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Universidad Politécnica de San Luis Potosí
Guía de Ejercicios para el Tercer
Examen parcial de Matemáticas I
Academia de Ciencias, Primavera 2025
1.- Resuelve las siguientes integrales algebraicas utilizando propiedades básicas
de integración:
a)
x 1 2 x dx b)
6 x
2
8 x 3 dx c)
2 dx d)
dx
2 x
3
e)
x dx
f)
3 t 2
t
dt g) w 1 w
2
3 dw h)
s
3
s
2
ds i) y
4
y
2
y
3
dy
j)
x
x x
dx k)
t
2
3
t
dt l)
x
2
x x
dx m)
x
2
x
2
dx n)
w
2
w dw
2.- Resuelve las siguientes integrales trigonométricas:
a)
cos 3 x
1 sin 3 x
dx b)
sin 2 xdx c)
t cost
2
dt d)
sec
2
2 xdx e)
csc
2
3 xdx
f)
sin w
w
dw g)
z sec
2
z
2
dz h)
sin
2
t cos t dt i)
tan 2 x sec 2 xdx
j) tan 2 x sec
2
2 xdx k)
cosln y
y
dy l)
cos 2 t
sin 2 t
dt m) sec
7
2 x tan 2 xdx
n) 2 sec
2
2 x dx ñ) sin 4 x sin 2 xdx o) cos 3 x sin 3 xdx p) cos 3 xdx
q)
cos 2 x 4 x
3
dx r)
2 sin x 3 cos x
dx
3.- Resuelve las siguientes integrales exponenciales:
a) 3 x
e
5 x
2
7
dx b) e
cos 4 x
sin 4 xdx c)
e
1
x
x
2
dx d)
e
2 t
dt
e)
e
w
e
2 w
dw f)
e
t
1 e
t
2
dt g)
5 x
2
e
6 x
3
dx h)
7 y
e
2 y
2
dy
4.- Encuentra la función que satisface las condiciones dadas:
a)
dy
dx
3
x , y 1 2 b)
dy
dt
sin t 1 , y
c)
dy
dx
x 1
x
, y 1 0 d) f
x x 3 , f 2 9
e) f
w 3 w 5 w
2
, f 6 20 f) g
sin cos , f
g) f
t
t
2 t
, f 1 0 h) G
t 3 te
2 t
2
, G 0 4
i) f
x x, f
y f 3 0 j) h
s 32, h
0 20 y h 0 0
5.- Calcula las siguientes integrales definidas:
a)
1
4
2 x dx b)
3
4
4 x
3
dx c)
2
4
dt
t
2
d)
1
4
dx
2 x
3/
e)
3
15
w dw
w
2
f)
1
4
5 y y dy g)
1
2
2 x
3
3 x 2
x
dx h)
0
sin x dx
i)
1
e
ds
s
j)
0
a
a
2
x x
3
dx k)
0
1
dz
3 2 z
l)
2
3
2 t
1 t
2
dt
m)
0
a
a x
2
dx n)
2
3
dx
e
3 x
o)
0
/
cos d p)
7
13
dx
x 5
q)
0
2
y
25 4 y
2
dy r)
0
e
ds
2 s e
s)
0
sin
cos
d t)
1
2
x
3
x
4
5 dx
u)
0
1
xe
x
2
dx v)
0
/
2 x sec x tan xdx
6.- Integra usando el método de sustitución o cambio de variable:
a)
5 x
2
2
10 x dx b)
x
2
x
3
1 dx c)
x
x
2
dx d)
sec 2 x tan 2 xdx
e)
tan
2
x sec x dx f)
cos
sin
2
d g)
2 1 2 w
4
dw h)
t
2
3
2 tdt
i) 9 s
2
2 sds j) 1 2 z
2
3
4 zdz k) x
2
x
3
4
dx
l) x 4 x
2
3
dx m) 5 x
3
1 x
2
dx n) u
3
u
4
2 du ñ)
x
2
1 x
3
2
dx
o)
x
2
16 x
3
2
dx p)
t
3
t
2
dt q)
e
x
e
x
dx r)
2 x
dx s)
2 x
dx
t)
x
2
3 x 7
x dx
u)
e
x
e
x
e
x
e
x
dx v)
x 2 x
2
dx w)
x
2
3
x
3
dx
7.- Aplicaciones de la Integral:
a) Calcular y graficar con algún software las áreas limitadas por:
a1) Las rectas horizontales fx 0 , fx 3 y las rectas verticales x 0 , x 5.
a2) La función gx 4 x
2
, las rectas gx 0 , x 2 y x 2.
b) Encontrar el área de la superficie limitada por la curva y 9 x
2
, el eje de las x y las
rectas verticales x 0, x 3 y graficarla con algún software.
c) Resolver la integral
0
3
x 2 dx. Representar el área encontrada por medio de una
gráfica (con software) y comprobar el resultado utilizando fórmulas geométricas.
d) Encontrar el área sombreada utilizando una integral y fórmulas geométricas de la figura:
¿Pueda la fábrica operar cuatro años seguidos, sin que todos los peces mueran?
m) Si una partícula parte del reposo ¿Cuál es su velocidad en el tiempo t 4 segundos(s),
si su aceleración está dada por la expresión at 100, 000t km/s
2
? Dar el resultado en m/s.
n) El consumo de petróleo (en millones de barriles) en dos países en el periodo
comprendido entre 1970 y 1994 está determinado por la función ft 11 e
0.07t
para el país A,
y la función 20. 3e
0.02t 4
para el país B, donde t 0 corresponde al año de 1970. Determine
cuál de los dos países consumió más petroleo de 1974 a 1994.
o) El término marginal se utiliza en economía para denotar el cambio en la producción. Así,
si la función cx representa el costo de producir x unidades, c
x representa la tasa a la
que aumenta el costo al incrementar el nivel de producción y se le llama costo marginal. En
una planta que fabrica llantas para aviones, el costo marginal de producir x llantas por día
es: C
x 0. 04x 150 dólares. Si los costos fijos son de $500 dólares al día:
o1) ¿Cuánto cuesta producir x llantas al día?
o2) ¿Cuánto cuesta producir 50 llantas en un día?
o3) ¿Cuánto cuesta aumentar la producción de 50 a 70 llantas por día?
p) Un tanque de petróleo sufre una ruptura y el petróleo sale a razón de rt 100 e
0.01t
litros/minuto. ¿Cuánto petróleo se fuga en la primera hora?
q) La producción de una compañía que produce calculadoras es de
dx
dt
t 10
2
calculadoras por semana. ¿Cuántas calculadoras se producen
entre la tercera y la cuarta semana?
r) Una máquina tiene un ritmo de depreciación
dV
dt
10000 t 6 , 0 t 5 , donde V está
en dólares. Formular y calcular la integral definida que represente el valor de la
depreciación máquina a los tres años.
s) Para un grupo urbano particular, algunos sociólogos estudiaron el ingreso anual
promedio I (en dólares) que una persona con t años de educación puede esperar recibir al
buscar un empleo ordinario. Ellos estimaron que la razón a la que el ingreso I cambia con
respecto a los años de educación t esta dada por
dI
dt
100 t
3/
donde 4 t 16 e
I 28720 cuanto t 9 años.
s1) Encontrar la función It.
s2) Encuentra la diferencia de ingreso estimado de una persona con 16 y otra con 4 años
de educación.
t) Una herida está sanando de manera que t días a partir del lunes del área de la herida ha
disminuído a una tasa de 3 t 2
2
cm
2
/día. Si el martes el área de la herida fue de 2 cm
2
¿Cuál era el área de la herida el lunes?
Respuestas:
1.- a)
x
3
x
2
c b) 2 x
3
4 x
2
3 x C c) 2 x C d)
4 x
2
C e)
x
3
C
f) 2 t
3
4 t C g)
w
4
w
3
w
2
3 w C h)
s
2
s
C i)
y
5
5
y
3
3
1
2 y
2
C
j) 6 x
x
5
C k)
3
t
8
C l)
x
x
C m) x
x
C n)
w
7
C
2.- a)
ln |
1 sin 3 x |
C b)
cos 2 x C c)
sint
2
C d)
tan 2 x C
e)
cot 3 x C f) 2 cos w C g)
tanz
2
C h)
sin
3
t C
i)
sec 2 x
C j)
tan
2
2 x C k) sinln y C l)
ln|sin 2 t| C
m)
sec
7
2 x C n) tan 2 x C ñ)
sin
3
2 x C o)
sin
2
3 x C
p)
sin 3 x C q)
sin 2 x x
4
C r) 3 sin x 2 cos x C
3.- a)
e
5 x
2
7
C b)
e
cos 4 x
C c) e
1
x
C d) 2 e
2 t
C e) e
w
e
2 w
C
f) e
t
e
2 t
e
3 t
C g)
e
6 x
3
C h)
e
2 y
2
C
4.- a) y x
4/
b) y cos t t
c) y
x
3/
2 x
1/
d) fx x
2
3 x 13
e) fw 304 3 w
w
2
w
3
f) g sin cos 1 g) ft ln 2 t t
2
h) Gt
e
2 t
2
i) fx
x
3
x
j) hs 16 s
2
20 s
5.- a) 15 b) 175 c)
d)
e) 6 f) 62 g)
ln 4 h) 2 i) 1 j)
a
4
k) 3 1
l) ln 2 m)
a
2
n) 7. 8511 10
4
o) 1 p) ln 4 q)
r)
ln 3 s)
t) 13. 59
u)
e
1
v) 9. 6623 10
2
6.- a)
5 x
2
3
C b)
x
3
3/
C c) x
2
1 C d)
sec 2 x C
e)
tan
3
x
C f)
sin
C g)
1 2 w
5
C h)
t
2
4
C i)
9 s
2
3/
C
j)
1 2 z
2
4
C k)
x
3
5
C l)
4 x
2
4
C m)
1 x
2
4/
C
n)
u
4
3/
C ñ)
3 1 x
3
C o)
3 16 x
3
p)
t
4
C
q) lne
x
3 C r) 2 x C s) x C t)
x
5/
2 x
3/
14 x
1/
C u) lne
x
e
x
v)
2 x
2
3/
C w)
x
3
2/
C
7.- a) a1) 15 a2)
32
3
b) 18 c)
21
2
d) 4 e) e1)
4
3
e2)
8
3
e3)
9
2
e4) 5. 757 4 f) 38 m g) Se
deprecia 1870 dólares. h) Aumentará $75 dólares. i) Costará 1120. j) La población total es
de 490 animales en el rango de las 2 primeras millas. k) vt 160 e
0.05t
190 miles de
pesos. l) A los 4 años Pt 5120 unidades, por lo tanto la fábrica no puede operar sin que
todos los peces mueran. m) 8 10
8
m/s n) El pais A consumió 635. 24 millones de barriles
y el pais B 460. 8 millones, consumió más el pais A. o) o1) Cx 0. 02x
2
150 x 500 , o2)
$8050 dólares y o3) 3048 dólares p) Se fugan 4511. 9 litros en la primera hora. q) 2253
calculadoras. r) La máquina se deprecia 135000 dólares en los 3 primeros años. s) s1)
It 40 t
5/
19000 s2) La diferencia entre ingresos es 39 680 dólares. t) E área de la
herida el lunes es de 2. 5 cm
2
