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FACULTAD DE INGENIERÍA
CURSO: ÁLGEBRA LINEAL
PRÁCTICA N° 1
Jueves, 28 de agosto de 2014 Hora: 7:10 a.m.
Duración: 1h 30min
SIN LIBROS NI APUNTES. CON CALCULADORA SIMPLE. Nombre: _________________________
1. Indique cada proposición como verdadera o falsa. Justifique cada una de sus respuestas.
i. Un sistema lineal de " m " ecuaciones con " n " incógnitas siempre será compatible si se
cumple que m n.
ii. Si eliminamos algunas columnas no pivote de la matriz asociada a un sistema lineal
homogéneo, el nuevo sistema (también homogéneo) tendrá la solución trivial.
iii. Un sistema lineal tendrá solución única si y solo si su matriz asociada tiene un pivote en
cada fila.
iv. Un sistema lineal en el que se cumple que r A n incógnitas es siempre compatible
determinado.
(1 punto c/u)
Nota: - Sólo se corregirán aquellas respuestas que hayan sido justificadas.
- No puede justificar su respuesta con ejemplos ni contraejemplos.
2. Dada la siguiente matriz
i. Utilice el Método de Gauss-Jordan para resolver el sistema asociado a dicha matriz
cuando ésta representa una matriz aumentada (la última columna es la columna de
términos independientes).
ii. Utilice el Método de Gauss-Jordan para resolver el sistema homogéneo asociado a dicha
matriz cuando ésta representa una matriz de coeficientes.
(2 puntos c/u)
3. La siguiente matriz se encuentra en su forma escalonada, las entradas "∎" indican la presencia
de un pivote y las entradas "⋆" representan cualquier número, incluso cero
[
⋆]
(continúa en la siguiente página)
Se pide (i) hallar la forma escalonada reducida de la matriz y (ii) analizar la compatibilidad
del sistema asociado aplicando el Teorema de Rouché-Fröbenius.
Explique su razonamiento en ambos casos.
(4 puntos)
4. Dados los siguientes planos de ℝ^3
M 1 : x 2 y 3 z 0 M 2 : 3 x y z 0 M 3 : x ay a^2 z 0
Halle el(los) valor(es) de " a " de modo que:
(i) Los planos 𝑀 1 , 𝑀 2 y 𝑀 3 se intersecten en un punto.
(ii) Los planos 𝑀 1 , 𝑀 2 y 𝑀 3 se intersecten en una recta.
(4 puntos)
5. Usted desea comprar en cafeta 15 sándwiches de tres precios distintos: S/. 1.80 (hot dog),
S/. 2.50 (pollo) y S/. 3.00 (mixto). Si tiene 50 soles, ¿cuántos sándwiches de cada tipo podría
comprar? Plantee el sistema de ecuaciones lineales que crea conveniente y explique el proceso
seguido para resolver la situación planteada, sabiendo que debe comprar por lo menos un
sándwich de cada tipo.
(4 puntos)
FACULTAD DE INGENIERÍA
CURSO: ÁLGEBRA LINEAL
EXAMEN PARCIAL
Jueves, 09 de octubre de 2014 Hora: 11:30 a.m. Duración: 3 horas Nombre: ________________________________ SIN LIBROS NI APUNTES. CON CALCULADORA SIMPLE. CON CUADERNILLO ADICIONAL SIMPLE.
- Señale cada proposición como verdadera o falsa. Justifique su respuesta. (1.25 punto c/u) I. Un conjunto {𝑣̅ 1 ; 𝑣̅ 2 ; 𝑣̅ 3 ; 𝑣̅ 4 ; 𝑣̅ 5 } es linealmente independiente si y solo si los conjuntos {𝑣̅ 1 ; 𝑣̅ 2 }, {𝑣̅ 2 ; 𝑣̅ 3 }, {𝑣̅ 3 ; 𝑣̅ 4 }, {𝑣̅ 4 ; 𝑣̅ 5 } (^) y {𝑣̅ 5 ; 𝑣̅ 1 } (^) son LI. II. Sean 𝐴, 𝐵 y 𝐶 matrices cuadradas tales que 𝐶 ≠ 𝟎 y 𝐶𝐴 = 𝐶𝐵, entonces 𝐴 = 𝐵. III. El 𝑑𝑒𝑡𝐴 ≠ 0 si y solo si la ecuación matricial 𝐴𝑥̅ = 𝑏̅ tiene solución. IV. Sea 𝐴 una matriz de 𝑚 × 𝑛 con 𝑝 posiciones pivote. Si 𝑚 = 𝑝, entonces 𝐴 es invertible.
Nota: - Sólo se corregirán aquellas respuestas que hayan sido justificadas.
- Sólo las proposiciones falsas pueden justificarse con contraejemplos.
- Un importante asunto en el estudio de transferencia de calor es determinar la distribución de temperatura de estado estable de una placa delgada cuando se conoce la temperatura de los bordes. Suponga que la placa que se ilustra en la figura representa una sección transversal de una viga de metal, con flujo de calor despreciable en la dirección perpendicular a la placa. Sean 𝑇 1 ; … ; 𝑇 4 las temperaturas en los cuatro nodos interiores de la malla. La temperatura en un nodo es aproximadamente igual al promedio de las temperaturas de los cuatro nodos más cercanos, esto es, a la izquierda, arriba, a la derecha y abajo. Plantee un sistema de ecuaciones lineales cuya solución estime las temperaturas 𝑇 1 ; … ; 𝑇 4. Resuelva dicho sistema
a. Utilizando una factorización 𝐿𝑈. (3 puntos) b. Utilizando la Regla de Cramer para hallar solo 𝑇 1 y 𝑇 3. (3 puntos)
- Hallar una matriz 𝐴 tal que 𝑆 sea un conjunto generador para todos los vectores 𝑏̅ para los cuales la ecuación matricial 𝐴𝑥̅ = 𝑏̅ es compatible y algunas soluciones particulares para la ecuación 𝐴𝑥̅ = 0̅ son 𝑢̅ 1 ; 𝑢̅ 2 ; 𝑢̅ 3 (4 puntos)
𝑆 = {[
] ; [
] ; [
]} 𝑢̅ 1 = [
] ; 𝑢̅ 2 = [
] ; 𝑢̅ 3 = [
]
- Un estudio afirma que los alumnos que tienen mejores calificaciones promedio en la universidad tienen posibilidades de conseguir mejores trabajos y por lo tanto mejores salarios iniciales. Los datos que se muestran en la siguiente tabla representan los índices académicos acumulados (IAA) de 5 egresados de una universidad en Europa y los correspondientes salarios iniciales (en euros) que percibirían en 4 países distintos
IAA P1 P2 P3 P
Para cada país, encuentre un polinomio de interpolación de grado 3 que calcule el salario inicial en función del índice académico acumulado. (4 puntos)
Un alumno en Perú egresa con un IAA igual a 13 (equivalente a 7 en Europa). Calcule el salario inicial que percibiría en cada uno de estos 4 países. ¿Dónde no iría a trabajar? (1 punto)
FACULTAD DE INGENIERÍA
CURSO: ÁLGEBRA LINEAL
PRÁCTICA N° 3
Jueves, 16 de octubre de 2014 Hora: 7:10 a.m.
Duración: 1h 30min
SIN LIBROS NI APUNTES. CON CALCULADORA SIMPLE. Nombre: _________________________
- Dados los siguientes conjuntos de vectores, verifique si son o no espacios lineales: a. 𝐻 = {𝑥̅/𝑥̅ es un vector de ℝ^2 cuyas componentes son opuestas} b. 𝐻 = {(𝑥; 𝑦)/𝑥𝑦 ≤ 0} c. La intersección de 3𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 0 con el plano 𝑦𝑧. d. 𝐻 = {(𝑥 + 𝑦; 𝑦; 𝑧; 𝑧 + 𝑤)/𝑥 − 𝑦 = 𝑤 + 𝑧 = −𝑥 − 𝑧} (1.5 puntos c/u)
Nota: La verificación puede ser gráfica y/o analítica. ¡Explique!
- Definir el valor de 𝛼 y 𝛽 de modo que 𝐵 sea una base para 𝐶𝑜𝑙𝐴
(4 puntos)
𝐵 = {[
] , [
]} 𝐴 = [
]
- Sean 𝐵 y 𝐶 dos bases para un subespacio de ℝ^3 , tales que:
𝐵 = {[
] ; [
]} 𝐶 = {[
] ; [
]}
Además, se sabe que el vector de coordenadas 𝑥̅ relativas a la base 𝐵 es [^2 3
]. Calcule 𝑥̅𝐶. Demuestre su resultado calculando y graficando el vector 𝑥̅ como combinación lineal de los vectores de la base 𝐵 y 𝐶. (5 puntos)
- Indique cada proposición como verdadera o falsa. Justifique todas sus respuestas. a. Sea una matriz 𝐴𝑝×𝑞 con "𝑟" posiciones pivote, entonces se puede afirmar que los vectores columna de 𝐴 generan un subespacio de dimensión "𝑟" en ℝ𝑞. b. El espacio nulo de 𝐴, denotado como 𝑁𝑢𝑙𝐴, puede ser un espacio completo. c. El espacio de columnas de 𝐴, denotado como 𝐶𝑜𝑙𝐴, será siempre un espacio completo. d. Sean 𝐵 y 𝐶 bases para ℝ^3 , la matriz de cambio de base de 𝐶 a 𝐵 se calcula como 𝑀 = 𝑃𝐶 −1𝑃𝐵. (1.25 punto c/u)
Nota: - No se corregirán aquellas respuestas que no hayan sido justificadas.
- No puede justificar su respuesta con ejemplos ni contraejemplos.
FACULTAD DE INGENIERÍA CURSO: ÁLGEBRA LINEAL PRÁCTICA N° 5 Jueves, 13 de noviembre de 2014 Hora: 07:10 a.m. Duración: 1h 30min SIN LIBROS NI APUNTES. CON CALCULADORA SIMPLE. Nombre: __________________________
- Dada la siguiente ecuación vectorial
𝑥 [
] + 𝑦 [
] = [
]
Responda: a) ¿Cómo interpreta, geométricamente, que dicha ecuación sea incompatible? b) Utilizando el Método de Mínimos Cuadrados halle una solución aproximada para dicha ecuación vectorial. c) ¿Cómo interpreta, geométricamente, la solución aproximada obtenida en el apartado b? (5 puntos)
- Dada la siguiente matriz 𝐴 de una transformación 𝑇
𝐴 = [
]
Determine los valores de 𝑠 para que a) El rango de la transformación 𝑅(𝑇) sea un subespacio de dimensión uno en ℝ^3. b) El rango de la transformación 𝑅(𝑇) sea un subespacio de dimensión dos ℝ^3. c) El rango de la transformación 𝑅(𝑇) sea todo ℝ^3. (4 puntos)
- Conocidas las siguientes transformaciones
[
] → [
] [
] → [
]
Determine la matriz canónica de la transformación lineal por tres procedimientos: a) Utilizando sistema de ecuaciones. b) Utilizando la teoría de vectores elementales. c) Utilizando la teoría de matriz inversa. (2 puntos c/u)
- Dadas las transformaciones 𝑇 1 y 𝑇 2 , realizadas en el orden indicado
𝑇 1 (𝑥; 𝑦) = (𝑦; 𝑥 + 2𝑦) 𝑇 2 (𝑥; 𝑦) = (𝑥 − 𝑦; −𝑥)
Se pide determinar la matriz canónica 𝐴 de la transformación compuesta por dos procedimientos: a) Por sustitución directa, es decir, aplicando ambas transformaciones de manera sucesiva sin hallar las matrices de cada transformación 𝑇 1 y 𝑇 2. b) Por producto de matrices, es decir, hallando previamente las matrices canónicas de las transformaciones 𝑇 1 y 𝑇 2. (5 puntos)
Continúa en la siguiente página…
FACULTAD DE INGENIERÍA CURSO: ÁLGEBRA LINEAL EXAMEN FINAL Sábado, 29 de noviembre de 2014 Hora: 11:30 a.m. Duración: 3 horas SIN LIBROS NI APUNTES. CON CALCULADORA SIMPLE. Nombre: __________________________
- Encontrar una matriz 𝐴 si se sabe que (4p)
𝐶𝑜𝑙𝐴 = 𝐺𝑒𝑛 {[
] ; [
] ; [
]} 𝑁𝑢𝑙𝐴 = 𝐺𝑒𝑛 {[
] ; [
] ; [
]}
Nota: No necesariamente los conjuntos generadores de 𝐶𝑜𝑙𝐴 y 𝑁𝑢𝑙𝐴 son LI.
- Dada la matriz 𝐴 de una transformación 𝑇: ℝ^2 → ℝ^2 y una base 𝐵 para todo ℝ^2 (4p)
𝐴 = [−1^ −
] 𝐵 = {[^1
] , [^1
]}
Existe una matriz 𝑀 que permita obtener directamente la imagen en base 𝐵 de un vector 𝑥̅ tal que: [𝑇(𝑥̅)]𝐵 = 𝑀𝑥̅. Demuestre que 𝑀 se puede calcular de dos formas distintas: a) Usando 𝑀𝐵 y 𝑃𝐵, tal que: 𝑀 = 𝑀𝐵𝑃𝐵−1. Calcule 𝑀. b) Usando 𝑃𝐵 y 𝐴, tal que: 𝑀 = 𝑃𝐵−1𝐴. Calcule 𝑀 y verifique que es la misma matriz que calculó en el apartado anterior.
- El siguiente gráfico muestra la demanda de cemento, en cientos de miles de bolsas, en el Perú en los meses indicados. Por ejemplo, en el mes de setiembre de 2013 se compraron 469,000 bolsas de cemento.
Utilizando el Método de Mínimos Cuadrados, se le pide a) Encontrar la ecuación de la recta 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 que mejor se ajuste a los datos mostrados y estimar la demanda de bolsas de cemento en los meses de julio y octubre de 2013. (2p) b) Encontrar una función cuadrática 𝑦 = 𝑎𝑥^2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 que mejor se ajuste a los datos mostrados y estimar la demanda de bolsas de cemento en los meses de julio y octubre de 2013. (3p) Nota: Puede resolver ambos sistemas aproximados utilizando su calculadora.
- Una compañía de renta de automóviles tiene una flota de 500 automóviles en tres sucursales. Un auto alquilado en una sucursal puede devolverse en cualquiera de las tres. En la tabla que sigue se muestran los porcentajes de autos rentados y devueltos en cada sucursal. Por ejemplo, el 10% de autos rentados en la sucursal oeste se devuelven en la sucursal este. (5p)
Autos alquilados en: Aeropuerto Este Oeste Autos devueltos en: 100% 20% 30% (^) Aeropuerto 0% 80% 10% Este 0% 0% 60% (^) Oeste
Si un día lunes se rentan 300 autos en el aeropuerto, 100 autos en la sucursal este y 100 autos en la sucursal oeste, determine la distribución, aproximada, de autos el día jueves de la siguiente semana (es decir, dentro de 10 días) aplicando la teoría de diagonalización.
FACULTAD DE INGENIERÍA CURSO: ÁLGEBRA LINEAL EXAMEN SUSTITUTORIO Miércoles, 10 de diciembre de 2014 Hora: 07:00 a.m. Duración: 3 horas SIN LIBROS NI APUNTES. CON CALCULADORA SIMPLE. Nombre: __________________________
- Coloque, en el cuadernillo, sus APELLIDOS Y NOMBRES (en ese orden) con letras mayúsculas. Si no lo ha hecho puede corregirlo. (0.5p)
- Un importante asunto en el estudio de transferencia de calor es determinar la distribución de temperatura de estado estable de una placa delgada cuando se conoce la temperatura de los bordes. Suponga que la placa que se ilustra en la figura representa una sección transversal de una viga de metal, con flujo de calor despreciable en la dirección perpendicular a la placa. Sean 𝑇 1 ; … ; 𝑇 4 las temperaturas en los cuatro nodos interiores de la malla. La temperatura en un nodo es aproximadamente igual al promedio de las temperaturas de los cuatro nodos más cercanos, esto es, a la izquierda, arriba, a la derecha y abajo. Plantee un sistema de ecuaciones lineales cuya solución estime las temperaturas 𝑇 1 ; … ; 𝑇 4. Resuelva dicho sistema a) Utilizando la inversa de la matriz de coeficientes. (2.5p) b) Utilizando el método que usted prefiera. (2.5p)
- Considere el subespacio vectorial 𝑊. Si 𝑇: ℝ^3 → ℝ^3 es una aplicación lineal que proyecta ortogonalmente cada vector 𝑣̅ ∈ ℝ^3 sobre el subespacio 𝑊, encuentre la matriz canónica de la transformación con respecto a la base 𝐵. (4p)
𝑊 = {(𝑥; 𝑦; 𝑧)/𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 = 0}^ 𝐵 = {[
] ; [
] ; [
]}
- Una compañía de renta de automóviles tiene una flota de 500 automóviles en tres sucursales. Un auto alquilado en una sucursal puede devolverse en cualquiera de las tres. En la tabla que sigue se muestran los porcentajes de autos rentados y devueltos en cada sucursal. Por ejemplo, el 10% de autos rentados en la sucursal oeste se devuelven en la sucursal este. (5p)
Autos alquilados en: Aeropuerto Este Oeste Autos devueltos en: 100% 20% 30% Aeropuerto 0% 80% 10% Este 0% 0% 60% Oeste
Si un día lunes se rentan 300 autos en el aeropuerto, 100 autos en la sucursal este y 100 autos en la sucursal oeste, determine la distribución, aproximada, de autos el día jueves de la siguiente semana (es decir, dentro de 10 días) aplicando la teoría de diagonalización.
- A continuación se muestran algunas proposiciones que se incluirán en el Libro de Apuntes de Álgebra Lineal que se publicará el próximo año. Se le pide indicar cada proposición como V o F justificando todas sus respuestas. a) Si A es invertible y 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶, entonces 𝐵 = 𝐶. b) Sea 𝐴 una matriz diagonalizable, se cumple siempre que la ecuación matricial 𝐴𝑥̅ = 𝑏̅ tiene solución única. c) Si los vectores columna de una matriz 𝐴𝑚×𝑛 generan todo ℝ𝑚^ entonces dichos vectores son linealmente independientes. d) Un conjunto {𝑣̅ 1 ; 𝑣̅ 2 ; 𝑣̅ 3 ; 𝑣̅ 4 } es linealmente independiente si los conjuntos {𝑣̅ 1 ; 𝑣̅ 2 }, {𝑣̅ 1 ; 𝑣̅ 3 }, {𝑣̅ 1 ; 𝑣̅ 4 }, {𝑣̅ 2 ; 𝑣̅ 3 }, {𝑣̅ 2 ; 𝑣̅ 4 } y {𝑣̅ 3 ; 𝑣̅ 4 } son ortogonales.
(1p c/u)
- Responder: a) Durante el semestre 2014-II, ¿qué tema de ALG le pareció más fácil? Haga un breve comentario sobre las razones que lo llevan a pensar que el tema que Ud. escogió es fácil de aprender. (0.75p) b) Durante el semestre 2014-II, ¿qué tema de ALG le pareció más difícil? Haga un breve comentario sobre las razones que lo llevan a pensar que el tema que Ud. escogió es difícil de aprender. (0.75p)
1 2
4 3
20 20
30 30
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10
40
40
