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C ´ALCULO 2013/
HOJA #12: Integrales impropias
Problema 12.1. (Distribuci´on exponencial) Analiza la convergencia de las siguientes
integrales impropias:
∫ (^) ∞
0
e −t dt ∫ (^) ∞
0
t n e −t dt , n = 0, 1, 2,... ∫ (^) ∞
0
λe −λx dx , λ > 0. ∫ (^) ∞
0
λxe −λx dx , λ > 0. ∫ (^) ∞
0
λ(x − λ − 1 ) 2 e −λx dx , λ > 0. ∫ (^) ∞
0
λx n e −λx dx , λ > 0 , n = 0, 1, 2,...
Problema 12.2. (Distribuci´on normal) Analiza la convergencia de las siguientes in-
tegrales impropias:
∫ (^) ∞
−∞
e −t^2 dt ∫ (^) ∞
−∞
tne−t
2 dt , n = 0, 1, 2,...
∫ (^) ∞
−∞
e−^
(x− 3 )^2 (^4) dx
∫ (^) ∞
−∞
(x − 3 )ne−^
(x− 3 )^2 (^4) dx , n = 0, 1, 2,...
2πσ
−∞
exp
(x − μ) 2
2σ^2
dx , μ ∈ R , σ > 0.
2πσ
−∞
(x − μ) n exp
(x − μ)^2
2σ^2
dx , μ ∈ R , σ > 0 , n = 0, 1, 2,...
2πσ
−∞
x n exp
(x − μ) 2
2σ^2
dx , μ ∈ R , σ > 0 , n = 0, 1, 2,....
Problema 12.3. (Distribuci´on log-normal) Analiza la convergencia de las siguientes
integrales impropias:
2πσ
0
exp
(log x − μ)^2
2σ^2
dx
x
, μ ∈ R , σ > 0.
2πσ
0
xn^ exp
(log x − μ)^2
2σ^2
dx , n = −1, 0, 1, 2,....
Problema 12.4. (Distribuci´on beta) Analiza la convergencia de las siguientes inte-
grales impropias:
∫ (^1)
0
dx √ x
1 − x ∫ (^1)
0
x α− 1 ( 1 − x) β− 1 dx , α, β > 0.
∫ (^1)
0
x n x α− 1 ( 1 − x) β− 1 dx , α, β > 0 , n = 0, 1, 2,...
Problema 12.5. (Distribuci´on F de Fisher) Analiza la convergencia de las siguientes
integrales impropias:
0
x
n 1 2 −^1
n 1
n 2
x
)− n 1 +n 2 2 dx , n 1 , n 2 ∈ N = {1, 2, 3,.. .}.
0
x n x
n 1 2 −^1
n 1
n 2
x
)− n 1 +n 2 2 dx , n, n 1 , n 2 ∈ N = {1, 2, 3,.. .}.
