = e

x+y+z ; P = (0, 0 , 0), Q = (0, 0 , 0 .1)

`

ALGEBRA I C

`

ALCUL MULTIVARIABLE – EEBE