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CAP. 1- LEYES DE NEWTON Y RELAJACIONES
1.1 –Vectores y Cinemática
1. OF. Dado un vector b
r
en cartesianas, obtenga su módulo y el vector unitario eb
r
en su dirección y sentido, y
escríbalo en la forma b = beb
r r
. EB: Aplíquelo a I) 3,0 i
r
II) − 4,0 j
r
y III) (^) ( 3,0 i −4,0 j )
r r
y dibuje ambos
vectores.
2. OF Dados varios vectores ai , i = 1 N
r
K obtenga el vector suma
1
N i i
a
=
∑
r
tanto algebraicamente, como
gráficamente por el método del polígono vectorial (en papel cuadriculado). EB: Aplíquelo a
a 1 = 3,0 , i a 2 = 2,0 , j a 3 = −2,0 , i a 4 = 3,0 i +1,0 j
r r^ r r^ r r^ r r^ r
3. OF Dados dos vectores b y c
r r
en cartesianas obtenga su producto es calar b c ·
r r
, el coseno del ángulo que forman
cos( b c , )
r r
, la proyección de b
r
sobre c
r
, y la de c
r
sobre b
r
. Dibuje un croquis con los vectores y las proyecciones.
EB: Aplíquelo a I) b = 3,0 i , c =2,0 i
r r r r
II) b = 3,0 j , c = −2,0 j
r r r r
III) b = i , c = k
r r r r
IV) b = 3,0 j , c = −2,0 k
r r r r
V) b = 3,0 i − 4,0 j , c = i −2,0 j
r r r r r r
4. OF Dados dos vectores b y c
r r
en cartesianas calcule sus productos vectoriales b × c
r r
y c × b
r r
, el seno del ángulo
que forman sen b c ( , )
r r
y sen c b ( , )
r r
y el área A del paralelogramo que definen. Dibuje un croquis 3D con los
vectores y las áreas definidas. EB: Aplíquelo a I) b = 3,0 i , c =2,0 i
r r r r
II) b = 3,0 j , c = −2,0 j
r r r r
III) b = i , c = k
r r r r
IV) b = 3,0 j , c = −2,0 k
r r r r
V) b = 3,0 i − 4,0 j , c = i −2,0 j
r r r r r r
5. OF Dado un vector b
r
en el plano XY, obtenga otros dos que, estando contenidos en el mismo plano, sean
perpendiculares a b
r
y tengan el mismo módulo. Dibuje los tres vectores. EB Aplíquelo a I) 3,0 i
r
II) − 4,0 j
r
III) 3,0 i −4,0 j
r r
6. OF Dados los vectores posición r t ( I ) , r t ( F )
r r
de una partícula en dos instantes t I y tF = tI + ∆ t , calcule el
desplazamiento ∆ r
r
y la velocidad media vm
r
. Y al revés. Dibuje los cuatro vectores. EB Aplíquelo a
r t ( (^) I ) = 2,0 i (^) ( m (^) ) , ∆ = t 0,40( s )
r r
si r t ( F )
r
I)6,0 i
r
II) 6,0 j
r
III) 6,0 i +6,0 j
r r
IV) ∆ r = (^) ( 2,0 i −4,0 j (^) ) ( m )
r^ r^ r
V) vm = (^) ( 3,0 i +4,0 j (^) ) ( m / s )
r^ r^ r
7. OF Dados las velocidades v t ( I ) , v t ( F )
r r
de una partícula en dos instantes t I y tF = tI + ∆ t , calcule la aceleración
media am
r
. Y al revés. Dibuje los tres vectores. EB Aplíquelo a v t ( (^) I ) = 2,0 i ( m / s ) , ∆ = t 0,20( s )
r r
si
v t ( (^) F ) (^) ( m / s )
r
I)6,0 i
r
II) 6,0 j
r
III) (^) ( 6,0 i +6,0 j )
r r
IV) am = (^) ( 3,0 i +4,0 j (^) ) ( m^2 / s )
r^ r^ r
- OF Dada la descripción cualitativa de un movimiento rectilíneo , dibuje las gráficas genéricas de su velocidad v ( t ), aceleración a ( t ) y posición x ( t ). EB Aplíquelo a un cuerpo inicia lmente en reposo que I) acelera hasta conseguir una velocidad final constante. II) Acelera, frena y finalmente se para. III) Acelera, avanza hasta una posición extrema y luego retrocede hasta su posición inicial quedando finalmente en reposo.
9. OF Dada una función escalar f ( ) t o vectorial f ( ) t
r
del tiempo y un intervalo tI < t < tF , obtenga su integral
definida ( ) , ( )
F F I I
t t t t ∫^ f t dt^ ∫ f t dt
r
, dibuje las funciones componentes f x ( ) , t f y ( ) t y marque en ellas las áreas.
EB Aplíquelo a I) f t ( ) = 2,0 e − t /3,0, 0 < t < ∞ II) f ( ) t = 2· t i + 3 , j 0 < t < 1
r r r
10. OF Dada la ecuación horaria de la velocidad v t ( )
r
(o de la aceleración a t ( )
r
), y un intervalo de tiempo
t I < t < tF , obtenga el desplazamiento ∆ r
r
(o el incremento de la velocidad ∆ v
r
). EB Aplíquelo a
Las soluciones deben ir con:
- Sus unidades físicas
- Un número de cifras significativas igual al de los datos
- Dibujos geométricos explicativos
- Firmas de los autores
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I) v t ( ) = 3,0 i + 4,0 t j , 0 < t < 1
r r^ r
II) v t ( ) = 2,0 e − t /3,0 i , 0 < t < ∞
r r
II) a t ( ) = − gj , 0 < t < 2
r^ r
II) a t ( ) = 2,0·cos(2 πt ), 0 < t <0,
r
11. OF Dada la ecuación horaria f ( ) t
r
de una magnitud cinemática y las condiciones iniciales
v 0 = v t ( = 0 ) , r 0 = r t ( =0)
r r r r
, obtenga las ecuaciones horarias de las otras dos. EB Aplíquelo a I) Un MUA
( ) (^) ( ) ( ) ( )
2
a t ( ) = − gj m s , v 0 = 2,0 i + 3,0 j m s , r 0 =1,0 i m
r r^ r r^ r^ r r
II) Un MAS
v t ( ) = 2,0cos(2 π t + π 4) (^) ( m s (^) ) , x 0 = 3,0( m ) III) Un MCU r t ( ) = 2,0 cos(2( π t i ) + sen (2 π t ) j (^) ) ( m )
r^ r^ r
- OF y EB Dada una nave que realiza el viaje Tierra Marte elija la referencia más adecuada (Tierra, o Sol o Marte) en los siguientes tramos: I) Despegue de la Tierra II) Viaje Tierra Marte III) Aterrizaje en Marte
- OF Dadas las velocidades (o aceleraciones) absolutas de dos partículas, obtenga la relativa y dibuje los tres
vectores. EB Aplíquelo a dos vehículos que van a la misma celeridad v 0 = cte I) en la misma dirección y
sentido vB = vA
r r
II) En la misma dirección pero sentido contrario vB = − vA
r r
III) En direcciones
perpendiculares v A = v i 0 , vB = v j 0
r r^ r r
IV) Aplíquelo a dos cuerpos que caen con aceleraciones
a A = a B = − gk
r r r
realizando trayectorias parabólicas
- OF Dados el movimiento relativo y el de la referencia, obtenga el movimiento absoluto y dibuje la trayectoria
absoluta. EB Aplíquelo a I) dos MRU r '( ) t = 3 t i , rREF ( ) t = 4 t j
r r^ r s
II) un MUA
v '( ) t = 3,0 t i ( m s )
r r
respecto a un MRU vREF ( ) t = 4,0 j m s ( )
r s
15. OF Dada la gráfica o la expresión o de la velocidad transversal vθ ( ) t de un movimiento circular sobre una
circunferencia de radio R , obtenga las expresiones de la aceleración tangencial aT ( ) t y normal aN ( ) t y dibuje sus
gráfic as. EB Aplíquelo I) si vθ ( ) t = 3,0· t m s ( (^) ) , R = 2,0( m ) II) Dibuje cualitativamente las gráficas de un movimiento pendular.
16. OF Dada la velocidad v
r
y la aceleración a
r
de una partícula, obtenga en ese instante aT y aN , el radio de
curvatura ρ de la trayectoria y dibuje un esquema con los dos vectores, las componentes intrínsecas y el circulo
osculador. Y al revés. EB Aplíquelo para v = 2,0 i (^) ( m / s )
r r
cuando a (^) ( m^2 / s )
r
I) 3,0 i
r
II) 4,0 j
r
III) (^) ( 3,0 i +4,0 j )
r r
IV) aT = 3,0, aN = 4,0 V) a (^) T = 3,0 (^) ( m s^2 ) , ρ =2,0( m )
17. OF y EB Defina las coordenadas polares de un punto r
r
y las componentes polares de un vector b
r
fijo en r
r
18. OF Dados r y v
r r
en cartesianas, calcule en ese instante los vectores unitarios radial eR
r
y transversal eθ
r
, las
componentes radial v R y transversal vθ de la velocidad y la velocidad angular ω. Y al revés. Dibuje un croquis
con los cuatro vectores y las componentes polares. EB: Aplíquelo a r = 2,0 j m ( )
r r
si v m s ( )
r
I) 3,0 i
r
II) −3,0 i
r
III) 4,0 j
r
IV) 3,0 i +4,0 j
r r
V) vR = −3,0, vθ = 4,0VI) vR = − 3,0 (^) ( m s (^) ) , ω =0,5 (^) ( rad / s )
19. OF Dada la ecuación horaria de un móvil en cartesianas r t ( ) = x t i ( ) + y t ( ) j
r r^ r
, obtenga las expresiones
de r t ( ) , θ ( ), t vR ( ), t v θ ( ) , t ω ( ) t. Y al revés. Dibuje un croquis de la trayectoria y las componentes polares de la
velocidad en un punto genérico. EB Aplíquelo a
I) un MRU r t ( ) = 2,0· t i +1,0 j
r^ r^ r
II) Un MCU r t ( ) = 3,0 (^) ( i cos 4,0( t + π (^4) ) + jsen (^) ( 4,0 t + π (^4) ))
r^ r^ r
III) Un MCU r t ( ) = 3,0 (^) ( m (^) ) y θ ( ) t = 4,0 t + π (^4) ( rad )
IV) Un movimiento espiral r t ( ) = 3,0· t (^) ( m (^) ) y θ ( ) t =4,0 t rad ( )
- OF Dado un movimiento plano, un punto de la trayectoria y un sistema de referencia , dibuje el vector
aceleración a
r
, relacione las componentes cartesianas (^) { aX , aY (^) }, con las intrínsecas (^) { aT y aN (^) }y con las
polares (^) { aR , aθ }y diga cual de ellas es nula. EB Aplíquelo a I) un tiro parabólico en su vértice, con la referencia situada también en su vértice. II) Una orbita planetaria elíptica, en su vértice más alejado (afelio), con la referencia en el Sol (foco). III) Un movimiento pendular, en sus puntos más altos y más bajo, con la referencia en el extremo fijo del hilo.
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- OF Dada la EDO de la velocidad de un sistema amortiguado libre y una función v ( t ) cualquiera, comprobar por
sustitución si v ( t ) es solución. EB Aplíquelo a (^) ( dv / dt (^) ) + (^) ( v (^2) )= 0 , cuando las funciones v ( t ) son I) 0,0 II) 4, III) 2 t +6,0 IV)−4,0 exp (− t ) (m/s) V) 4,0 exp (− t/ 2) m/s
- OF Problema directo. Dados los parámetros (^) { m , b } de un sistema amortiguado libre y la velocidad inicial v 0 ,
obtenga la EDO de su velocidad, la constante de tiempo τ, y la expresión y gráfica de la solución v ( t ). EB Aplíquelo a m= 40kg, b =3,0 kg/s, cuando v 0 vale a) 0,0 b) −2,0 c) 2,0 m/s
- OF Problema inverso Dada la expresión de la solución v ( t ) de un sistema amortiguado libre , obtenga sus parámetros
{ v 0^ y^ τ^ }y dibuje la gráfica EB Aplíquelo a^ v t ( )^^ =^ 3,0exp(^ −2 ) t^^ m^ / s
- OF y EB Dado un sistema amortiguado forzado por una fuerza constante F 0 , listar sus parámetros, identificar la condición inicial y la variable de estado, escribir su EDO, listar los parámetros de la solución y escribir la ley de la solución.
- OF Dado un sistema forzado por una fuerza constante F 0 que lo empuja y amortiguado por una fuerza viscosa
F VISC( v ) cuya ley y parámetros son conocidos, calcule su velocidad límite v LIM. EB Aplíquelo a F 0 = 8,0 N , si la
ley es I) FVISC = − bv , b = 2,0 kg / s II) FVISC = − Cv^2 , C =2,0 kg / m
- OF Dadas la EDO de la velocidad un sistema amortiguado forzado por una fuerza constante, y una función v ( t )
cualquiera, compruebe por sustitución si v ( t ) es solución. EB Aplíquelo a 4,0 ( dv / dt )+ 2,0 v = 12 , cuando v ( t ) vale I) 0,0 II) 4,0 III) 6,0 IV) 4,0·exp(− t/ 2) V) 6+ ( v 0 −6) exp (− t/ 2)
- OF Problema directo Dados los parámetros { m , b , F 0 }de un sistema amortiguado forzado por una fuerza constante
F 0 y la velocidad inicia l v 0 , obtenga la EDO de su velocidad, los parámetros de las soluciones (τ y v LIM) y la expresión y gráfica de la solución v ( t ). EB Aplíquelo a I) un grano de arena que cae bajo la acción de la gravedad con m= 1,0 gr , b= 0,005 kg/s y v 0 =0,0 m/s II) Un camión de m = 4,0 10^4 kg, b= 4·10^2 kg/s, F 0 =1,0 kN y v 0 =0,5 m/s (suponiendo que F VISC= − bv ).
- OF Problema inverso Dada la expresión de una solución v ( t ) de un sistema amortiguado forzado , obtenga
v 0 , vLIM y τ y dibuje la gráfica. EB Aplíquelo si v t ( ) I) 4,0 + 3,0exp( 2 )− t II) − 4,0 + 3,0exp( − t /2)
- OF y EB Dado un circuito RL forzado por una tensión constante V 0 , listar sus parámetros, identificar la condición inicial y la variable de estado, escribir su EDO, listar los parámetros de la solución y escribir la ley de la solución.
- OF Problema directo Dado los parámetros (^) { L , R , VG (^) 0 }de un circuito RL forzado por un generador de tensión
constante V G0, y la corriente inicial i 0 , dibuje el esquema del circuito, obtenga la EDO de la corriente , los parámetros de la solución { i 0 (^) , iLIM y τ }y la expresión EB Aplíquelo a L= 40 mH, R= 2,0 kΩ, V G0=8,0V, cuando i 0 vale I) 0, mA, II) 1,0 mA, III) 4,0 mA, IV) −2,0 mA. Dibuje todas las gráfica de la solución i ( t ) sobre el mismo eje temporal.
- OF Problema inverso Dada la expresión de una solución i ( t ) de un circuito RL forzado , obtenga sus parámetros
{ i 0 (^) , iLIM y τ }y dibuje la gráfica. EB Aplíquelo si i t ( ) = 4,0 + 3,0exp( − t 2,0) mA
CAP. 2 -TRABAJO Y ENERGIA
2. 1. – Acción trabajo y su efecto en la energía cinética
- OF Dada una fuerza constante describa cómo debe ser el camino 3D recorrido para que el trabajo desarrollado sea, o bien nulo, o bien positivo o bien negativo. EB Aplíquelo a una fuerza constante vertical y hacia abajo
2. OF Dada una fuerza resultante F 0 = cte
r uur
y un desplazamiento ∆ r = ∆ xi + ∆ yj
r r^ r
, calcule el trabajo W realizado y el
∆ E K incremento de energía cinética sufrido. Haga un croquis esquemático de los vectores involucrados. EB
Aplíquelo a F 0 (^) = 6 i (^) ( N )
r r
cuando ∆ r
r
I) 3.0 i
r
II) 4.0 j
r
III) (^) ( 3.0 i + 4 j (^) ) m
r r
3. OF Problema inverso Dado el trabajo resultante WS realizado sobre una masa m y la celeridad inicial vI calcule la
celeridad final v (^) F y el incremento de celeridad (^) ( v (^) F − vI ). EB Aplíquelo a WS = 10 J , m = 2,0 kg si vI I) 0,
II) 1,0 III) 1000 m / s
4. OF Dada una masa m que cae con una velocidad inicial v 0 por un plano inclinado un ángulo α , su desplazamiento
∆ r y el coeficiente μK de rozamiento dinámico, calcule los trabajos de todas las fuerzas (de rozamiento, gravitatoria,
normal, y resultante), y la velocidad final v F. EB Aplíquelo a 0
m = 2,0 kg , v 0 = 10 m / s , α = 60 , ∆ r = 0,50 m , μK =0,
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5. OF Dada una fuerza F
r
y un desplazamiento diferencial dr = dxi + dyj
r r^ r
, obtenga las expresiones de los dW , dEK
diferenciales de trabajo y energía cinética. Haga un croquis esquemático de los vectores involucrados EB Aplíquelo a F = 6 i + 8 j (^) ( N )
r r r
cuando dr
r
I) dxi
r
II) dyj
r
III) (^) ( 2,0 dt i +4,0 dt j ) m
r r
6. OF Dada la ecuación horaria de una fuerza F t ( )
r
y de la posición r t ( ) = x t i ( ) + y t ( ) j
r r^ r
, obtenga la expresión del
dW realizado en un dt y calcule el W realizado en un intervalo de tiempo t I < t < tF. Haga un croquis esquemático
de los vectores involucrados EB Aplíquelo a F t ( ) = 6,0 t j N ( (^) ), 0 < t < 1
r r
si I) r t ( ) = 2,0 sen (^) ( 2 t + π (^3) ) i
r r
II) r t ( ) = ( 1 + 3 t ) j m
r r
7. OF Dada la masa m de un cuerpo y la ecuación horaria de su velocidad v = v t ( )
r r
calcule el W S desarrollado por la
fuerza resultante entre tI < t < tF. Haga un croquis esquemático de los vectores involucrados EB Aplíquelo a una
masa m= 2,0 kg que realiza I) Un tiro parabólico de v t ( ) = 30 i + ( 10 − 10 t ) j , 0 < t < 1
r r^ r
II) Una relajación de
v t ( ) = 2,0exp( − t /4), 0< t < ∞ III) Un MAS de v t ( ) = 4,0cos(2 πt /3) en un periodo
8. OF Dada m y v = v t ( )
r r
obtenga la expresión PS = PS ( ) t de la potencia desarrollada por la fuerza resultante e
integrándola, calcule el W S entre tI < t < tF. Haga un croquis esquemático de los vectores involucrados. EB
Aplíquelo a una masa m= 2,0 kg que realiza I) Un tiro parabólico de v t ( ) = 30 i + ( 10 − 10 t ) j , 0 < t < 1
r r^ r
II) Una
relajación de v t ( ) = 2,0exp( − t /4), 0< t < ∞ III) Un MAS de v t ( ) = 4,0cos(2 πt /3) en un periodo
2. 2. – Los campos de fuerzas y sus trabajos
- OF Dada una fuerza central producida por un cuerpo fijo sobre otro que puede moverse en un plano , dibuje un croquis esquemático de algunos vectores fuerzas y de algunas líneas de campo alrededor del punto fijo. EB Aplíquelo a la fuerza I) gravitatoria producido por una masa puntual fija sobre otra móvil II) Eléctrica producida por una carga puntual positiva fija sobre otra positiva móvil II) Elástica sobre un carrito ligado a un eje vertical a través de una cuerda muy elástica, que le permite simultáneamente girar y oscilar radialmente.
2. OF Dada la expresión analítica de un campo 2D sencillo F x y ( , )
r
y un punto r 0 = x i 0 + y j 0
r r^ r
en cartesianas, obtenga
la fuerza F r ( 0 )
r r
en dicho punto y dibuje la fuerza aplicada al punto. EB Aplíquelo en el punto r 0 = 3 i + 4 j
r r^ r
a los
campos I) xi
r
II) 2 i + x^2 j
r r
III) xi + yj
r r
3. OF Dada la expresión analítica de un campo central F r ( ) = F r e ( ) R
r r
y las coordenadas de un punto r 0 (^) =( r 0 (^) , θ 0 )
r
en
polares, obtenga y dibuje la fuerza sobre el punto. EB Aplíquelo si I) F r ( ) = 2 r , (^) ( r 0 (^) = 2, θ (^) 0 = π (^3) )
II) ( ) 2
F r ( ) = 2 r , r 0 = 2 , θ 0 = π
4. OF Dado F x y ( , )
r
o F r ( ) = F r e ( ) R
r r
, dibuje alrededor del origen algunas fuerzas y líneas de campo. EB Aplíquelo
a I) − 2 j
r
II) − 2 xi
r
III) 2 yi
r
IV) − 2 eR
r
V) 2 reR
r
VI) 2 eR r^2
r
5. OF Dado F x y ( , )
r
y la ecuación y = f ( ) x de una curva sencilla, obtenga las dos expresiones F ( ) x y F y ( )
r r
de la
fuerza sobre la curva, y dibuje el vector fuerza en un punto ( x 0 , y 0 )de la curva. EB Aplíquelo a
I) F = xi , y = x , x 0 = 1
r r
II) F = (^) ( 1 + x (^) ) j , 2 y + x = 1, y 0 = 0
r r
III) F = 2 i + xj , y = x^2 , x 0 = 2
r r r
III) F = x i^2 + y j^2 , x^2 + y^2 = 1 , y 0 = 1
r r r
6. OF Dado F x y ( , )
r
y la ecuación y = mx + b de una trayectoria rectilínea, obtenga la expresión dW = G x dx ( ) del
trabajo realizado en un dx y calcule el W realizado en un intervalo xI < x < xF. Igualmente obtenga la expresión
dW = H y dy ( ) del trabajo realizado en un dy , y calcule el W realizado en un intervalo yI < y < yF. EB Aplicarlo
a I) F = 3 xj , y = 2 x + 1 , 0 < x < 1
r r
, II) F = 3 yj + 2 xi , x = 3 , 0 < y < 1
r r r
7. OF Dado F x y ( , )
r
y un camino cerrado formado por tramos rectilíneos, calcule W. EB Aplíquelo a F x ( ) = 2 yi
r r
y a
un camino triangular cerrado de vértices (^) ( 0.0, 0.0 (^) ) → (^) ( 1.0, 0.0) →( 0.0, 1.0)
2. 3.- Energía potencial
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III) T x y ( , ) = 100/( x^2^ + y^2 )1 / 2 J , T 1 = 50 K T , 2 = 25 K
IV) U r ( ) = − ( 10/ r ) J , U 1 = − 5,0 J U , 2 = −2,0 J
V) grad U ( ) =( 4,0/ r ) eR J / m
uuuuur r
5. OF Dada la expresión analítica de un campo escalar sencillo en cartesianas S x y ( , )o en polares S r ( ) , calcule en un
punto r 0 = ( x 0 , y 0 ) = r e 0 R
r r
los valores del campo S r ( 0 )
r
, de sus derivadas parciales
{ ∂^ S^^ ∂ x^^ r r 0^ ,^ ∂^ S^ ∂ y^^ r r 0^ } o ´^ ∂ S^^ ∂ rr r 0 , del vector^ grad S (^ )
uuuuur
y de la derivada direccional r 0
dS dl r en una dirección dada
por un vector unitario u
r
. EB Aplíquelo a
I) T x y ( , ) = ( 2,0· x − 4,0 y + 300 ) K r , 0 = (1,0 i + 1, 0 j ) m , u = (3,0 i −4,0 ) / 5 j
r r^ r^ r r^ r
II) U r ( ) = 10· r^2 J , r 0 = 2,0 eR m , u = (3,0 eR −4,0 eθ ) / 5
r r r r r
6. OF Dado un mapa de curvas de nivel ( S = cte )sobre papel cuadriculado, obtenga gráficamente (mediante cocientes
incrementales) en un punto r 0
r
cualquiera, el 0
r
grad S r
uuuuur
, las derivadas parciales 0 0
∂ S ∂ x r r ,∂ S ∂ y r r y la derivada
direccional r 0
dS dl r en una dirección u
r
. EB Aplíquelo al mapa formado por dos circunferencias equipotenciales
centradas en el origen de 90 y 100 J y de radios 3,0 y 5,0 km, en el punto r 0 = 4,0 i +4,0 j
r r^ r
cuando u
r
forma 30º con
r 0
r
. Use la escala de 1,0 km/div.
7. OF Dado en un punto r 0
r
el valor del campo S 0 = S r ( 0 )
r
y su gradiente grad S ( )
uuuuur
estime el nuevo valor de campo
S 1 = S r ( 0 + ∆ r )
r r
cuando se produce un desplazamiento ∆ r
r
. EB Aplíquelo si
T r ( 0 ) = 300 K y grad T ( ) = ( 3.0 i +4.0 j ) K / m
r uuuuur^ r^ r
cuando ∆ r
r
vale I) 0,10 i m II) 0,10 j m III) 0,30 i+ 0,40 j m IV) −0,40 i+ 0,30 j m
8. OF y EB Escriba las relaciones directas e inversas entre un campo de energía potencial U r ( )
r
y su campo de fuerzas
F r ( )
r
9. OF Dada la expresión de un campo de energía potencial en cartesianas U x y ( , )o en polares U r ( ) , obtenga la
expresión del campo de fuerzas F x y o F r ( , ) ´ ( )
r r
.Y al revés. EB Aplíquelo si I) U x ( ) = m g x · ·
II) ( ) ( )
2 2
U x y ( , ) = 1 2 k x + y III) U r ( ) = − ( GMm ) r III) F x ( ) = − kxi , U x ( = 0) = 0 J
r r
V) F r ( ) = − ( GMm r^2 ) eR , U r ( = ∞ ) = 0 J
r r
CAP. 3 - MOMENTO CINÉTICO
1. OF Defina el vector velocidad areolar vAR
r
, el momento cinético L
r
y el momento m
r
de una fuerza, explique porqué
L y v AR
r r
representan la rotación y porqué m
r
representa el efecto palanca de la fuerza. EB Aplíquelo al caso de un péndulo.
2. OF Dada la masa m de una partícula y sus CI ( r 0 , v 0
r r
) de una partícula, calcule en ese instante sus vectores unitarios
radial eR
r
y transversal eθ
r
, sus velocidades radial v R, transversal v θ, y angular ω; v AR y L
r r
y el vector unitario que
indica el eje de giro eG
r
. Dibuje un croquis 3D con los vectores y sus componentes. EB Aplicar a
I) un proyectil de m = 1,0 kg , r 0 = 100 i m , v 0 = ( 30 i − 40 j ) m / s
r r^ r r^ r
II) Un péndulo de m = 20 kg que oscila en el plano XY, cuyo hilo es de 10 m, si v 0 =2,0 m / s
III) Un satélite artificial de ( ) ( )
5
m = 200 kg , r 0 = −1,0· i + 1,0 j ·10 m , v 0 = 300 i − 400 j m / s
r r^ r^ r r^ r
3. OF Dada una fuerza F
r
aplicada sobre una partícula situada en r
r
, calcule su componente radial F R, transversal F θ, y
su momento m
r
respecto del origen. Dibuje un gráfico 3D con los tres vectores y las componentes de F
r
E B
Aplicarlo a I) F = 3 i ( N ) , r = − 4 j ( m )
r r r r
II) Un satélite artificial con FG = − 10 2 eR ( N ) , r = 105 eR ( m )
r r r r
III) El peso P
r
de un péndulo de m= 20 kg cuyo hilo es de 10 m, cuando el ángulo que forma el hilo con la vertical es
de θ = π 3 ( rad ) IV) La tensión T
r
del péndulo anterior si en ese instante su celeridad es de 2,0 m/s.
______________________________________________________________________
- OF Orbitas circulares. Dado un sistema gravitatorio aislado de dos partículas de masas muy diferentes, donde la ligera realiza un MCU alrededor de la pesada, a partir de la 2ª ley de Newton y la ley de gravitación universal obtenga las expresiones de sus variables cinemáticas, dinámicas y de sus energías en función de los parámetros del sistema y
del radio r 0. EB Aplicar a la obtención de la fuerza F , aceleración a , celeridad v, velocidad angular ω, periodo T,
v AR, L, energía mecánica E, cinética E K, cinética radial E KR, cinética transversal E K? y potencial U , en función de { G m M ,^ ,^^ >> m r , 0 }
- OF Orbitas radiales. Dados los parámetros de un sistema gravitatorio aislado de dos partículas de masas muy
diferentes (^) { G m M , , >> m }y unas CI radiales (^) { r = r e 0 · (^) R , v 0 (^) = v e 0 · R }
r r r r
, calcule L y E
r
, clasifique la orbita de la
ligera en función del signo de E , dibuje la gráfica de U r ( ) y calcule la máxima distancia rMAX entre ambas partículas.
EB Aplicar a GM = 1,0·10 (^2) ( m^3^ s^2 ) , m = 2,0 (^) ( kg (^) ) , r 0 =2,0 eR (^) ( m )
r r
si I) v 0 = 20 eR m / s
r r
II) v 0 = 10 eR m / s
r r
III) v 0 =5,0 eR m / s
r r
- OF Dado un sistema aislado de dos partículas de masas muy diferentes y la orbita de la ligera, liste las magnitudes mecánicas escalares y vectoriales que se conservan, y razone el signo de su energía E. EB Aplíquelo a I) un satélite artificial en orbita circular alrededor de la tierra II) Un cometa astronómico en orbita hiperbólica alrededor del Sol III) Un electrón en orbita elíptica alrededor del núcleo de un átomo IV) Un protón que es repelido orbita hiperbólica por un núcleo atómico pesado IV) Una masa que desliza por el suelo en orbita circular, ligada a un punto del suelo a través de un muelle rectilíneo.
- OF Elipses Dados los semiejes mayor y menor (^) { a , b } de una elipse, obtenga la distancia focal c , las distancias
{ rMAX^ , rMIN^ }máxima y mínima de su foco a sus vértices, su área y dibuje la elipse a escala en papel cuadriculado. Y
al revés. EB Aplicar a I) (^) { a = 6,0 cm , b = 3,0 cm }II) (^) { a = b = 6,0 cm }III) (^) { rMAX = 8,0 cm , rMIN =2,0 cm }
- OF Problema directo Dados los parámetros de un sistema gravitatorio de dos partículas de masas muy diferentes
{ G m M ,^ ,^ >>^ m }y las CI^ { r 0^ , v 0 }
r r
de la ligera, calcule L y E
r
, clasifique la orbita de la ligera (elíptica, parabólica
o hiperbólica) en función del signo de E , dibuje la gráfica de U EF ( ) r y calcule las distancias extremas
{ rMAX , rMIN }entre ambas partículas. EB Aplicar a (^) ( ) ( ) ( ) 2 3 2
GM = 1,0·10 m s , m = 2,0 kg , r 0 = 2,0 i m
r r
si
I) v 0 = 20 j m s /
r r
II) v 0 = 10 j m / s
r r
III) v 0 (^) = (^) ( 3,0 i +4,0 j (^) ) m / s
r^ r^ r
- OF Problema inverso Dados los parámetros del sistema (^) { G m M , , >> m }y los de la órbita de la ligera
{ rMAX^ , rMIN^ }, identifique el tipo de orbita y, aplicando los principios de conservación a los vértices de la orbita,
obtenga E y L. EB Aplicar a (^) { } 2 3 2
GM = 9,0·10 ( m s ), m =1,0 kg , rMIN = 3,0 m r , MAX =6,0 m
CAP. 4 - OSCILACIONES
4.1. – Oscilaciones libres sin amortiguar: MAS
- OF y EB Dado un oscilador libre masa muelle, listar sus parámetros, sus variables de estado, sus condiciones iniciales genéricas, y obtener la EDO de su desplazamiento a partir de la 2ª ley de Newton. EB Aplicarlo si m= 4, kg y k =1,0·10^4 N/m
- OF Dado un oscilador LC libre, listar sus parámetros, sus variables de estado, sus condiciones iniciales genéricas, y obtener la EDO de la carga eléctrica del condensador. EB Aplicarlo si L= 100 μH y C= 1,0 μF
3. OF Dado un complejo en forma binómica Z ˆ^ = Re( Z ˆ^ ) + j Im( Z ˆ), escribirlo en forma exponencial compleja
ˆ exp( )
Z = Z jϕZ y dibújelo en el plano complejo. Y al revés EB Aplicar a I)
Z ˆ^ = 4,0 j II) Z ˆ^ = −4,0 j
III) Z ˆ^ = ( 2 j )IV) Z ˆ^ = −5,0 V) Z ˆ^ = 3,0 + 4,0 j VI) Z ˆ^ = 4,0exp( jπ 3)VII) Z ˆ^ =4,0exp( jπ )
- OF Dados dos complejos calcule su cociente y su producto y dibuje en el plano complejo tanto los operandos
como el resultado. EB Aplicar a I) a ˆ = 3,0 + 3,0 j , b ˆ = 2,0 exp ( j π 2)II) a ˆ = 3,0 j , b ˆ =2,0 exp j ( π )
- OF Dada una función compleja del tiempo, calcule su derivada y su integral entre t= 0 y t. EB Aplicar a
I) 2 z t ˆ( ) = 2,0 t + j 4,0 t II) ˆ( ) z t = 2,0exp( j ( 4 π t + π 3 ))
- OF Dada una función armónica u ( t ) en forma senoidal positiva, pasarla a la forma cosenoidal positiva y al revés. EB Aplicarlo si u ( t ) es I) 4,0 cos(4,0p t +π/3) II) 2,0 sen(4,0p t −π/6)
______________________________________________________________________
- OFy EB Dado un oscilador, definir su constante de tiempo τ y su frecuencia natural ω 0 a través de los subsistemas { m,b } y { k,m }.
- OF Dados los parámetros { b, m , k } o { R , L, C } de un oscilador, calcular su constante de tiempo τ, su frecuencia natural ω 0 , y su factor de calidad Q. A partir de Q decir si oscila o no (oscilador subamortiguado o superamortiguado) EB I) m =1,0 kg, k= 25 N/m y b= 8,0 kg/s y eléctrico II) L= 100 μH, C =1,0 μF y R =100 Ω
- OF Dados los parámetros de un oscilador subamortiguado ( Q> 1/2), obtener los parámetros temporales {τ , ωF} de
su solución, sus dos frecuencias complejas ˆ s 1,2^ = − 1 ( 2 τ )± jωF y la expresión de sus dos soluciones complejas
x ˆ 1,2 ( ) t y de su solución real x ( t ) para unas CI genéricas. EB Aplicar cuando I) m =1,0kg, k= 25 N/m y b= 8,0 kg/s.
II) L= 100 μH, C =1,0 μF y R =1,0 Ω
- OF (Problema inverso al anterior). Dada la expresión analítica de una solución x ( t ) o q ( t ) de un oscilador subamortiguado y uno de sus parámetros { b, m , k } o { R , L, C }, obtener τ y ωF y los otros dos parámetros del oscilador EB Aplicar a I) b= 8,0 kg/s y x ( t )=2,0·exp(−4,0 t )·cos (30 t +π/3) II) R =1,0 Ω y q ( t )=2,0·exp(−2,0· 3 t )·cos (1,0· 5 t +π/4)
- OF Dada la gráfica x ( t ) o q ( t ) de la solución de un oscilador subamortiguado, dibuje su envolvente y obtenga gráficamente sus condiciones iniciales, la constante de tiempo τ mediante la tangente a la envolvente, y el periodo T F. Y al revés. EB I) Dibuje a mano alzada y sobre papel cuadriculado una gráfica armónico amortiguada de
x 0 = 5,0 mm v , 0 = 0,0 m / s , τ = 10 ms , TF = 5,0 ms con una escala horizontal de 1,0 ms/división y una escala
vertical de 1,0 mm/división
8. OF y EB Dada la expresión de la amplitud de una variable A t ( ) = A 0 exp( − t τ )en función del tiempo, obtenga
en función de Q , las expresiones rigurosas y aproximadas de: La amplitud al cabo de n ciclos, el decremento logarítmico δ por ciclo y el decaimiento de la amplitud por ciclo ∆ A / A ,
- OF Dados los valores de dos máximos consecutivos x MAX,1 y x MAX,2 de una variable x ( t ) de un oscilador, obtenga su δ, su ∆ A / A , y el decaimiento de la energía por ciclo ∆ E / E y haciendo uso de las aproximaciones convenientes,
calcule su factor de calidad Q. Compruebe que siQ >> 1 2 → ∆ E E ; 2 ∆ A A ; 2 δ EB Aplicarlo cuando
x MAX,1 = 10 mm y x MAX,2 vale I) 8,0 mm II) 2,0 mm III) 0,0 mm.
- OF (Problema inverso al anterior). Dado el Q de un oscilador subamortiguado, haciendo uso de las aproximaciones convenientes, calcule δ y ∆ A / A y ∆ E / E. EB Aplicar cuando Q vale I) 50 II) 10 III) 1,
- OF Dadas las CI y los parámetros de un oscilador subamortiguado de buena calidad ( Q>> 1/2), obtenga la energía inicial E 0 y la expresión aproximada de la energía en función del tiempo E ( t ) y calcule el decaimiento de energía por ciclo ∆ E / E EB Aplicarlo cuando x 0 =10 mm, v 0 =1,0 m/s , b= 0,50 kg/s, m =1,0 kg y k= 1,0·10^2 N/m
- OF y EB Dibuje una gráfica genérica con varios periodos de la solución x ( t ) de un oscilador subamortiguado y, a partir de ella, obtenga las graficas genéricas de ( ) ( )
2 2
U t ( ) = 1 2 kx , v t ( ) = dx dt , E K ( ) t = 1 2 mv y E t ( ) = U t ( ) + EK ( ) t.
4.3. -Oscilaciones forzadas. Impedancia (MAF-I)
- OF y EB Dado un oscilador mecánico o eléctrico excitado por un generador sinusoidal, listar sus seis parámetros (tres del oscilador libre y tres del generador), sus variables de estado (las que definen su energía) y sus condiciones iniciales.
- OF y EB Dados los seis parámetros de un oscilador mecánico subamortiguado forzado ( m, k, b, F G0, ω, ϕG0) escribir la EDO y la forma genérica de la solución general x ( t ), distinguiendo la parte que se extingue con el tiempo (régimen transitorio) de la que permanece (régimen permanente sinusoidal o RPS)
- OF y EB Dados los seis parámetros de un oscilador eléctrico subamortiguado forzado ( L, C, R, V G0, ω, ϕG0), escribir la EDO y la forma genérica de la solución general q ( t ), distinguiendo la parte que se extingue de la que permanece.
- OF y EB Definir los parámetros temporales de la solución (τ, ωF, ω 0 , ω y ωR)
- OF Dada la solución completa de la EDO de un oscilador subamortiguado forzado, obtener sus parámetros temporales (τ, ωF, ω 0 , ωR) EB Aplicar a x ( t )= 3,0exp(- 3.0 t )cos(100 t+ p/2)+4,0 cos(120 t+ p)
- OF Dados los tres parámetros de un oscilador subamortiguado ( m, k, b, ) o ( L, C, R ), y la frecuencia? del generador, obtenga los parámetros temporales de la solución (τ, ωF, ω, ω 0 y ωR) EB Aplique a I) m= 1,0 kg, k= 1,0· 2 N/m, b= 1,0 Kg/s y ω=9,5 rad/s , II) L= 100μH, C= 1,0 μF, R= 1,0O y? = 1,5· 4 rad/s
- OF Dada una función armónica, obtenga su fasor complejo y su amplitud compleja y dibújela en el plano
complejo. Y al revés. EB Aplicar a I) fG ( ) t = 10cos(4 π t + π 4) N II) v t ( ) = 5cos(4 π t − π 3) m s /
III) v ˆ^ G = 2,0exp( j (^) ( 5,0 t + π 6 )) V IV) i t ˆ( ) = 2,0exp( j (^) ( 5,0 t + π 6 )) A
8. OF Dadas las amplitudes complejas F^ ˆ G 0 de la fuerza f G ( t ), (o V^ ˆ G 0 de la tensión v G ( t ) del generador), y la V^ ˆ 0 de la
velocidad v ( t ), (o I^ ˆ 0 de la corriente i ( t ) de un circuito), dibújelas en el plano complejo y calcule su impedancia
______________________________________________________________________
compleja Z ˆ. Y al revés. EB I) F^ ˆ G^ 0 = 10exp( j π 3) N , V ˆ 0 =2,0exp( j π 6) m / s
II) V^ ˆ G^ (^) 0 = 10exp( j π 4) V , I ˆ (^) 0 = 20exp( j π 4) A III) Z^ ˆ^ = 3,0 + 4,0 j (^) ( kg / s (^) ) , F ˆ G (^) 0 =10exp( j π 3) N
IV) Z^ ˆ^ = 2,0 + 2,0 j Ω , I ˆ 0 =10exp( j π 4) mA
4.4. -Oscilaciones forzadas. Resonancia (MAF-II)
- OF Dados los tres parámetros del oscilador libre ( m, k, b, ) o ( L, C, R ), y la frecuencia ω del generador, calcule las impedancias complejas tanto de sus componentes mecánicos (o eléctricos), como la total del oscilador, y dibújelas en el plano complejo. EB Aplicarlo cuando I) m= 1,0 kg, k= 1,0·10^2 N/m, b= 1,0 Kg/s y ω=9,5 rad/s , II) L= 100μH, C= 1,0 μF, R= 1,0O y? = 1,5·10^4 rad/s
- OF Dados los parámetros del oscilador eléctrico forzado, calcular y dibujar en el plano complejo la amplitud
compleja de las tensiones en la resistencia V^ ˆ R 0 , bobina V^ ˆ L 0 y condensador V^ ˆ C 0 y dibujar las graficas temporales de
v G( t ), v R ( t ), v L ( t ) y v C ( t ). EB Aplicarlo si L= 100μH, C= 1,0 μF, R= 1,0O,? (^) R = 1,5, V G0= 10 V y f (^) G0=p/
3. OF y EB Definir las frecuencias características (frecuencias de resonancia ω 0 y de corte ω 1,2) de la banda de paso de
un oscilador
- OF Dados los tres parámetros de un oscilador libre subamortiguado ( m, k, b ) o ( L, C, R ), calcule las frecuencias características de su banda de paso EB Aplicar si I) m= 1,0 kg , k= 100 N/m y b= 1,0 kg/s II) L= 100 μH, C= 1,0 μF
y R= 1,0 Ω
- OF Dados los parámetros de un oscilador libre, calcule su impedancia compleja en las frecuencias características de la banda de paso y dibuje las gráficas, en función de la frecuencia, de su módulo Z (ω) y argumento ϕZ(ω). EB Aplicarlo a I) m= 1,0 kg , k= 100 N/m y b= 1,0 kg/s II) L= 100 μH, C= 1,0 μF y R= 1,0 O.
- OF Dados los parámetros de un oscilador forzado, calcule la amplitud V 0 de la velocidad (o I 0 de la corriente) en las
frecuencias características de la banda de paso y dibuje la curva de resonancia en velocidades V 0 ( ω ), (o en corrientes
I 0 ( ω )). Y el inverso. EB Aplicarlo a I) F G0=10N, m= 1,0 kg, k= 100 N/m y b= 1,0 kg/s II) V G0=10V, L= 100 μH,
C= 1,0 μF y R= 1,0 Ω III) F G0=10N, ω 0 =100 rad/s ∆ ω = 10 rad/s y V 0 (ω 0 )=20 m/s
- OF Dados los parámetros de un oscilador forzado en RPS, calcule los valores máximos y mínimos en el tiempo de sus dos tipos de energía (mecánica: E K, MAX y U (^) MAX o eléctrica: U B, MAX y U E, MAX) y dibuje la grafica E ( t ) de la energía en función del tiempo. EB Aplicarlo a I) F G0=10N, m= 1,0 kg, k= 100 N/m, b= 1,0 kg/s, ωR =1,25 II)
V G0=10V, L= 100 μH, C= 1,0 μF y R= 1,0 Ω , ωR =1,
- OF Aplicar a un oscilador la ecuación del balance de potencias. EB Si la potencia suministrada es de 10 W y la disipada es de 12,0 W, obtener la derivada temporal de la energía almacenada.
- OF Dada la impedancia compleja del oscilador y la amplitud del generador, calcule la potencia media < P > y la potencia máxima P MAX. EB Aplicar si Z = 3,0·10^2 + 4,0·10^2 j I) F G0=10 N II) V G0=10 V.
- OF Dados los parámetros del oscilador forzado, calcule la potencia media < P > en las frecuencias características de la banda de paso y dibuje la curva de resonancia en potencias < P (ω)>. Y al revés. EB Aplicar I) F G0=10 N, m= 1,0 kg, k= 1,0· 2
N/m y b= 1,0 kg/s II) V G0=10 V, L= 100 μH, C= 1,0 μF y R= 1,0 O III) F G0=10N, ω 0 = 100 rad/s, ∆ ω = 10
rad/s y < P (ω 0 )>=5,0 W
- OF Dados los parámetros del oscilador forzado, calcule los valores de la amplitud del desplazamiento X 0 , (o de la carga Q 0 en el condensador) a las frecuencias características de la banda de paso y a ω=0 y dibuje las curvas de resonancia X 0 (ω) (o Q 0 (ω)) EB Aplicar a I) F G0=10 N, m= 1,0 kg, k= 1,0·10^2 N/m y b= 1,0 kg/s II) V G0=10 V,
L= 100 μH, C= 1,0 μF y R= 1,0 Ω
CAP. 5 – DINÁMICA DE LOS SISTEMAS DE PARTÍCULAS
5.1.- Sistemas de partículas (SP)
- OF Dado un SP identificar si está aislado o no, identificar las fuerzas (gravitatorias, de rozamiento, normales, viscosas, motrices , tensiones de cables, …), clasificarlas en exteriores e interiores y decir si son conservativas. EB Aplicar al sistema I) formado por dos masas unidas por un muelle que caen, situadas en una misma vertical a diferentes alturas. II) de un coche a motor en movimiento III) de un ascensor con motor y contrapeso
- OF Dadas las masas m i , posiciones r i y cantidades de movimiento p i de un SP en el plano, dibujar un croquis de sus posiciones y calcular la energía cinética E KS, cantidad de movimiento P S, y momento cinético L S del SP, dibujando su dirección y sentido respecto al plano. EB Aplicar si m 1 = m 2 = 2,0 (kg), r 1 = 3,0 i (m) , r 2 = 4,0 j (m), p 1 =- 3,0 j Ns y p 2 = 4,0 i Ns
- OF Dadas las posiciones de las partículas y los parámetros (gravedad, rigidez, masas, cargas…) de las fuerzas conservativas interiores y exteriores, calcular la energía potencial exterior U EXT^ e interior U INT^. EB Aplicar a I) Un ascensor de masa m A situado a una altura h A conectado a un contrapeso de masa m C situado a una altura h C II) Dos masas m 1 y m 2 situadas en una misma vertical a unas alturas h 1 y h 2 y unidas por un muelle de rigidez k y de longitud en reposo L 0 (calculando su alargamiento h 1 - h 2 - L 0 )
______________________________________________________________________
5.5 Choques extremos
- OF y EB En un sistema de dos partículas que chocan, defina los casos extremos (elástico y completamente inelástico) a partir del trabajo de las fuerzas interiores y dibuje en cada caso las gráficas genéricas de la energía cinética instantánea E KS( t ) respecto al Lab y E’ KS( t ) respecto al CM.
- OF y EB En un sistema de dos partículas que chocan de forma elástica y completamente inelástica , dibuje el diagrama genérico de las cantidades de movimiento (iniciales y finales) desde el CM.
- OF Dadas la cantidad de movimiento inicial y la final de una de las partículas respecto al CM, dibujar el diagrama de cantidades de movimiento del choque desde el CM y clasificar el tipo de choque. EB Aplicar a p’1,I =10 i Ns en los casos I) p’1, F = 10 j Ns II) p’1,F = 5,0 j Ns III) p’1,F = 3,0 i +4,0 j Ns IV) p’1,F = 0 Ns
- OF Dados los parámetros m 1 y m 2 y las variables de estado iniciales desde el Lab de dos partículas que chocan de manera completamente inelástica , dibuje los diagramas de cantidades de movimiento desde el Lab y desde el CM, y las gráficas de E KS( t ) y E’ KS( t ) respecto al Lab y al CM. EB Aplicar a m 1 =3,0 kg, m 2 =6,0 kg, p 1,I= 30 i Ns , p 2, I = 10 i Ns
- OF Dadas las velocidades iniciales v’ 1,I y v’ 2,I respecto al CM de dos partículas que chocan elásticamente en 1D , obtenga sus velocidades finales v’ 1,F y v’ 2,F. EB Aplicar a v’ 1,I=3,0 i m/s y v’ 2,I=- 8,0 i m/s
CAP. 6 -TEORÍA CINÉTICA DE LOS GASES
- OF y EB Enumerar los parámetros y las variables de estado I) de una sola molécula monoatómica. II) de una muestra de gas
- OF Dada la masa del protón m P en gramos calcular el número de Avogadro N A EB Aplicar a m P =1,67·10−^24 g
- OF Dado el número N de moléculas de una muestra de materia, calcular su valor en moles n. Y al revés. EB Aplicar si a) N = 18·10^23 moléculas b) n= 10 moles.
- OF Dado el número másico Z de una molécula (numero de partículas del nucleo), la masa del protón, y su velocidad v de traslación (la de su CM), calcular su masa m y su energía cinética E K. EB Aplicar si Z= 32 y v= 340 m/s
- OF Dado el número másico Z de una molécula calcular el número de gramos por mol y el numero de kilogramos por mol (masa molecular M m o peso molecular P m ). Y al revés EB Aplicar si a) Z= 28 b) P m= 28kgr/kmol
- OF Dada la masa total M de una muestra de gas y su peso molecular P m calcular n. EB Aplicar a M= 96 gr y P m=32 g/mol
- OF Listar varias diferencias entre el modelo “gas ideal” y un gas real EB Aplicar a un gas I) monoatómico II) diatómico
- OF y EB Escribir la ley de los gases ideales usando tanto el número n de moles, como el número N de moléculas y obtener la relación entre la constante de Boltzmann k , el número N A de Avogadro y la constante universal de los gases R.
- OF Dada la presión P y la temperatura T de un gas, calcular la densidad molar n/V y la densidad de moléculas N/V . EB Aplicar a P= 1,0· 5 Pa y T= 300 K
- OF Dada la densidad de partículas N/V calcular la distancia media d entre dos partículas. Y al revés. EB Aplicar si I) N/V = 8,0· 21 part/m 3 II) d= 2,0 nm
- OF Dadas las velocidades vi y la masa m de cada molécula de un gas, calcular su velocidad promedio, su energía cinética promedio y su velocidad cuadrático media v RMS EB Aplicar a cuatro moléculas de masa m= 2,0·10−^26 kg de velocidades v 1 =100 i m/s, v 2 = − 100 i m/s , v 3 =300 j m/s y v 4 = − 300 j m/s
- OF Dada la temperatura T de un gas, calcular la energía cinética de traslación promedio por molécula. EB Aplicar a T= 300K.
- OF Dada la temperatura T de un gas y la masa m de una molécula o su masa molecular P (^) m, calcular la velocidad cuadrática media v RMS de traslación de sus moléculas. EB Aplicar a T= 300K y P m= 28g /mol
- OF y EB Dada un croquis de una molécula diatómica dibujar sus posibles ejes de rotación y listar sus ν=8 posibles grados de libertad y ν=5 que están activados a la temperatura ambiente.
- OF Dada la temperatura T de un gas (mono o diatómico), calcular su energía total por molécula U/N y por mol U/n. EB Aplicar a un gas a T= 300(K) I) monoatómico II) diatómico
CAP. 7 – TERMODINÁMICA
- OF Dado el estado inicial ( P I , V I ) y el final ( P F , V F ) en un proceso de una muestra de gas (mono o diatómico), calcular el incremento de energía interna ∆ U en el proceso. EB Aplicar a un gas, que evoluciona desde P I = 2,0·10^5 Pa y V I = 100litros, hasta P F = 4,0·10^5 Pa y V F = 150litros, I) monoatómico II) diatómico
- OF Dibujar la trayectoria en el plano PV y escribir su ecuación f( P,V )=0 para un proceso sencillo abierto. EB Aplicar si el proceso es I) Isóbaro de expansión II) Isotermo de contracción. III) Isocoro de calentamiento IV) Un proceso de4 expansión (^) ( ) 5
P 10 − V = 0
______________________________________________________________________
- OF Dados los estados inicial ( P I , V I ) y final ( P F , V F ) de un gas que realiza un proceso abierto y la ecuación de la trayectoria f( P,V )=0, calcular el trabajo W realizado con su signo. EB Aplicar a I) Una expansión de ecuación P ( V )= 1,0·10^5 V entre 2,0 y 3,0 litros II) Una contracción isobara a 2,0·10^5 Pa entre 40 y 30 m^3.
- OF Razona qué magnitudes de las que aparecen en la primera ley de la termodinámica no dependen de la trayectoria y porqué el calor es un trabajo y no una energía.
- OF Dada una muestra de gas monoatómico o diatómico, obtener su calor específico molar a volumen constante c V (proceso isocoro) y a presión constante c P (proceso isobaro) y calcular el calor absorbido Q por n moles de gas si sufre un incremento de temperatura ∆ T en un proceso isócoro o isóbaro EB Aplicar a n= 20 moles y ∆ T = 40 K I) si el gas es monoatómico y el proceso es isocoro II) si el gas es diatómico y el proceso es isobaro.
- OF Dada una muestra de n moles de gas que realiza un proceso isotermo a una temperatura T 0 desde un volumen inicial V I a uno final V F, escribir la ecuación f( P,V )=0 de la trayectoria, dibujarla en el plano de estados y calcular el trabajo W y el calor absorbido Q. EB Aplicarlo a una expansión de n= 20 moles a T 0 =300 K, desde 10 litros a 30 litros.
- OF Dada una muestra de n moles de gas monoatómico o diatómico que realiza un proceso adiabático, desde un volumen inicial V I a uno final V F, calcular el factor adiabático ?, escribir la ecuación f( P,V )=0 de la trayectoria, dibujarla en el plano de estados y calcular el trabajo W y el incremento de energía ∆ U EB Aplicar a un gas diatómico que se expande desde el estado P I = 2,0·105 (Pa) y V I = 20 litros hasta V F = 30 litros
- OF Dada la trayectoria f( P,V )=0 de un gas que realiza un proceso cerrado, calcular el trabajo W realizado con su signo y el calor Q absorbido. EB Aplicar a una trayectoria rectangular formada por dos procesos isocoros de volúmenes 150 y 200 litros, y dos isóbaros de presiones 2,0·10^5 Pa y 5,0·10^5 Pa recorrida en sentido I) horario II) antihorario.
CAP. 8 - ONDAS TRANSVERSALES.
8.1 Ecuación y funciones de onda
- OF y EB Dada una cuerda tensa donde se propagan ondas transversales, listar sus parámetros y las variables ondulatorias de cada elemento de cuerda.
- OF Dada una fotografía en el instante t 0 que representa el desplazamiento y ( x, t 0 ) de un pulso transversal genérico, acampanado y positivo que se mueve hacia la derecha por una cuerda tensa, obtener en un punto de la cuerda los signos de: La pendiente ∂ y/ ∂ x, velocidad transversal v y y fuerza transversal F y. EB Aplicar a un punto I) del flanco delantero b) flanco trasero III) de un máximo.
- OF Dada la tensión T 0 de una cuerda y la pendiente ∂ y/ ∂ x de un elemento de cuerda, obtener la fuerza transversal F Y y el vector fuerza F que hace la parte izquierda sobre la derecha. EB Aplicar si T 0 =100 N cuando I) ∂ y/ ∂ x = 0,0 II) ∂ y/ ∂ x = 3,0 · − 2
- OF Dados los dos parámetros mecánicos de una cuerda (tensión T 0 y densidad de masa μ), escribir la ecuación de ondas en derivadas parciales del desplazamiento transversal y , calcular la velocidad c de propagación y escribir la forma general de todas las soluciones (funciones de onda y ( x,t )). EB Aplicar a T 0 =100 (N) y μ= (gr/m)
- OF. Dada la aceleración transversal a Y = ∂^2 y/ ∂ t^2 de un elemento de cuerda y la velocidad de propagación c obtener su concavidad ∂^2 y/ ∂ x^2 y dibujar una foto del elemento de cuerda. EB Aplicar a a Y =- 4,0 (m/s^2 ) y c = 100 (m/s)
- OF. Dada la ecuación de ondas, determinar por sustitución si una función dada y ( x,t ), es una solución. EB Aplicar a 100·∂ 2 y/ ∂ x 2 = 4,0∂ 2 y/ ∂ t 2 , y a I) una onda armónica progresiva cos(2,0 x− 10 t ) II) una onda armónica regresiva 3,0·cos(4,0 x + 20 t ) III) una función (1,0 x + 5,0 t +p) 2
- OF Dada una función de onda y ( x−ct ) del desplazamiento , obtener las expresiones de una fotografía y ( x−ct 0 ) en t 0 y de un oscilograma y ( x 0 −ct ) en x 0. Y al revés. EB Aplicar a I) 3,0·cos(2,0 x + 10 t ) en x 0 =3,0 m II) 3,0·cos(2,0 x − 10 t ) en t 0 =3,0 m III) Si la fotografía del desplazamiento de una onda progresiva en t= 0 es y ( x )= 2,0 cos(2 x- p/4), obtener y ( x, t ) cuando c= 300 m/s.
- OF Dados la velocidad de propagación c de las ondas en una cuerda y la anchura espacial ∆ x de la fotografía de un pulso, calcular la duración ∆ t del oscilograma. Y al revés. EB Aplicar a c= 400 m/s cuando I) ∆ x= 2,0 m II) ∆ t= 2,0 ms
- OF Dados los dos parámetros mecánicos ( T 0 y μ) de una cuerda obtener sus dos parámetros ondulatorios ( Z y c ). Y al revés. EB Aplicar cuando I) T 0 =100 (N) y μ= 40 (gr/m) II) Z= 0,40 kg/s y c= 100 m/s
- OF Dada la Z y la F y aplicada por la izquierda sobre un elemento de cuerda en un instante dado, calcular su velocidad transversal v y Y al revés EB Aplicar a Z= 0,20 kg/s cuando I) F y=10 N II) v y=4,0 m/s
- OF Dados dos parámetros independientes de una cuerda y el valor de una var iable ondulatoria Φ ( F y, v y, o ∂ y/ ∂ x ), calcular las otras dos variables. EB Aplicar a T 0 =100 N y c =200 m/s si I) v y=4,0 m/s II) F y=20N y III) ∂ y/ ∂ x =0,
