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Apuntes sobre el MAS T
4.1 Oscilaciones libres sin amortiguamiento: MAS
Índice 4.1.1 Tipos de osciladores 4.1.2 EDO del sistema masa muelle 4.1.3 Solución: Movimiento armónico simple 4.1.4 Representación exponencial compleja de un MAS 4.1.5 Retardo y desfase entre dos MAS 4.1.6 Velocidad y aceleración 4.1.7 Energías: Valores instantáneos y medios 4.1.8 Pequeñas oscilaciones en un pozo no parabólico 4.1.9 Analogía electromecánica: Oscilador LC
4.1.1 Tipos de osciladores
Osciladores mecánicos Si se aplica un impulso mecánico (una perturbación) sobre un trozo de materia , (mesa, pared, aire dentro de una trompeta, etc), el trozo de materia vibra, debido a que todo objeto material, además de sus propiedades inerciales (su masa) tiene propiedades elásticas. Por ello todos los objetos son osciladores mecánicos. Algunos osciladores mecánicos (un péndulo, una varilla metálica flexible, una cuerda de guitarra, el aire de una flauta, la membrana de un tambor, etc) están formados por un ingente número de moléculas y se denominan macroscópicos , y otros están formados por una pocas moléculas o átomos, y se denominan microscópicos. Las vibraciones de los macroscópicos se amortiguan debido a los rozamientos con otros cuerpos del entorno (sólidos o fluidos) con los que están en contacto (por ejemplo, la fricción viscosa de un tambor con el aire), pero las de las moléculas no se amortiguan si están aisladas. Los osciladores mecánicos (por ejemplo, una varilla o la membrana de un tambor o el aire de una trompeta) tienen la masa y la elasticidad distribuidas en una línea, superficie o volumen respectivamente y se llaman distribuidos. Pero si por simplicidad se asume que su masa y elasticidad están concentrados en un punto (por ejemplo un sistema formado por una masa puntual y un muelle sin masa), se denominan osciladores concentrados.
Osciladores eléctricos Análogamente, las corrientes y tensiones de los circuitos eléctricos sin generadores de tensión (libres) formados por condensadores y bobinas, también oscilan, y se denomina osciladores LC. Su oscilación se puede entender debido a que las capacidades funcionan como elasticidad mecánica, y las autoinducciones como inercias. En la oscilación de los circuitos LC se transfiere la energía eléctrica de los condensadores a la magnética de las bobinas y al revés. Pero este proceso, los “rozamientos” de los electrones con los hilos metálicos de conexión (resistencias parásitas), calientan los metales y la energía total almacenada irá disminuyendo (efecto Joule), por lo cual las vibraciones de corrientes y tensiones se amortiguan. Por eso todos los circuitos libre reales dotados de condensadores y bobinas son osciladores amortiguados debido a las resistencias parásitas
A pesar de que los osciladores macroscópicos mecánicos son distribuidos y amortiguados y los eléctricos son amortiguados conviene estudiar en primer lugar los concentrados y sin amortiguar, ya que su análisis es más sencillo.
4.1.2 EDO del sistema masa muelle
El oscilador mecánico más sencillo que produce un movimiento periódico es el constituido por un bloque de masa m colocado sobre una superficie horizontal sin rozamientos, que está conectado a la pared por un muelle. El muelle, cuando no está sometido a fuerzas, tiene una longitud natural L 0 , que determina una posición de equilibrio donde colocamos el origen de coordenadas x= 0. Si desde la posición de equilibrio, la masa se desplaza una longitud x , el muelle se deforma (estira o comprime o elonga) también una longitud x , y ejerce sobre el bloque una fuerza F restauradora que acelera la masa hacia su posición de equilibrio. Si la elasticidad del muelle es lineal (la fuerza es proporcional a x ), puede escribirse (ley de Hooke): F x kx i v r ( )=−·
Física I
donde la constante de proporcionalidad k (N/m) se denomina rigidez o constante elá stica del muelle, y el signo menos se debe a que el vector fuerza es de sentido opuesto al desplazamiento r = x i. En el caso en que la posición de equilibrio estuviera en x = x 0, el alargamiento sería ( x−x 0 ) y la expresión de la fuerza sería: F x k x x i
r (^) r ( )=− ·( − 0 ) En el sistema masa muelle, igual que en cualquier sistema, hay dos tipos de problemas:
Problema directo Se resuelve aplicando la segunda ley de Newton: ∑ F^ =^ ma^^ ,^ Felastica^ =^ ma^ ,^ −^ kx i^ =^ ma i^ , −^ kx i^ = m d x dt^ (^2^^2 ) i
r (^) r r (^) r r (^) v r v
Es decir: m d x dt ( 2 2^ )+ kx =0 (1) que, dividiendo por la masa m, también se puede escribir como: (^) ( d x dt^2^2 ) + (^) ( k m x ) =0 (2) Teniendo en cuenta que: 2 2 1 1 0 0
d x dt derivadadesegundoorden dx dt d x dt derivadadeprimerorden x d x dt derivadadeordencero
=
: : :
las ecuaciones (1,2) dicen que una combinación lineal de las derivadas de x respecto al tiempo, es nula y constituye un ejemplo de ecuación diferencial ordinaria (EDO). (Recordar que la EDO del sistema masa amortiguador era m dv dt ( (^) ) + bv = 0 ). En el sistema masa muelle :
- los parámetros de la EDO son k y m,
- En un instante t dado, el estado del oscilador viene determinado por los valores de las variables posición x , y velocidad v. Por tanto, las variables de estado del sistema son x, (que determina la energía potencial U del muelle) y v (que determina la energía cinética E K).
- Las soluciones de la EDO son las funciones x ( t ) que la satisfacen. Hay tantas soluciones como condiciones iniciales (o condiciones en t = 0) que puede tener el sistema. El objetivo es obtener aquella solución x ( t ) que satisface unas ciertas CI de lanzamiento: la posición x (0) y la velocidad v (0).
Esta EDO:
- es de tipo lineal ya que las derivadas de x están elevadas a la unidad. Si por ejemplo, presentara un término de la forma (^) ( d x dt^2 2^ )^2 o x^2 ya no sería de tipo lineal
- Es de orden N= 2, ya que la derivada de mayor orden es la segunda.
- Es de parámetros o coefic ientes constantes (ya que podrían depender del tiempo).
- Es homogénea, ya que todos los términos dependen de las derivadas de x. Si el segundo miembro fuera una función dependiente explícitamente del tiempo, por ejemplo 2,0 + 3,0 sen ( 4 , 0 ) t la EDO no sería no homogénea.
Problema directo : Dadas las condiciones iniciales x(t=0) y v(t=0) y los parámetros k y m de un oscilador masa muelle, obtener la ecuación de su movimiento x(t). { k m x ,^ ,^0^ , v 0^ } → x t ( ) Problema inverso: Dadas la ecuación del movimiento x(t), obtener las condiciones iniciales x(t=0) y v(t=0) y los parámetros k y m x t ( ) →{ k m x , , 0 (^) , v 0 }
Física I
( ) exp exp · ( ) ( ) · · · ( ) ( )
dx t dt d A st dt As st s x t d x t dt d s x dt sdx dt s s x t s x t
Aplicando estas derivadas a la EDO ( d x dt^2^2 ) + ( k m x ) = 0 , queda
s x t^2 ( ) + ( k m s x t ) · ( ) = 0 → s^2 + ( k m s x t ) ( ) = 0
Donde la solución x ( t ) = 0 es trivial, por lo que las frecuencias complejas s deben cumplir:
s^2^ + ( k m )= 0 que es una ecuación de 2º grado que tiene dos raíces diferentes s 1, 2 , que son
imaginarias puras de diferente signo. Escribiendo los complejos bien con letra negrita o bien con acento circunflejo y llamado j ≡ − 1 a la unidad imaginaria , las dos frecuencias complejas s 1,2 en función de los parámetros del oscilador quedan:
s ˆ1,2 = ± − ( k m ) = ± ( − 1 ) ( k m ) = ± j ( k m )
Al módulo de su parte imaginaria se le llama frecuencia natural del oscilador ω 0 , y veremos que es la frecuencia de oscilación del sistema masa muelle en ausencia de amortiguamientos: ω 0 (^) ≡ k m , s 1,2 (^) ≡ ± jω 0
Soluciones exponenciales complejas de la EDO Como s ˆ es complejo, las soluciones de la EDO serán complejas, x 1 (^) ( ) t = A 1 (^) exp( s t 1 ) = A 1 (^) exp( j ω (^) 0 t ) , x 2 (^) ( ) t = A 2 (^) exp( s t 2 ) = A 2 (^) exp( − j ω 0 t )
) )^ ) )^ ) )^ ) )
y sus coeficientes A^ ˆ 1 (^) , A ˆ 2 serán en general constantes complejas (de momento desconocidas), que se pueden expresar (usando la expresión de Euler) en forma modulo argumental, como A^ ˆ 1 (^) = A 1 (^) exp( j ϕ 1 ) , A ˆ 2 (^) = A 2 (^) exp( jϕ 2 ) y la solución general será compleja x ) ( t )= x ) 1 ( t )+ x ) 2 ( t )= A ) 1 exp( jω (^) 0 t )+ A ) 2 exp(− jω 0 t )
0 1,2 1 2 1 1 2 2
ˆ 2 / ( ) exp(2 ) exp( 2 ) ( ) exp( )exp(2 ) exp( )exp( 2 )
s i k N m y m kg k m rad s s j rad s x t A jt A jt x t A j jt A j jt
ω
ϕ ϕ
)^ )^ )
De todo el conjunto de soluciones complejas obtenidas para diversos valores de A 1 (^) , ϕ (^) 1 , A 2 , ϕ (^) 2 , el objetivo es encontrar las soluciones físicas, es decir, que sean descritas con números reale s. La condición necesaria para ello es que x^ ) 1^ ( ) t y x ) 2^ ( ) t sean complejos conjugados en todo instante x^ ) 2^ ( ) t = x ) 1 *^ ( ) t , con lo cual su suma será real x t ( ) = x^ ) 1 (^) ( ) t + x ) 2^ ( ) t = x ) 1^ ( ) t + x ) 1 *^ ( ) t =2Re( x ) 1^ ( )) t (una función real del tiempo igual al doble de la parte real de cada uno de ellos). Entonces:
[ ]
[ ] [ ]
[ ]
1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1
( ) 2Re exp( ) 2Re exp( ) xp( ) ( ) 2 Re xp( ) 2 Re xp( ) ( ) 2 Re xp( ) 2 cos( )
x t A j t A j e j t x t A e j t j A e t j x t A e t j A t
ω ϕ ω ω ϕ ω ϕ ω ϕ ω ϕ
= ^ =
Obsérvese que la solución real, al ser armónica, contradice la afirmación inicial de que las soluciones de las EDO’s lineales son exponenciales. Pero esta contradicción es solo aparente ya que, de la ley de Euler se desprende que una función armónica es una combinación lineal de funciones exponenciales complejas. Efectivamente:
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
exp( ) cos( ) sin( ) , exp( ) cos( ) sin( ) cos( ) 1 2 exp( ) exp( ) , sin( ) 1 2 exp( ) exp( )
j t t j t j t t j t t j t j t t j j t j t
ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω
Apuntes sobre el MAS T
Por conveniencia, se renombra A ≡ X (^) 0 y ϕ 1 (^) ≡ ϕ 0 , y con la nueva nomenclatura, la solución x ( t ) se puede escribir: x t ( ) = X (^) 0 cos( ω 0 (^) t + ϕ 0 )
Donde X 0 es el valor máximo de x ( t ) y se denomina amplitud del desplazamiento (que frecuentemente otros autores denominan como A ).
La fase Al argumento de la función armónica se le denomina fase ϕ^ =^ ω 0^ t +^ ϕ 0 , que no es más que el tiempo expresado en radianes de tal manera que cuando transcurre un periodo, la fase cambia 2 π. (Ver figura) La fase en t= 0 o fase inicial ϕ ( t = 0)= ϕ 0. La velocidad de la fase cumple d ϕ dt = ω 0. La masa, en su oscilación, repite su estado (posición x y velocidad v ) cada ∆ ϕ = 2 π radianes que corresponden a un intervalo de tiempo: 2 π = ∆ ( ω (^) 0 t + ϕ 0 (^) ) = ω 0 (^) ∆ → ∆ = t t 2 π ω 0 que es el llamado periodo natural ∆ = t T 0 cuya expresión en función de los parámetros del oscilador será T 0 (^) = 2 π ω 0 = 2 π k m = 2 π m / k y la frecuencia natural f 0 medida en periodos o ciclos por segundo, o en hercios (Hz) cumplirán
f (^) 0 = 1 T 0 (^) = ω 0 2 π = k m 2 π
Recordando que una función z u ( + u 0 )es la misma función z u ( ) adelantada u 0 , y que su gráfica es la de z u ( ) desplazada u 0 hacia la izquierda, se deduce que la función x t ( ) = X (^) 0 cos( ω 0 (^) t + ϕ 0 ) es la función X (^) 0 cos( ω 0 t ) adelantada (desplazada hacia la izquierda) ϕ 0 radianes. Por tanto, el máximo X 0 de x t ( ) se alcanza en ϕ = − ϕ 0 y ϕ 0 es el adelanto angular (en radianes) de x ( t ) respecto de la función coseno.
La fase también se puede escribir: ( (^ ))
( ( ))
(^0 0 0 0 ) (^0 0 ) 0 0 0
cos ( ) cos
t t t adelantorespectodel eno x t X t t
ϕ ω ϕ ω ϕ ω ϕ ω ω
De donde se deduce que x t ( ) = X (^) 0 cos ( ω 0 ( t + t 0 ))es la función X (^) 0 cos( ω (^) 0 t ) adelantada (desplazada hacia la izquierda) t 0 segundos. Por tanto, el máximo de x t ( ) se alcanza en t = − t 0 (^) = − ϕ 0 (^) ω 0 , y t 0 es el adelanto temporal de x ( t ) respecto de la función coseno.
Velocidad en el MAS La velocidad del sistema masa muelle, es también armónica y se puede escribir de diferentes maneras:
( )
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
( ) sin( ) cos / 2 sin ( ) cos( /2)
/ 2
v t dx dt X t v t V t V X amplitud delavelocidad t fasedelavelocidad
ω ω ϕ α π α ω ϕ π ω ω ϕ π
Determinación numérica de la amplitud y fase inicial
Apuntes sobre el MAS T
De la misma manera que a todo MAS se le puede asociar un vector rotatorio r t^ r^ ( ), también se le puede asociar un complejo rotatorio u t^ )( )^ cuya expresión analítica es una función exponencial imaginaria del tiempo, de la siguiente manera:
Es fácil ver que la exponencial imaginaria u t ˆ( ) es un complejo rotatorio Desarrollando mediante la expresión de Euler exp( j ϕ ) = cos( ϕ ) + j sin( ϕ ) el extremo de u t ˆ( ) en el plano complejo Re( ) ,Im( ) u ˆ^ u ˆ describe a lo largo del tiempo un movimiento circular uniforme de radio constante U 0 en sentido positivo (antihorario) de frecuencia ω y ángulo inicial ϕ (^) 0 U : ( )
( ) ( )
0 0 0 0 0 0
( ) cos( ) sin( ) ( ) mod tan ( ) arg ( ) ( ) arg ( 0) ( ) tan ( ) ( ) Re
U U
U U
u t U t j t U u t ulocons t e d e u t t u t angulodeu t conelejereal u t anguloinicial deu t conelejereal d dt velocidad angular cons t e d e u t u t
ω ϕ ω ϕ
ϕ ω ϕ ϕ ω ϕ
[ u t )( )]
Por ejemplo , al desplazamiento real (físico) x ( t ) de un oscilador masa muelle se le asocia un desplazamie nto complejo x t ˆ( ) que gira con veloc idad angular? 0 y ángulo ϕ = ωt + ϕ 0 U en el plano complejo Re( ) ,Im( )ˆ x^ x ˆ
x t ( ) = X (^) 0 cos( ω 0 (^) t + ϕ (^) 0 X ) ↔ x t^ )( ) = X (^) 0 exp( ( j ω 0 (^) t + ϕ 0 X ))
Por ejemplo: x t ( ) = 3cos(5 t + π /4) ↔ x t^ )( )^ = 3exp( (5 j t + π /4)) =3exp( j π /4)exp( 5 ) j t. Y la posición real x de la masa, vendrá dadas por la parte real de x t^ )( )
Fasores La función exponencial imaginaria u t ˆ( ) asociada a un MAS se puede escribir en forma más compacta usando su valor inicial u t ˆ( = 0)también llamado amplitud compleja o fasor inicial U^ ˆ 0 : U^ ˆ^ (^) 0 ≡ u t ˆ( = 0) = U 0 (^) exp j ( ϕ (^) 0 U ) → u t ( ) = U ˆ (^) 0 exp( j ωt )
donde U^ ˆ (^) 0 se llama fasor porque lleva la información de la fase inicial del MAS. Por ejemplo
0 0 0
( ) 3cos(5 /4) ( ) 3exp( (5 /4)) 3exp( /4)exp( 5 ) ˆ (^) ˆ( 0) exp ( ) 3exp( /4)
x t t x t j t j j t X x t X j j
π π π ϕ π
Algunas de las ventajas de las funciones exponenciales complejas u t ˆ( ) y sus fasores iniciales U^ ˆ (^) 0 frente a las funciones armónicas son:
- Su escritura es más sencilla porque no aparecen términos en seno y coseno
- permiten visualizar las fases temporales del MAS como ángulos en el plano complejo.
“A toda función armónica del tiempo u t ( ) = U 0 (^) cos( ω t + ϕ 0 U )de amplitud U 0 y de fase ϕ = ω 0 (^) t + ϕ 0 U , se le asociar de forma unívoca una función exponencial imaginaria u t^ )^ ( ) = U (^) 0 exp( ( j ω t + ϕ 0 U )) cuyo módulo es la amplitud U 0 y cuyo exponente es j ϕ = j ( ω 0 (^) t + ϕ 0 U )” u t ( ) = U (^) 0 cos( ω t + ϕ 0 (^) U ) ↔ u t^ )( ) = U (^) 0 exp( ( j ωt + ϕ 0 U ))
Física I
- Como los complejos son vectores, las funciones complejas se pueden sumar gráficamente u^ ˆ 1 (^) ( ) t + u ˆ 2 ( ) t aplicando la regla del paralelogramo
- Sus derivadas e integrales son más sencillas que las de las funciones armónicas, ya que se obtienen multiplicando o dividiendo la función original u t ˆ( ) por jω y no aparecen términos en seno y cosenos.
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0 0 2 2 2
0 0
ˆ( ) ˆ exp( ) ˆ ˆ exp( ) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ (^) ( ) ˆ^ exp( ) ˆ exp( ) ˆ
u t U j t du dt j U j t j u d u dt d dt du dt j j u j u u t dt U j t dt U j t j u j
ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω
∫ =^ ∫ =^ =
4.1.5 Adelanto y desfase entre dos MAS
Los complejos rotatorios son muy útiles para visualizar funciones armónicas desfasadas. Consideremos dos funciones armónicas x 1 ( t ) y x 2 ( t ) de la misma frecuencia? 0 con distintas amplitudes X (^) 01 , X (^) 02 , fases iniciales ϕ 01 (^) , ϕ (^) 02 o adelantos temporales t 01 (^) , t 02 respecto del coseno.
Se definen los desfases δϕ (^) 21 y adelantos δ t 21 de x 2 ( t ) respecto de x 1 ( t ), como δϕ (^) 21 ≡ ϕ (^) 02 − ϕ (^) 01 , δt (^) 21 ≡ t (^) 02 − t 01
donde el desfase debe ser menor que 2p y el adelanto debe ser menor que el periodo T 0_._ Y si el adelanto es negativo, se denomina retardo. Como la fase ϕ es proporcional al tiempo t , el desfase δϕ es proporcional al adelanto δ t :
ϕ = ω 0 (^) t + ϕ 0 (^) → δϕ = δ ( ω 0 (^) t + ϕ 0 (^) ) = ω δ 0 t → δϕ (^) 21 = ω δ 0 · t 21 (^) =( 2 π T 0 (^) ) δt 21
Por ejemplo, si T 0 (^) = 10 s , δ t = 2,0 s → δϕ = ω δ 0 · t = 4 π 10 rad En la figura anterior se han representado las gráficas instantáneas (en función del tiempo) de dos desplazamientos armónicos, así como una foto de los complejos rotatorios asociados, donde se visualiza el desfase entre ambos como un ángulo. En la grafica en función del tiempo, se observa que x 2 ( t ) está adelantada a x 1 ( t ) ya que el máximo de x 2 ( t ) ocurre antes que el de x 1 ( t ). Y en la grafica con los complejos rotatorios se observa no solo que x 2 ( t ) está adelantada a x 1 ( t ) sino también el ángulo δϕ 21 (^) ≡ ϕ (^) 02 − ϕ 01 del desfase. Respecto del desfase δϕ entre dos MAS, hay tres casos especiales. Cuando δϕ = 0 , se dice que están en fase; cuando δϕ = π 2 , se dice que están en cuadratura (ya que los dos fasores son perpendiculares), y cuando δϕ = π se dice que están en oposición o en contratase (ya que los dos fasores son opuestos). En la figura posterior se han representado las gráficas temporales y los fasores de estos tres casos especiales.
1 01 0 01 01 0 01 01 01 0 2 02 0 02 02 0 02 02 01 0
( ) cos( ) cos( ( )) ( ) cos( ) cos( ( ))
x t X t X t t t x t X t X t t t
ω ϕ ω ϕ ω ω ϕ ω ϕ ω
Física I
0 0 0 0 0 0 02 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
V X B V X F kX
V X B V F V k k k m km
ω ω ω ω ω
Donde las amplitudes V 0 de la velocidad , B 0 de la aceleración y F 0 de la fuerza cumplen:
En la figura se han representado las graficas de x ( t ), v ( t ), y a ( t ). En ellas se observa que a ( t ) está adelantada π/2 de v ( t ) y que v ( t ) está adelantada π/2 de x ( t )
Coeficiente de rozamiento viscoso equivalente En el sistema masa muelle no hay fuerzas viscosas que amortigüen el movimiento, pero la amplitud de la fuerza elástica F 0 es proporcional a la amplitud de la velocidad V 0. Recordando que las fuerzas viscosas F VISC son proporcionales a la velocidad v a través del coeficiente de rozamiento viscoso b, FVISC = − bv , a la relación entre la amplitud F 0 de la fuerza elástica y la amplitud V 0 de la velocidad en el sistema masa muelle se denomina “coeficiente de rozamiento viscoso b 0 equivalente del oscilador masa muelle”, (aunque evidentemente el oscilador masa muelle no tiene viscosidad). b 0 no depende de las condiciones iniciales y solo depende de los parámetros k y m según la relación: 0 0 0 0 0 0 0
b F V kX V k k k m b km
= = = ω =
A cada pareja de parámetros k y m le corresponden una sola pareja de valores de ω 0 y b 0
{ k m ,^ }^ →^ { ω 0 =^ k m^ , b 0^ = km }
{ k^ =^ 4·10^4 (^ N^ /^ m )^ ,^ m^ =^ 4,0^ kg^ } →^ { ω 0 =^ k m^ =^100 rad^ /^ s^ ,^ b 0^ =^ km^ =^400 kg^ / s }
Complejos rotatorios y fasores de la posición, velocidad y aceleración Los complejos rotatorios x t ˆ^ ( ) , v t ˆ^ ( ) , a t ˆ( ) y fasores X^ ˆ^ (^) 0 , V ˆ^0 (^) , B ˆ 0 asociados las variables x , v , a de un MAS son:
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 (^2 0 0 20 0 0 0 )
( ) cos( ) ( ) exp( ( )) ˆ exp( ) ( ) cos( ) ( ) exp( ( 2)) ˆ exp( 2) 2 ( ) cos( ) ( ) exp( ( )) ˆ exp( )
X X X X X X X X X
x t X t x t X j t X X j v t X t v t X j t V V j a t X t a t X j t B B j
ω ϕ ω ϕ ϕ ω ω ϕ π ω ω ϕ π ϕ π ω ω ϕ π ω ω ϕ π ϕ π
Apuntes sobre el MAS T
En la figura se muestran los tres fasores X^ ˆ^ (^) 0 , V ˆ^0 (^) , B ˆ 0 , que permiten visualizar qué parejas de variables están en cuadratura y cuales están en contrafase, así como qué variables están adelantadas respecto a otras. Los tres fasores forman una “T” que gira con frecuencia? en el plano comple jo.
Por supuesto, la x, v y a del punto material que realiza el movimiento armónico simple, vendrán dadas por las partes reales de x t ˆ ( ) , v t ˆ( ) , a t ˆ( ) respectivamente, que se mueven sobre el eje real a medida que la “T” gira
x ( t )=Re [ x ˆ( t )] v ( t )=Re[ v ˆ( t )] a ( t )=Re[ a ˆ( t )]
4.1.7 Energías: Valores instantáneos y medios
Si la posición de equilibrio es x = x S , la expresión de la fuerza será F x ( ) = − k x ( − xS )y si en dicha posición el potencial vale, U x ( (^) S ), la energía potencial U ( x ) cumplirá
( ) ( ) (^) S ( ) (^) S ( ) ( 1 2) ( )^2 x x U x − U x = xS = − (^) ∫ x (^) F x dx = (^) ∫ x k x − xS dx = k x − xS
por tanto, U x ( ) = U x ( (^) S ) + (^) ( 1 2 (^) ) k x ( − xS )^2 donde U x ( ) − U x ( (^) S ) es proporcional al cuadrado del desplazamiento ( x−x 0 ) respecto a la posición de equilibrio (o dependencia parabólica), por lo que se dice que el cuerpo está confinado en el pozo de potencial parabólico originado por el muelle. Como la fuerza elástica es conservativa y no hay rozamientos, la energía mecánica E se conserva , y es igual a la energía inicial E = E (^) K ( ) t + U t ( ) = EK ( t = 0) + U t ( = 0)= cte , que viene determinada por las condiciones iniciales x t ( = 0) = x 0 (^) y v t ( = 0)= v 0 , E = (^) ( 1 2 (^) ) kx^2^ ( ) t + (^) ( 1 2 (^) ) mv^2 ( ) t = (^) ( 1 2 (^) ) kx 0^2 +( 1 2) mv 02 Como x t ( ) y v t ( ) están en cuadratura se puede escribir: ( ) ( )
0 02 0 02
( ) ( ) 0 K 1 2
si x t X v t E U kX s i v t V x t E E mV
Valores instantáneos de las energías Teniendo en cuenta los valores instantáneos o expresiones temporales de x t ( ) y v t ( ) x t ( ) = X (^) 0 cos( ω 0 (^) t + ϕ (^) 0 X ) v t ( ) = − V 0 (^) sin( ω (^) 0 t + ϕ 0 X ) los valores instantáneos de U t ( ) y EK ( ) t serán: U t ( ) = (^) ( 1 2 (^) ) kX (^) 02 cos (^2 ω 0 (^) t + ϕ (^) 0 X ) EK ( ) t = (^) ( 1 2 (^) ) mV 0 (^) 2 sin (^2 ω 0 (^) t + ϕ 0 X ) cuyo valores máximos U (^) MAX , EKMAX , U (^) MAX = (^) ( 1 2 (^) ) kX (^) 0 2 = (^) ( 1 2) mV 0 (^) 2 = EKMAX (^) , = E Sus graficas serán:
Apuntes sobre el MAS T
es lineal, por ejemplo si F x ( ) = A sin( kx )el pozo no es parabólico, y aunque la masa oscila periódicamente en el pozo, su oscilación no es un MAS (y se dice que la oscilación es anarmónica).
Expresiones aproximadas de F ( x ) y U ( x ). Pero, aunque el pozo no sea parabólico, si la oscilación es de pequeña amplitud, será casi armónica. Ello es debido a que, en las proximidades de xS (donde F= 0 y donde hay un mínimo de U ( x ))
- la gráfica de F ( x ) se puede aproximar por una recta y la dependencia de F ( x ) es aproximadamente lineal. Ver la figura adjunta donde xS = 1
- la gráfica de U ( x ) se puede aproximar por una parábola y la dependencia de U ( x ) es aproximadamente cuadrática. Para visualizarlo consideremos las dos figura adjuntas.
La de la izquierda contiene dos graficas superpuestas: La de una F ( x ) no lineal, que tiene un punto de equilibrio estable en xS = 1 , y la de su correspondiente U ( x ). Y la de la derecha representa las graficas de F ( x ) y U ( x ) en una zona estrecha alrededor del punto de equilibrio estable en xS = 1 , donde se observa que F ( x ) es aproximadamente lineal y U ( x ) es aproximadamente parabólica. A partir de las expresiones rigurosas de F ( x ) y U ( x ), se pueden obtener sus expresiones aproximadas en la zona próxima a x = xS , ya que F ( x ) es aproximadamente una recta que pasa por x = xS y cuya pendiente es la derivada dF / dx en x = xS. Es decir: F x ( ) ≅ (^) ( dF dx (^) ) (^) x = x s ( x − x S ) → U x ( ) ≅ U x ( (^) S ) + (^) ( 1 2 (^) ) ( dF dx (^) ) (^) x = xS ( x − xS )^2
En dichas expresiones se observa que dF / dx en x = xS , con el signo cambiado, ejerce el mismo papel que la rigidez k del muelle en el sistema masa muelle, por lo cual se denomina k : k ≡ − ( dF dx ) (^) x = x S =( d U dx^2 2 ) x = xS
Por tanto, la frecuencia natural ω (^) 0 de las oscilaciones de pequeña amplitud de una masa m alrededor de un punto de equilibrio estable x = xS , cumplirá:
ω 0 (^) = k m = − (^) ( dF dx ) (^) (^) x = xS m = ( d U dx^2^2 ) x = xS m Por ejemplo:
( ) [ ] ( )
( ) ( )
2 (^1 ) 1 2 2 2 0
x (^) x^ S x S S S S S
m F x x x x F x y dF dx x x k dF dx F x k x x x U x U x k x x U x x U x x ω k m
= (^) =
Física I
Las expresiones aproximadas de F ( x ) y U ( x ), se pueden obtener también mediante el desarrollo en serie de Taylor de F ( x ) y U(x) en torno a x = xS. Efectivamente, recordando que F x ( (^) S ) = − (^) ( dU dx (^) ) x = x S = 0
( ) ( ) ( ) (^) ( ) ( ) (^) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2
S S (^) S S
S (^) x x S S S (^) x x S (^) x x S S (^) x x S S S
F x F x dF dx x x k x x U x U x dU dx x x d U dx x x U x U x d U dx x x U x k x x
= = (^) = =
Vemos, pues, que pequeños desplazamientos en torno de una posición de equilibrio estable conducen aproximadamente a una energía potencial parabólica y, por lo tanto, a un MAS_._
4.1.9 Analogía electromecánica: Oscilador eléctrico LC
Un sistema eléctrico formado por una bobina de coeficiente de autoinducción L , conectada a las placas de un condensador de capacidad C , como se muestra en la figura, constituye un sistema de dos parámetros (autoinducción L y capacidad C ) cuyas variables de estado (corriente i en la bobina asociada a su energía magnética, y tensión v C del condensador asociado a su energía eléctrica) también oscilan de forma armónica indefinidamente. Para obtener la expresión que relaciona su frecuencia natural de oscilación? 0 con los parámetros L y C , se aplica wal circuito el lema de Kirchoff de las tensiones vL + vC = 0 e introducimos las relaciones tensión-corriente de cada componente:
Y recordando que la corriente i es la derivada temporal de la carga en el condensador, i=dq/ dt, se obtiene la ecuación diferencial (EDO) de la carga q almacenada en el condensador del circuito LC L d q dt ( 2^2 ) + (^) ( q C )= 0
EDO cuyos parámetros son L y C, cuyas soluciones son todas las posibles funciones q ( t ) que la satisfacen, y que es formalmente igual, pero con magnitudes diferentes, a la del oscilador mecánico m d x dt ( 2^2 )+ kx = 0 Observemos que a cada sumando de la EDO mecánica (fuerzas mecánicas F ) le corresponde un sumando de la EDO electrica (tensiones electricas, v ) y que a los desplazamientos x le corresponden cargas q.
Comparando ambas EDO’s, la tabla de analogías electromecánica entre las variables y energías, es:
Mecánico x v = dx/dt Ec = 1/2 mv^2 U = ½ kx^2 Eléctrico q i = dq/dt UB = 1/2 Li^2 U (^) E = ½ q^2 /C
Donde U E es la energía eléctrica almacenada en el condensador (análoga a la U elástica del muelle), y U B es la energía magnética almacenada en la bobina (análoga a la E C). También hay una analogía entre los parámetros del sistema, los parámetros de las soluciones y las soluciones:
Mecánico m k (^) ω 0 =( k/m )1/2^ b 0 ==( k·m )1/2^ x ( t )= X 0 cos (ω t+ϕ 0X) v ( t )= V 0 cos (ω t+ϕ 0V) Eléctrico L 1/ C ω 0 =(1 /LC )1/2^ R 0 ==( k·m )1/2^ q ( t )= Q 0 cos (ω t+ϕ 0Q) i ( t )= I 0 cos (ω t+ϕ 0I)
Donde Q 0 y ϕ 0Q son la amplitud y la fase inicial de la carga en el condensador, y donde I 0 y ϕ 0I son la amplitud y la fase inicial de la corriente en el circuito.
( ) (^ ) ( arg )
L C
v L di dt Ley de Faraday q v C linealidad electrostática entre c a y tension
Por ello se dice que ambos sistemas son análogos y por ello, todos los resultados obtenidos con el oscilador masa muelle, se pueden trasladar al circuito LC sin más que traducir las magnitudes mecánicas por sus correspondientes eléctricas
