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Examen de ´Algebra Lineal.
5 de Septiembre de 2007.
Problema 1. (2 p.)
Sea S el sistema de ecuaciones AX = B y sea H su sistema homog´eneo asociado AX = O.
a) Sean X 1 y X 2 soluciones de S. Hallar el valor de α ∈ R para que X 3 = α(X 1 + X 2 ) sea tambi´en soluci´on de S. En los siguientes apartados consid´erese que S es compatible, tiene tres inc´ognitas, RgA = 1, que
X 1 c =
(^) y X 2 c =
son soluciones de S y que
X 1 h =
es soluci´on de H.
b) Hallar el valor de a ∈ R para que
X 2 h =
a 1
sea soluci´on de H.
c) Hallar el sistema de ecuaciones S. Justificar las respuestas.
Problema 2. (3 p.) En el espacio vectorial de los polinomios P 2 (R), se considera el conjunto W:
W = {λ + λ(x − 1) + λ^2 (x − 1)^2 , λ ∈ R} Se pide:
a) ¿Es W subespacio vectorial de P 2 (R)?.
b) Se consideran los polinomios de W : p 1 (x) y p 2 (x), correspondientes a λ = 1 y λ = 2 respectiva- mente. Hallar unas ecuaciones cartesianas del subespacio:
H = L{p 1 (x), p 2 (x)}
respecto de la base B = { 1 , x − 1 , (x − 1)^2 } de P 2 (R) ¿Cual es la dimensi´on de H?
c) Determinar el subespacio:
(G 1 + G 2 ) ∩ H siendo:
G 1 = L{ 1 , (x − 1)^2 }, G 2 = L{ 2 x − x^2 }
¿Es G 1 + G 2 una suma directa?
d) Calcular la matriz M del cambio de base de la base can´onica Bc = { 1 , x, x^2 } de P 2 (R) a la base B del apartado b) y escribir la ecuaci´on del cambio de coordenadas correspondiente:
XBc = M XB Haciendo uso de esta ecuaci´on, hallar las coordenadas del vector λ+λ(x−1)+λ^2 (x−1)^2 respecto a la base can´onica
Problema 3. (2.5 p.) Se considera la aplicaci´on lineal: f : R^3 → R^3 definida por:
f (~e 1 ) = ~e 1 + ~e 2 f (~e 2 ) = ~e 1 + ~e 2 + a~e 2 f (~e 3 ) = ~e 2
a ∈ R
Siendo B = { e~ 1 , ~e 2 , ~e 3 } una base de R^3. Se pide:
a) Calcular la matriz de la aplicaci´on lineal con respecto a la base B b) Calcular el N´ucleo de f. ¿Para qu´e valores de a la aplicaci´on es inyectiva? c) Para a = 0, calcular unas ecuaciones param´etricas de Im(f ) d) Para a = 0, calcular los autovalores y autovectores del endomorfismo. ¿Es diagonalizable?
Problema 4. (2.5 p.) Dada la c´onica de ecuaci´on:
x^2 + y^2 − 2 xy + 2
2 x − 2
2 y = 0
Clasificarla, obtener la ecuaci´on can´onica, los elementos geom´etricos y representarla en los ejes originales.
