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- Una partÌcula se mueve de manera que su posiciÛn viene dada, en cada instante t, por:
r = (rx cos !t) i + (ry sin !t) j
donde! es constante. Si rx = ry , se pide:
a) Hallar las posiciones relativas de los vectores posiciÛn r y velocidad v de la partÌcula.
b) Hallar la direcciÛn hacia la que est· dirigida su aceleraciÛn a.
Si 2 rx = ry , se pide:
c) Calcular la velocidad y la aceleraciÛn de la partÌcula. øSon r y v perpendiculares? øSon r y a paralelos?
d) Calcular en ambos casos el producto vectorial r ^ v.
rx
cos
t
x
rxcos^ ω t
y
rysen^ ω t
r
rysen^ ω t
θ = ω t
θ
=
ω
t
v
a) v =
dr dt
d dt
[(rx cos !t i + (ry sin !t) j)] [1]
rx = ry = r ) r = r (cos !t i+ sin !t j) )
r r = ur = cos !t i+ sin !t j [2]
v =
dr dt
d dt [r (cos !t i+ sin !t j)] =
dr dt
(cos !t i+ sin !t j) + r ( ! sin !t i+! cos !t j) =
dr dt
ur + r! u [3]
Tal como se ilustra en la Ögura, el vector ! sin !t i+! cos !t j tiene la direcciÛn perpendicular a ur , es decir, tiene la direcciÛn u. La velocidad , por tanto, tiene, en general, dos componentes, una seg˙n la direcciÛn del vector de posiciÛn y otra seg˙n la direcciÛn perpendicular a Èl. Si r es constante la expresiÛn de la velocidad queda reducida a:
v = r! ( sin !t i+ cos !t j) ([4])
b) r = cte:
a = dv dt
d^2 r dt^2
= r!^2 (cos !t i + sin !t j) = r!^2 ur [5]
expresiÛn que nos indica que el vector aceleraciÛn tiene la misma direcciÛn que el vector de posiciÛn r pero de sentido contrario, es decir, la aceleraciÛn a est· dirigida hacia el origen.
c) En este caso, en el que:
2 rx = ry = r ) rx =
r 2
) r = r
cos !t i+ sin !t j
[6]
v =
dr dt
d dt
r
cos !t i+ sin !t j
= r
! sin !t i+! cos !t j
= r!
sin !t i+ cos !t j
v = r!
sin !t i+ cos !t j
[7]
Para que r y v sean perpendicualares su producto escalar deber· anularse:
r v = r^2!
cos !t i+ sin !t j
sin !t i+ cos !t j
= r^2!
sin !t cos !t + sin !t cos !t
6 = 0 [8]
luego no son perpendiculares. La aceleraciÛn, en este caso, ser·:
a =
dv dt
d^2 r dt^2
= r!^2
cos !t i+ sin !t j
[9]
