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Asignatura: Física II, Profesor: , Carrera: Enginyeria de Sistemes de Telecomunicació, Universidad: UPC
Tipo: Exámenes
1 / 40
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Un anell prim de radi R està uniformement carregat amb una càrrega total Q positiva.
a) Troba el potencial elèctric V(x) en un punt qualsevol de l’eix de simetria de
l’anell, eix OX, considerant el centre de l’anell a l’origen de coordenades. Troba
el seu valor aproximat per a x<>R.
b) Troba el camp elèctric E(x) (mòdul, direcció i sentit) en un punt de l’eix de
simetria. Troba el seu valor aproximat per a x<>R.
c) Una carrega negativa –q de massa m es situa sobre l’eix de simetria de l’anell i
molt a prop del centre, a una distancia x 1 <>R fins l’origen de coordenades?
Indica el seu signe i justifica’l.
Dades Q,R
a)
2 2 2 x r ≡ x + R
r
∫ ∫
anell anell r
dq V x dV ( x ) k
r
dq V ∞ = ⇔ k =
dl
dq
dq dl
Per un fil rectilini indefinit hi circula un corrent d’intensitat I. Tenim una bobina de
gruix negligible, formada per N espires rectangulars de costats a, b i resistència elèctrica
R. La bobina inicialment està situada a una distància d del fil, tal i com es mostra a la
figura.
a) Aplicant raonadament la llei d’Ampère, trobeu el camp que crea el fil de corrent
en el “pla” de la bobina.
b) Calculeu el flux del camp magnètic en la bobina, en la posició del dibuix.
c) Si la bobina s’allunya del fil a velocitat v, calculeu la intensitat induïda que hi
circula, indicant-ne el sentit.
d) En la situació anterior, calculeu la força sobre cada costat de la bobina, situada
en la posició inicial, i la força total resultant. Serà atreta o repel·lida pel fil?
e) Calculeu el coeficient d’inducció mútua entre el fil i la
bobina quan aquesta es troba en la posició inicial.
Apliqueu el resultat per trobar la intensitat induïda en la
bobina si la intensitat de corrent en el fil és I(t) = A t
(on A>0) quan la bobina es manté fixa en la posició
inicial.
olució
a)
xB I
Bdl I
c
0
0
r r
x
x
0 = −
b)
d dr d+a
∫ ∫
d
N Ib d a
x
N Ib dx N d
dx x
Ib d BdS Bbdx
da
d
ln 2 2
0 0
0
π
μ
π
μ φ φ
π
μ φ
r r
d
N Ib a ln 1 2
0
π
μ φ
c) dt
d φ ε = − R
I (^) ind
ln 1 2
0
2 0
2 0
0
x x a
N Ib av
x
x a
x
ax
N Ib
x
a
x
ax
N Ib
dt
d
x
N Ib a
π
μ
π
μ
π
φ μ
π
μ φ
0
Rxx a
N Ibav I (^) ind
π
μ En sentit horari (^)
< ⇒ m B − k dt
d ind
r r r 0 // //
d)
dF Iinddl B
r r r = ×
0
Rd d a
N Ibav I (^) ind
0 k x
∫
d a
d
A A x
dx
Rd d a
I bav dx F N x
Rd d a
N Ibav dF 2 ( ) 2 2 ( )
2 0 0 0
j d
d a
Rd d a
I bav FA N ln ˆ 2 ( )
2 0
r r =−
i d a
b Rd d a
N Ibav FB ˆ 2 ( ) 2 ( )
0 0
Una carga Q está uniformemente repartida en el volumen de una esfera de radio R.
a) Obtener a partir del teorema de Gauss el campo en un punto del interior y del
exterior de esa esfera. (Expresarlo en función de la carga total Q de la esfera)
b) Calcular la energía de formación de esa distribución esférica. (Expresarlo en
función de la carga total Q de la esfera)
c) Obtener la expresión del potencial respecto al infinito en un punto del interior.
(Expresarlo en función de la carga total Q de la esfera)
Se considera un modelo de molécula de Hidrógeno al sistema formado por dos cargas
puntuales de carga +e colocadas simétricamente en el interior de una esfera de radio R,
que contiene una carga -2e uniformemente distribuida en todo el volumen de la misma.
Los puntos donde están las cargas puntuales están situados, como se indica en la figura
1, a distancia a del centro.
a)
∫
S
Eds 0
int ·
r r
= = cte
R
3
3
Per simetria:
2 E · ds E ( r ) r · dsr E ( r )· ds E ( r ) ds E ( r )· 4 r
Sesfèrica Sesfèrica Sesfèrica Sesfèrica
∫ ∫ ∫ ∫
r r ) )
¾ r ≥ R ⇒ Q int = Q
0
2 ( )· 4
E r r r r
E (^) e r
r )
2 (^40)
3
3
3 int 3
( ) r
R
R Q V r r π
π
r ≤ ⇒ =ρ =ρ π =
3 3 0
2 ( )· 4 r R
E r r
Qr E (^) i r
r )
3 (^40)
b)
( )
5 2 2
6
2
5
0
5
6
2
0
5
6
2 4 6
2
2 0
2 2
0
2 2 3 2
2 2 0 2 0 0
2 0 0
k R
k R
Qk
QV k
r R
QV k
r
r dr QV k R
r r dr R
U dv dv E dv E dv QV k
e e e e
r
e
R
R e
R i R e
R
R E r e
R esf r E
=
∞
∞ ∞
=
∞
=
∫
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
U (^) esf kc
2
c) R
kQ V R r
kQ r ≥ R → V ( r )= ⇒ ( )=
r
kQ rdr R
kQ r ≤ R → V r =− Er dr =− =− + ∫ ∫ 2
2
3 3
r r
E r r d r
r (^) ) r ( )// //
V continua
R
kQ C C
kQ
kQ V R 2
2
3
2 2 3 R r R
kQ V rr ≤ R = −
2
2
r
kQ V r r ≤ R = −
Una espira cuadrada, de lado a y resistencia R , se encuentra en el plano YZ, de tal
manera que, en un instante dado, la posición de la espira queda definida por la
coordenada z del lado inferior (que inicialmente supondremos positiva, ver figura).
Sobre la espira actúa un campo magnético B =A z i, siendo A una constante positiva.
a) Expresa en función de z, el flujo del campo magnético a través de la espira.
Representa gráficamente la dependencia.
b) Si la espira se está moviendo hacia abajo con una velocidad v =-v k , calcula la
corriente inducida y el vector momento bipolar magnético m asociado a esta
corriente.
c) Encuentra la expresión de la fuerza que ejercerá el campo magnético sobre cada
lado de la espira, y la fuerza total.
d) ¿Cómo cambiarán los resultados de los apartados b) y c) cuando la espira se
encuentre totalmente por debajo del eje Y?
e) Si la velocidad inicial de la espira es v 0 =- v 0 k, indica el tipo de movimiento que
describirá, si la única fuerza es la debida al campo B.
m i
Iind r
z
r
dS = adz
r
z > 0
B B zi Az i
A v Iind t
z
z
t
r r r mi // B → mi // i
a)
Aa a za
Aa z a z
z Aa BdS Azi adz i Aa zdz Aa
za
z
za
S z
za
espira z
2
3 2 2 2
2
r r r r
( 2 ) 2
(^1 ) φ = Aa a + z ( Tm^ )
2
b) (^) S Aav
t
B i i
2 · ⇒ = ∂
∂ ε =− ε
r
r
R
Av a R
I i ind
2 = =
ε ⇒
2 4 a R
Av m (^) i = Iinda =
I (^) inden sentit antihorari m (^) i i
r r ⇒ // ai R
Av mi
r r 4 =
c)
r
r
r
r
l 1
l 2
l 3
l 4
Av I a
r (^) ) B = Azi r r r Fi = Ili × B
3
2
1 1 a z k R
Av F Il j Azi IaAz k
r (^) ) ) ) ) = × = − = −
a z a k R
Av F Il j Az ai IaAz ak
r (^) ) ) ) ) ( ) ( ) ( ) ( )
3
2
3 = 3 − × + = + = +
a z j R
A v a az j a R
A v a
z a z j R
Av j a
z F F Idlk Azi IAzdzj IA
za
z
za
z
za
z
) )
r r ) ) ) ) )
2 2 3
2 2
2 2
2 2
2
2 4 2
ke = 9 · 10
9 (S.I.) μ 0 = 4π · 10
1.- Dues làmines conductores de gruix negligible i àrea A=1,0 m
2 estan separades una
distància 4d (d=1,0 mm), al mig s’hi troba una placa conductora sesnse càrrega , de
gruix d, situada a una distància d de la primera. La làmina de l’esquerra té una càrrega
Q 1 = 20 μC i la de la dreta una Q 2 = -10 μC.
a) Calculeu i representeu gràficament el
camp elèctric en funció de x, per a qualsevol
punt: x<0, 04d.
(Considereu les làmines com a plans
infinits).
b) Trobeu la distribució de càrrega a la
placa del mig.
c) Calculeu i representeu el potencial
elèctric, V(x). Agafeu com a origen de
potencial la làmina de l’esquerra.
(V(x=0)=0).
Si ara carreguem la placa conductora central amb una càrrega Q 3 =10 μC:
d) Repetiu els apartats a), b).
e) Trobeu la densitat d’energia entre x=0, x=4d en aquest últim cas.
σ 1 =
2 2 =^ < S
σ
σ 3 =
r
r E 3
r
r E 1
r
r E 4
r
r E 2
r
r
0 d 2 d 4 d
Q 3 − Q Q 3 − Q 3 Q 2 (^) + Q 3
a) E E 1 E 2 E 3 E 4
r r r r r = + + +
x < 0 ⇒ E = E 1 + E 2 →
r r r E i i ˆ
1 2
ε ε
r
0 < x < d ⇒ E i i ˆ
1 2
ε ε
r
E ( x )
x
d < x < 2 d ⇒ E = 0
r
2 d < x < 4 d ⇒ E i i ˆ
1 2
ε ε
r
x > 4 d ⇒ E i i ˆ
1 2
ε ε
r
b) E i ˆ (^2 )
1 1 ε
r E i ˆ (^2 )
2 2 ε
r ( ˆ) (^2 )
3 E 3 (^) = − i ε
r σ E 3 (^) E 4
En el conductor E = 0
r
3
0
2
0
1
ε
σ
ε
σ
ε
σ | σ 3 |= σ 1 +| σ 2 |= 30 μ C
c) V ( x = 0 )= 0
x < 0 ⇒ V x dx x
x
0 0 0
ε ε
∫
0 < x < d ⇒ V x dx x
x
0 0 0
ε ε
∫
V d d
0
ε
d < x < 2 d ⇒ V x V d d
0
ε
= =− V d d
0
ε
2 Q 3 (^) ' Q 3 '' Q 3 3 ' 3 '' 3 10 C m
n n
r r r r 0 2
3
0
3
0
2
0
1
n
n
1 2 3 2 3 10 2
| '| C m
n
μ
σ σ σ σ =
2
2
Repetir-ho
Nota: || A | −| B ||≤| A + B |≤| A |+| B |
Se construye un solenoide sobre un tubo, cuyo eje es el eje “x”, con una longitud L=
cm y de radio R 1 = 4,0 cm, formando un arrollamiento de N 1 = 400 vueltas, (a efectos
de cálculo puede suponer L >> R 1 ). Por el solenoide circula una corriente I 1 en el
sentido que llamaremos positivo: cuando vemos el solenoide desde la izquierda (x<0) el
sentido de giro es el antihorario.
a) Calcular, razonando cada paso y explicando las aproximaciones que realiza, el campo
magnético B en el interior del solenoide.
En el interior del solenoide, en su parte central, se coloca una pequeña bobina formada
por N 2 = 50 espiras circulares de radio R 2 = 1,0 cm y con su eje coincidente con el eje
del solenoide. Puede considerarse que las espiras están todas ellas unas sobre otras, de
forma que la bobina tiene una longitud despreciable. Esta bobina está conectada a un
circuito exterior, con una resistencia total r = 5,0 Ω.
b) Calcular el flujo de campo magnético φB creado en esta segunda bobina debido al
solenoide. Obtener el coeficiente de inducción mutua M 12 del solenoide sobre la bobina.
A partir de ahora, por el solenoide se hace circular una corriente alterna: I 1 = I 0 cos(ωt),
siendo I 0 = 100 mA y ω = 5000 rad/s.
c) Calcular la f.e.m. inducida εind(t) en la bobina.
d) Calcular la corriente inducida iind en la bobina indicando su sentido, tanto cuando la
corriente I 1 crece como cuando decrece. Obtener los valores máximos de iind.
Representar en función de t, tanto la corriente I 1 como la corriente inducida iind , a lo
largo de un periodo.
e) La f.e.m. generada en la bobina está creada por un campo eléctrico no conservativo
debido al campo magnético variable del solenoide. Calcular dicho campo eléctrico Eind,
razonar sobre su dirección y sentido, y obtener su dependencia con la distancia ρ al eje
del solenoide.
r
a
y
x
a) B =? L >> R 1
∫ 1
1 · 0 aI L
r r
1
1 0 aI L
b)
r
y
x
r
r = 5 Ω
BdS BN S
S
B =^ ∫ ·^ = 1 2
r r
r (^) ) r B 1 (^) = B 1 (− i ) i S S ( i )
1
2 2 2
1 21 0 N R I L
1
21 21 I
2
1 2 21 0 R L
c) I (^) 1 = I 0 cos wt
dt
B ( t^ ) 0 cos
2 2
1 2
R wI mwt mwt L
t = 0 ∆ = 0 ∆
2 2
1 2
wI mwt L
t = 0 ∆
1 2
wI mwt L
wI mwt L
E t = ∆ = 0 ∆
1 0 0
1 2 0 2
R wI mwt L
t = 0 ∆
2 1
1
mwt R wI L
R wI mwt L
E t
2 1
1 0 0
2 1
1 0 2
Una lámina conductora se coloca en el plano z=0 conectada a un potencial V= 0V,
siendo éste el potencial del infinito. Frente a la lámina conductora en el punto (0,0,a),
siendo a mucho menor que cualquiera de las dimensiones de la lámina (que se puede
considerar infinita), se coloca una carga puntual Q. Se puede demostrar que el potencial
electrostático que crea este sistema en cualquier punto con z>0 es el mismo que se
tendría si sustituyésemos la lámina conductora por una carga de valor –Q. (carga
imagen), situada en el punto (0,0,-a).
a) Exprese el potencial que crearía la carga Q y su imagen en un punto genérico de
coordenadas (x,y,z).
b) Compruebe que el potencial y el campo eléctrico que crearía este sistema de dos
cargas, cumplen las propiedades que deberían tener en la superficie de la lámina
conductora en z=0.
Aplicando la equivalencia entre las dos distribuciones:
c) Exprese la energía de formación del sistema lámina-carga.
d) Deduzca la expresión del campo eléctrico que crearía el sistema lámina- carga
puntual en z=0.
e) Exprese la densidad de carga superficial en función de las coordenadas (x,y) del
plano z=0.
f) Demuestre que la carga total de la lámina es –Q.
Ayuda para obtener la carga total de la lámina: note que la densidad de carga sólo
depende de la distancia ρ al eje Z (donde ρ=(x
2
2 )
1/ ).
a)
a
