CALCULO DIFERENCIAL
TAREA 1
EL CONCEPTO DE INTEGRAL
Presentado a:
JENNY TATIANA SANCHEZ
Tutora
Entregado por:
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD
ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, INGENIERÍAS Y TECNOLOGÍAS
JUNIO 2020
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Calculo Differencial: Integrales Inmediatas - Ejercicio d, Ejercicios de Cálculo
En este documento se presenta el proceso de resolución de una integral indefinida mediante la integración por partes y la suma de Riemann. El ejemplo específico es el cálculo de ∫[5cos(10θ)−3sen(5θ)]dθ. Además, se incluye el cálculo de la integral definida ∫(3x√−3x2+9x4)dx y se grafica la función en GeoGebra.
Tipo: Ejercicios
2019/2020
1 / 13
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CALCULO DIFERENCIAL
TAREA 1
EL CONCEPTO DE INTEGRAL
Presentado a:
JENNY TATIANA SANCHEZ
Tutora
Entregado por:
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD
ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, INGENIERÍAS Y TECNOLOGÍAS
JUNIO 2020
Integrales inmediatas
Ejercicio d.
[ 5 cos ( 10 θ )− 3 sen ( 5 θ )] dθ
Sumamos y separamos
cos ( 10 θ ) dθ
Determinamos
d
dx
[ 10 θ ]
d
dx
[ θ ]
Ahora remplazamos
cos ( u )
du
Sacar una constante
cos ( u ) du
∙ sin ( u )
∙ sin ( 10 θ )
Simplificamos 5 sobre 10
∙ sin ( 10 θ )
Repetimos
Sumamos
sen ( 5 θ ) dθ
Determinamos
d
dx
[ 5 θ ]
d
dx
[ θ ]
Sustituimos
∙ cos ( 10 θ ) ∙ 10
Resolvemos
∙ cos ( 10 θ )
5 ∙ cos ( 10 θ )
Repetrimos el proceso
3 sen ( 5 θ )
Sacamos la constante
d
dx
∙ co s ( 5 θ )
Derivamos cos y sustituimos
∙ − s en ( 5 θ ) ∙ 5
Resolvemos
∙ − sen ( 5 θ )
3 ∙ − sen ( 5 θ )
Ahora solo remplazmos
5 ∙ cos ( 10 θ )
¿ 5 cos ( 10 θ )− 3 sen ( 5 θ )
Suma de Riemann
Aproxime la integral definida
− 3
0
x
2
dx , mediante la suma de Riemann del
punto derecho, con 𝑛=5.
− 3
0
x
2
dx
Tenemos que:
∆ x =
b − a
n
Remplazamos
∆ x =
n
∆ x =
n
f ( xi )=
3 i
n
f
x
= x
2
f ( xi )=
(
3 i
n
)
2
Ahora remplazamos
A =lim
n →∞
∆ x ∙ f ( x )
A =lim
n →∞
3 i
n
3 i
n
2
Resolvemos
A =lim
n →∞
9 i
2
n
3
A =lim
n →∞
n
3
n = 1
n
i
2
A =lim
n →∞
n
3
n = 1
n
i
2
2
2
2
- … n
2
n ( n + 1 )( 2 n + 1 )
Remplazamos
A =
lim
n → ∞
n
3
n ( n + 1 )( 2 n + 1 )
x 2 =− 3 + 1 ( 0,6)
x 2 =−2,
x 3 =− 3 + 2 ( 0,6 )
x 3 =−1,
x 4 =− 3 + 3 ( 0,6 )
x 4 =−1,
x 5 =− 3 + 4 ( 0,6 )
x 5 =−0,
Remplazamos
n = 1
5
f (− 3 ) 0,6+ f (−2,4) 0,6+ f (−1,8) 0,6+ f (−1,2) 0,6+ f (−0,6) 0,
Aplicamos la función f ( x
2
n = 1
5
Grafica en GeoGebra la suma de Riemann para n=5, n=13 y compara con el
resultado de la integral definida.
¿Qué se puede concluir al aumentar el número de rectángulos?
Entre mas rectangulos hay mas especifica es el area bajo la curva.
Integral Definida
1
5
(
√
x
√
x
)
2
Lo primero que hacemos es simplificar la función
(
√
x
3 √ x
)
2
( a − b )
2
= a
2
− 2 ab + b
2
(
√
x
)
2
(
√
x
3 √ x
)
(
3 √ x
)
2
x
(
)
9 x
(
x
9 x
)
Remplazamos
∫
1
5
(
x
9 x
)
Ahora si podemos aplicar la regla de suma
f ( x ) ± g ( x ) dx =
f ( x ) dx ±
g ( x ) dx
∫
1
5
(
x
)
dx −
∫
1
5
( 9 ) dx + ¿
∫
1
5
(
9 x
)
dx ¿
Resolvemos por separado
∫
1
5
(
x
)
dx
1
5
(
x
)
dx
Al integrar queda
9 [ ln x ]
1
5
Calculamos los limites
lim
x→ 1 +¿¿
lim
x → 1
lim
x → 5
lim
x → 5
Entonces
Remplazamos
9 ln ( 5 )
∫
1
5
( 9 ) dx
Al integrar queda
[ l 9 x ]
1
5
Calculamos los limites
lim
x→ 1 +¿¿
lim
x→ 1 +¿¿
lim
x → 5
lim −
x → 5
Entonces
Remplazamos
∫
1
5
(
9 x
)
dx
Resolvemos la operación con los resultado de cada integral
9 ln( 5 ) −¿ 36 + 27 ¿
9 ln ( 5 )− 9
Resolvemos
Graficar la función y sombrear la región solicitada que acaba de integrar
utilizando el programa GeoGebra