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ALGEBRA

Versi´on Preliminar

Renato A. Lewin

CAPITULO 1

Introducci´on a la Teor´ıa de N´umeros

La Teor´ıa de N´umeros, al menos originalmente, es la rama de la matem´atica que estudia las propiedades de los n´umeros naturales 1, 2 , 3 ,.... A poco andar uno descubre que este estudio no se confina a dicho conjunto de n´umeros, ni siquiera al conjunto de los n´umeros enteros... , − 3 , − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 ,... , sino que muchas veces se debe recurrir a otros conjuntos de n´umeros, algebraicos, reales, complejos, etc. para resolver asuntos relacionados con los numeros naturales (y viceversa). Algunos problemas cl´asicos de la Teor´ıa de N´umeros como el llamado ´ultimo teorema de Fermat o el de la distribuci´on de los n´umeros primos, (ver m´as adelante) han dado origen a grandes desarrollos de la matem´atica. Por ejemplo, al primero de estos se debe gran parte del desarrollo de los cuerpos ciclot´omicos, al segundo todo el desarrollo de la funci´on zeta de Riemann. Es as´ı que en la Teor´ıa de N´umeros moderna se emplean sofisticadas te´cnicas de an´alisis matem´atico y de teor´ıa de probabilidades. Estudiaremos aqu´ı tan s´olo los rudimentos de esta disciplina y haremos algunos alcances acerca de su relaci´on con la llamada ´algebra abstracta.

1. Los N´umeros Naturales y los N´umeros Enteros Comenzaremos nuestro estudio suponiendo que el lector est´a familiarizado con los conjuntos

Z = {... , − 3 , − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 ,... } y

N = { 1 , 2 , 3 ,... },

de los n´umeros enteros y de los n´umeros naturales (o enteros positivos), respec- tivamente. En particular supondremos conocimiento de las operaciones de suma y multiplicaci´on as´ı como de la estructura de orden sobre estos conjuntos, por lo tanto, no daremos una definici´on axiom´atica de ellas. La propiedad m´as importante de los n´umeros naturales es el siguiente principio:

Supondremos que el lector est´a familiarizado con este principio y sus aplica- ciones. Aunque no lo usaremos mayormente en estas notas, es conveniente saber que ambos principios, el de Inducci´on y el de buen orden, son equivalentes. Un resultado interesante es que los dos principios anteriores son equivalentes. Teorema 1.1. El Principio de Buen Orden implica el Principio de Inducci´on. Demostraci´on. Sea P un conjunto de n´umeros naturales que verifica las hip´otesis del Principio de Inducci´on. Sea A el conjunto de los n´umeros que no pertenecen a P. (Nos basta pues demostrar que A es vac´ıo). Supongamos que A es no vac´ıo. En virtud del Principio de Buen Orden, A tiene un menor elemento “a”. a no puede ser 1 ya que por hip´otesis, 1 ∈ P. Luego a − 1, el predecesor a, es un entero positivo que pertenece a P porque a es el m´as peque˜no que no pertenece a P. Pero entonces, por la segunda parte de la hip´otesis de inducci´on, a = (a − 1) + 1 ∈ P , lo que es una contradicci´on. Esta contradicci´on proviene de suponer que A es no vac´ıo. Luego todos los enteros positivos pertenecen a P. É

Analogamente tenemos:

Teorema 1.2. El Principio de Inducci´on implica el Principio de Buen Orden. Demostraci´on. Ejercicio. É

Ejercicios 1.1. (1) Sea R+^ el conjunto de los n´umeros reales positivos ordenados en la forma habitual. ¿Es este un buen orden? (2) Sea A = {n^2 : n ∈ Z}, con el orden natural. ¿Es este un buen orden? (3) Demuestre que no puede existir una cadena descendente infinita de enteros positivos. (4) Demuestre el teorema 1.2.

2. Divisibilidad Definici´on 1.1. Sean a y b dos enteros con a 6 = b. Decimos que a divide a b si existe un entero n tal que na = b. Tambi´en decimos que b es un m´ultiplo de a. Denotamos este hecho por a | b. Si a no divide a b escribiremos a - b.

Teorema 1.3. Si a, b y c son enteros, entonces: (1) Si a | b y b | c, entonces a | c. (2) Si a | b y a | c, entonces a | mb + nc, para cualquier par de enteros m, n. (3) Si a | b y b 6 = 0, entonces 0 < |a| ≤ |b|. (4) Si a | b y b | a, entonces a = ±b. Demostraci´on. (3) b = ma 6 = 0, luego a 6 = 0 y m 6 = 0. Por lo tanto, |a| ≥ 1 , |m| ≥ 1 y |b| = |ma| = |m||a| ≥ 1 |a| ≥ 1 > 0.

(4) Si b = 0, entonces a = nb = n0 = 0, luego a = ±b. Si b 6 = 0, como a | b, por (3), 0 < |a| ≤ |b|. Analogamente, 0 < |b| ≤ |a|. Luego |a| = |b| y a = ±b. É

El teorema m´as importante sobre divisibilidad es: Teorema 1.4. El Algoritmo de la Divisi´on. Sean a y b dos enteros, b > 0. Entonces existen dos enteros q y r tales que a = bq+r y 0 ≤ r < |b|. Los enteros q y r son ´unicos.

Demostraci´on. Si a es un m´ultiplo de b, a = bq + 0 y el teorema se cumple, luego podemos suponer que a no es un m´ultiplo de b. Consideremos el conjunto

A = {a − bn : n ∈ Z y a − bn ≥ 0 }.

Como a ≥ −|a| ≥ −|a|b, tenemos a + |a|b ≥ 0, luego

a − (−|a|)b ≥ 0 ,

o sea, A es un conjunto no vac´ıo de enteros positivos. Obs´ervese que 0 ∈/ A ya que a no es un m´ultiplo de b. Por el principio de Buen Orden, A debe tener un menor elemento. Llam´emoslo r. Quiere decir que existe un entero q tal que r = a − bq, i.e., a = bq + r. Supongamos que r ≥ b. Entonces r − b = a − bq − b = a − b(q + 1) ≥ 0, luego r − b ∈ A y 0 ≤ r − b < r, contradiciendo la minimalidad de r. Por lo tanto 0 ≤ r < b. (r = 0 si y s´olo si a es un m´ultiplo de b). Finalmente, para probar la unicidad de q y r, supongamos que existen q′^ y r′ tales que a = bq′^ + r′^ y 0 ≤ r′^ < b. Entonces bq − bq′^ + r − r′^ = 0 , luego b(q − q′) = r′^ − r, o sea, b | (r′^ − r). Por Teorema 1.3(3), si r 6 = r′, |r′^ − r| ≥ |b| = b > 0. Pero esto es imposible ya que −b < r′^ − r < b. Luego r = r′. Pero entonces b(q − q′) = 0 y b 6 = 0, luego q = q′. É Definici´on 1.2. (1) Un entero positivo p 6 = 1 se dice primo si sus ´unicos divisores son ±1 y ±p. (2) Sean a, b dos enteros no ambos nulos. El mayor entero que divide tanto a a como a b se llama el m´aximo com´un divisor de a y b. El m´aximo com´un divisor de a y b se denota (a, b) (o bien M.C.D.(a, b)). Similarmente definimos (a 1 , a 2 ,... , an) el m´aximo com´un divisor de a 1 , a 2 ,... , an, como el mayor entero que divide a todos esos n´umeros. (3) Dos enteros se dicen primos relativos si su m´aximo com´un divisor es 1. A priori no es obvio que el m´aximo com´un divisor de dos n´umeros deba existir, sin embargo esto es consecuencia inmediata del pr´oximo teorema.

Teorema 1.5. Dados dos enteros a y b, su m´aximo com´un divisor (a, b) es el menor entero positivo que se puede escribir como suma de multiplos de a y de b.

Corolario 1.10. Si p es un n´umero primo, p | bc y p - b, entonces p | c. Corolario 1.11. Si a = bq + r y b 6 = 0, entonces (a, b) = (b, r).

Demostraci´on. (a, b) = ma + nb = m(bq + r) + nb = (mq + n)b + mr, es decir, (a, b) es una suma de m´ultiplos de b y de r, luego por el teorema 1.5, (a, b) | (b, r). De una manera similar demostramos que (b, r) | (a, b). É

2.1. El Algoritmo de Euclides. Existe un m´etodo para calcular el m´aximo com´un divisor de dos n´umeros, tal m´etodo se denomina el Algoritmo de Euclides. Sean a y b dos n´umeros no ambos nulos, digamos, b 6 = 0. Entonces, por el algoritmo de la divisi´on, existen q y r tales que a = bq + r, con 0 ≤ r < |b|. Si r = 0, entonces b | a, (a, b) = |b| y hemos terminado. Si r > 0, entonces existen q 1 y r 1 tales que b = rq 1 + r 1 , con 0 ≤ r 1 < r. Si r 1 = 0, entonces (b, r) = r y por el Corolario 1.11, (a, b) = r y nuevamente hemos terminado. Si r 1 > 0, entonces existen q 2 y r 2 tales que r = r 1 q 2 + r 2 y 0 ≤ r 2 < r 1. Este proceso se puede continuar indefinidamente de tal manera que en cada paso, si obtenemos un resto cero, nos detenemos y si no, aplicamos el algoritmo de la divisi´on una vez m´as. Es importante notar que en cada aplicaci´on del algoritmo de la divisi´on, el resto obtenido es estrictamente menor que el de la aplicaci´on precedente. Vale decir, tenemos r > r 1 > r 2 > · · · > rn > · · · ≥ 0. Por el Principio de Buen Orden (ver Ejercicios), tiene que existir un n tal que rn = 0, ya que si no, habr´ıa una cadena descendente infinita. Pero entonces, rn− 1 | rn− 2 en cuyo caso (rn− 2 , rn− 1 ) = rn− 1 y aplicando el Corolario 1.11 varias veces,

(a, b) = (r, r 1 ) = (r 1 , r 2 ) = · · · = (rn− 2 , rn− 1 ) = rn− 1. Vale decir, el m´aximo com´un divisor de a y de b es el resto inmediatamente anterior al resto que se anula.

Ejemplo: Calculemos el m´aximo com´un divisor de 454 y 136.

454 = 136 · 3 + 46 136 = 46 · 2 + 44 46 = 44 · 1 + 2 44 = 2 · 22 + 0

Es decir, el m´aximo com´un divisor de 454 y 136 es 2. Para calcular el m´aximo com´un divisor de tres o m´as n´umeros, aplicamos el Teorema 1.7 y el algoritmo de Euclides.

Definici´on 1.3. El m´ınimo com´un m´ultiplo de dos enteros no nulos a y b es el menor entero positivo que es m´ultiplo de a y de b. Se le denotar´a por [a, b] (o bien por m.c.m.(a, b)

Como en el caso del m´aximo com´un divisor, el m´ınimo com´un m´ultiplo de dos n´umeros siempre existe. En este caso, en virtud del Principio de Buen Orden.

Teorema 1.12. Si m es un m´ultiplo com´un de a y de b, entonces [a, b] | m.

Demostraci´on. Por el algoritmo de la divisi´on, m = [a, b]q + r, con 0 ≤ r < [a, b]. Pero a | m y a | [a, b], luego a | r = m − [a, b]q. Similarmente, b | r, o sea, r es un m´ultiplo com´un de a y de b y 0 ≤ r < [a, b]. Si r > 0, r ser´ıa el m´ınimo com´un m´ultiplo de a y de b y no lo es. Por lo tanto r = 0 y [a, b] | m. É

Teorema 1.13. Si a y b son enteros no nulos,

[a, b] =

|ab| (a, b)

Demostraci´on. Sean d = (a, b) y m = [a, b]. Entonces |ab| d

|a| d

|b| = |a|

|b| d

o sea |ab d |es un m´ultiplo de a y de b, luego m | (^) (|a,bab|).

Por otra parte, |ab| es un m´ultiplo com´un de a y b, luego m | |ab| y, en particular, |ab| m es un entero. Ahora bien, m = ka, luego

k

|ab| m

k|a| m

|b| = ±b,

o sea, |ab| m

| b.

Analogamente, |ab m| | a. Es decir, |ab m| es divisor comun de a y de b, luego |ab m || d

y |ab m| ≤ d. Por lo tanto |ab d |= m. É

El siguiente teorema conocido tambi´en como teorema de factorizaci´on ´unica, es la piedra angular de toda la teor´ıa de n´umeros.

Teorema 1.14. El Teorema Fundamental de la Aritm´etica. Todo n´umero entero mayor que 1 o bien es un n´umero primo o bien se puede factorizar como producto de n´umeros primos. M´as a´un, tal factorizaci´on es ´unica salvo por el orden de los factores.

Este teorema tiene muchas aplicaciones, la m´as elemental es probablemente el algoritmo para calcular m´aximo com´un divisor y m´ınimo com´un m´ultiplo de dos o m´as n´umeros: El m´aximo com´un divisor de dos n´umeros es el producto de todos los pri- mos (considerando su multiplicidad) que se repiten en la factorizaci´on de ambos n´umeros. El m´ınimo com´un m´ultiplo de dos n´umeros es el producto de las m´aximas potencias de cada primo que aparece en la descomposici´on de alguno de los n´umeros. Ejemplo

Calcular el m´aximo com´un divisor y el m´ınimo com´un m´ultiplo de 48 y 180. Como 48 = 2^4 · 3 y 180 = 2^2 · 32 · 5, (48, 180) = 2^2 · 3 = 12 y [48, 180] = 2^4 · 32 · 5 = 720. Como sabemos, este algoritmo puede generalizarse a cualquier cantidad de n´u- meros. Podemos dar una f´ormula general para calcular el m´aximo com´un divisor y el m´ınimo com´un m´ultiplo de dos n´umeros basada en la descomposici´on en n´umeros primos. Sean n = pα 1 1 pα 2 2 · · · pα k k, m = pβ 11 pβ 2 2 · · · pβ k k,

donde 0 ≤ αi y 0 ≤ βi, para 1 ≤ i ≤ k. Obs´ervese que si αi = 0, entonces el primo pi no aparece en la descomposici´on de n, y algo an´alogo ocurre con m. Entonces

(n, m) = pmin 1 {α^1 ,β^1 }pmin 2 {α^2 ,β^2 }· · · pmin k {αk^ ,βk^ },

[n, m] = pmax 1 {α^1 ,β^1 }pmax 2 {α^2 ,β^2 }· · · pmax k {αk,βk^ }. Ejercicios 1.2. (1) Demuestre que el m´ınimo com´un m´ultiplo de dos n´umeros siempre existe. (2) Demuestre que si (a, m) = 1 y (b, m) = 1, entonces (ab, m) = 1. (3) Demuestre o de un contraejemplo (a) Si a | a + b, entonces a | b. (b) Si a | bc, entonces a | b o bien a | c. (c) Si a^2 | b^2 , entonces a | b. (d) Si a | b^2 , entonces a^2 | b^2. (e) Si d = (a, b), a | c y b | c, entonces ab | dc. (4) Demuestre los criterios de divisibilidad que aprendi´o en el colegio. Recorde- mos que si un entero se escribe en notaci´on decimal como anan− 1 · · · a 2 a 1 a 0 , a 0 es su d´ıgito de las unidades, a 1 es su d´ıgito de las decenas, etc. (a) Un n´umero es divisible por 2 si 2 | a 0.

(b) Un n´umero es divisible por 3 si la suma de sus d´ıgitos es divisible por

(c) Un n´umero es divisible por 4 si 4 | a 1 a 0. Tambi´en es divisible por 4 si 4 | 2 a 1 + a 0. (d) Un n´umero es divisible por 5 si su d´ıgito de las unidades es 5 o 0. (e) Un n´umero es divisible por 6 si es divisible por 2 y por 3. (f) Un n´umero es divisible por 7 si a 2 a 1 a 0 − a 5 a 4 a 3 + a 8 a 7 a 6 − · · · es divisible por 7. (g) Un n´umero es divisible por 8 si 8 | a 2 a 1 a 0. Tambi´en es divisible por 8 si 8 | 4 a 2 + 2a 1 + a 0. (h) Un n´umero es divisible por 9 si la suma de sus d´ıgitos es divisible por

(i) Un n´umero es divisible por 11 si a 2 a 1 a 0 − a 5 a 4 a 3 + a 8 a 7 a 6 − · · · es divisible por 11. (5) Invente criterios de divisibilidad para otros n´umeros mas grandes. (6) Demuestre que el cuadrado de cualquier n´umero entero puede tener la forma 3k o bien 3k + 1, pero no puede tener la forma 3k + 2. (7) Demuestre que no existen enteros a y b tales que (a, b) = 7 y 2a + b = 50. (8) Probar que si a y b son impares, entonces a^2 + b^2 no puede ser un cuadrado perfecto. (9) Demuestre que hay infinitos enteros de la forma 5n^ − 1 que son divisibles por 7. (10) Demuestre que si (a, b) = 1, entonces (a + b, ab) = 1. (11) Demuestre el teorema ??.

3. Congruencias En esta secci´on estudiaremos una importante relacion definida sobre el conjunto de los n´umeros enteros. Esta relaci´on tiene numerosas aplicaciones y sirve para introducir varios conceptos algebraicos.

Definici´on 1.4. Sea m un entero positivo. Decimos que a es congruente con b m´odulo m si y s´olo si m | a − b. Denotaremos este hecho por a ≡ b (mod m). Teorema 1.16. La relaci´on de congruencia m´odulo m es una relaci´on de equi- valencia.

Demostraci´on. Ejercicio. É

Consideremos la ecuaci´on 42x ≡ 50 (mod 76). 42 x ≡ 50 (mod 76) 2 · 21 x ≡ 2 · 25 (mod 76) 21 x ≡ 25 (mod 38) 21 x ≡ 25 + 38 (mod 38) 21 x ≡ 63 (mod 38) 21 x ≡ 21 · 3 (mod 38) x ≡ 3 (mod 38).

Es decir, las soluciones de la ecuaci´on 42x ≡ 50 (mod 76) son todos los enteros {· · · , − 73 , − 35 , 3 , 41 , 79 , · · · }. Estas se pueden expresar en t´erminos de el m´odulo original 76. En efecto, como las soluciones obedecen la f´ormula x = 3 + 38k, separando en dos casos si k es par o si k es impar, tenemos x = 3 + 38 · 2 n = 3 + 76n y x = 3 + 38(2n + 1) = 41 + 76n. Obs´ervese que 41 6 ≡ 3 ( mod 76). Recordando que una ecuaci´on de primer grado en los enteros (o los racionales o los reales) tiene, a lo m´as una soluci´on, la pregunta obvia es ¿Cu´antas soluciones no congruentes entre si puede tener una ecuaci´on en congruencias? Consideremos la ecuaci´on ax ≡ b (mod m) y sea x 0 una soluci´on. Si x es otra soluci´on, entonces ax ≡ ax 0 ≡ b (mod m), luego por el Teorema 1.

x ≡ x 0 (mod

m d

donde d = (a, m). Es decir, x = x 0 + tmd , o sea, x pertenece al conjunto

{· · · , x 0 − 2

m d

, x 0 −

m d

, x 0 , x 0 +

m d

, x 0 + 2

m d

, · · · , x 0 + (d − 1)

m d

, x 0 + m, · · · }.

¿Cu´antas de estas soluciones son “distintas”, en el sentido de no ser congruentes mdulo m entre s´ı? Observemos que x 0 + m ≡ x 0 (mod m). De la misma manera, x 0 − md ≡ x 0 + (d − 1)md (mod m), etc. Es claro que cualquier soluci´on de la ecuaci´on ser´a congruente ( mod m) con uno de los enteros

x 0 , x 0 +

m d

, x 0 + 2

m d

, · · · x 0 + (d − 1)

m d

No resulta dif´ıcil ver que ninguno de estos n´umeros es congruente (mod m) con otro porque las diferencias entre ellos son todas menores que m. Decimos que el conjunto anterior es un conjunto completo de representantes de las soluciones de ax ≡ b (mod m). En los p´arrafos anteriores hemos demostrado el siguiente teorema: Teorema 1.21. Si (a, m) | b, la ecuaci´on ax ≡ b (mod m) tiene (a, m) solu- ciones no congruentes entre si.

Ejemplo Consideremos la ecuaci´on 68x ≡ 100 ( mod 120). Entonces 68 x ≡ 100 + 2 · 120 ( mod 120) 68 x ≡ 340 ( mod 120) y como (68, 120) = 4, x ≡ 5 ( mod 30). Por lo tanto { 5 , 35 , 65 , 95 } es un conjunto completo de representantes de las solu- ciones de 68x ≡ 100 ( mod 120). Dijimos antes que la relaci´on de congruencia m´odulo m es una relaci´on de equivalencia. Las clases de equivalencia de esta relaci´on juegan un papel muy importante, sobre todo en las conecciones con el ´algebra. Es f´acil ver que existir´a exactamente m clases de equivalencia m´odulo m, ya que para cualquier entero n, por el algoritmo de la divisi´on, n = qm + r, luego n ≡ r (mod m), para alg´un r = 0, 1 , · · · , m − 1. Por lo tanto existen m clases distintas.

3.2. Sistemas de Congruencias. Consideremos el siguiente problema. En alg´un lugar del sur de Chile vive un pastor, que cuida de su pi˜no de ovejas con singular dedicaci´on. Cierto d´ıa, acert´o a pasar por este lugar un funcionario municipal, quien ten´ıa por misi´on averiguar la cantidad exacta de ovejas de este pastor. Este es (resumidamente) el di´alogo que tuvo lugar: —Y, ¿Cu´antas ovejas tiene Ud.? —Bueno, mire, en realidad no s´e. F´ıjese que yo aprend´ı a contar hasta cinco no m´as. Lo que s´ı le puedo decir es que si cuento las ovejas de tres en tres, me sobran dos; si las cuento de cuatro en cuatro, me sobra una, y si las cuento de cinco en cinco, me sobran tres. El funcionario mir´o someramente el pi˜no de ovejas y decidi´o que en ning´un caso ´este ten´ıa m´as de cien ovejas. Hecho esto, se di´o por satisfecho. ¿C´omo pudo el funcionario averiguar cu´antas ovejas formaban el pi˜no?

Supongamos que el n´umero de ovejas es x. “si cuento las ovejas de tres en tres, me sobran dos”. O sea, x ≡ 2 ( mod 3). “si cuento las ovejas de cuatro en cuatro, me sobra una”. O sea, x ≡ 1 ( mod 4). “si cuento las ovejas de cinco en cinco, me sobran tres”. O sea, x ≡ 3 ( mod 5). Se trata entonces de encontrar un n´umero x que verifique las tres congruencias:

x ≡ 2 ( mod 3) x ≡ 1 ( mod 4) x ≡ 3 ( mod 5),

Demostraci´on. x 0 es soluci´on del sistema si y s´olo si existe un entero s tal que x 0 = a 1 + sm 1 ≡ a 2 ( mod m 2 ) si y s´olo si existe un entero s tal que sm 1 ≡ a 2 − a 1 ( mod m 2 ). Tal s existe si y s´olo si (m 1 , m 2 ) | a 2 − a 1. Supongamos ahora que (m 1 , m 2 ) | a 2 − a 1 y que x 0 es una soluci´on del sistema. Entonces si x es una soluci´on,

x ≡ a 1 ≡ x 0 ( mod m 1 ) x ≡ a 2 ≡ x 0 ( mod m 2 ),

luego m 1 | x − x 0 y m 2 | x − x 0 , o sea, x − x 0 es un m´ultiplo com´un de m 1 y de m 2 , luego [m 1 , m 2 ] | x − x 0 , por lo tanto x ≡ x 0 ( mod [m 1 , m 2 ]). É

Uno de los m´as famosos teoremas de la Teor´ıa de N´umeros es el siguiente: Teorema 1.23. Teorema Chino del Resto Si (mi, mj ) = 1, para i 6 = j, i, j ≤ k, entonces el sistema de congruencias

x ≡ a 1 ( mod m 1 ) x ≡ a 2 ( mod m 2 ) .. . x ≡ a 2 ( mod mk)

tiene soluci´on. Dos soluciones son congruentes ( mod m 1 · m 2 · · · mk).

Demostraci´on. La demostraci´on del teorema nos proporciona un m´etodo que nos permite calcular las soluciones del sistema. Observemos que si M = m 1 · m 2 · · · mk, entonces para todo j ≤ k, ( (^) mMj , mj ) = 1.

Por lo tanto, existen enteros αj y βj tales que 1 = αj mMj + βj mj , es decir,

αj mMj ≡ 1 ( mod mj ). Consideremos ahora

x 0 = a 1 α 1

M

m 1

• a 2 α 2

M

m 2

• · · · + akαk

M

mk

La segunda observaci´on es que (^) mMj es m´ultiplo de mi, para i 6 = j, as´ı, por ejemplo,

x 0 ≡ a 1 α 1

M

m 1

( mod m 1 ),

pero como α (^1) mM 1 ≡ 1 ( mod m 1 ) ,

a 1 α 1

M

m 1

≡ a 1 ( mod m 1 ),

luego x 0 ≡ a 1 ( mod m 1 ).

En forma an´aloga se obtiene que x 0 ≡ ai ( mod mi), para todo i ≤ k, o sea, x 0 es una soluci´on del sistema. La demostraci´on de que dos soluciones son congruentes ( mod m 1 · m 2 · · · mk) es an´aloga a la de la ´ultima parte del teorema 1.22 y se deja como ejercicio. É

Ejemplo. Encontremos la soluci´on al problema de las ovejas y el funcionario.

x ≡ 2 ( mod 3) x ≡ 1 ( mod 4) x ≡ 3 ( mod 5).

En este caso, M = 3 · 4 · 5 = 60. (^) mM 1 = 20, (^) mM 2 = 15 y (^) mM 3 = 12. Como

2 · 20 ≡ 1 ( mod 3) 3 · 15 ≡ 1 ( mod 4) 3 · 12 ≡ 1 ( mod 5).

α 1 = 2, α 2 = 3 y α 3 = 3, luego

x 0 = 2 · 2 · 20 + 3 · 15 + 3 · 3 · 12 ( mod 60)

o sea,

x 0 ≡ 233 ≡ 53 ( mod 60),

por lo tanto el pi˜no ten´ıa 53 ovejas.

Ejercicios 1.3. (1) Demuestre el Teorema[1.16]. (2) Demuestre el Teorema[1.17]. (3) Encuentre todas las soluciones de las ecuaciones

3 x ≡ 1 ( mod 4) (1) 4 x ≡ 2 ( mod 6) (2) 3(x − 8) ≡ 18 − x ( mod 10) (3) (4) Demuestre que si 13 - a y 13 - b, entonces a^12 ≡ b^12 ( mod 13). (5) Demuestre que si a y b son primos relativos con 91, entonces a^12 − b^12 es divisible por 91. (6) Si de un canasto se saca huevos de a dos, de a tres y de a cinco, sobran uno, dos y tres, respectivamente. ¿Cu´antos huevos hab´ıa en el canasto? (7) Para una fiesta se compraron paquetes de papas fritas a 39 pesos y paque- tes de galletas a 47 pesos, gast´andose un total de 4151 pesos. ¿Cu´antos paquetes de cada producto se compraron? (8) Demuestre el teorema ??.